多位数计算.教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色，因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运 算的一切考法，还有自身的“ 独门秘籍 ” ，那就是 “ 数字多的数不出来” ，只能依靠观察数字结构发现数字规 律的方式掌握多位数的整体结构，然后再确定方法进行解题。 多位数的主要考查方式有 1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算 2.计算多位数的各个位数字之和 一、多位数运算求精确值的常见方法 1. 利用 9 9999101 k k个 ，进行变形 2. “以退为进 ” 法找规律递推求解 二、多位数运算求数字之和的常见方法 M k9 999.9 个 的数字和为9 k(其中 M

2、 为自然数，且M k9 999.9 个 )可以利用上面性质较快的获得结果 模块一、多位数求精确值运算 【例1】计算： 200720073 555333 个5个 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 20073 333 个 乘以 3 凑 出一个 20073 999 个 ，然后在原式乘以3 的基础上除以3，所以 原式 2007520079 5559993 个个2007520070 5550003 个个 （1-1 ） 200752007020075 555000 5553 个个个 （-） 20074

3、20065 55544453 个个668185668148 185185184814814815 个个 【答案】 668185668148 185185184814814815 个个 【巩固】计算： 2007820073 888333 个个 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 20073 333 个 乘以 3 凑 知识点拨 教学目标 例题精讲 多位数计算 专业文档 珍贵文档 出一个 20079 999 个 ，然后在原式乘以3 的基础上除以3，所以 原式 2007820079 8889993

4、个个2007820070 8880003 个个 （1-1） 200782007020078 888000 8883 个个个 （-） 20061 20068 888711123 个 个668296668037 296296295703703704 个个 【答案】 668296668037 296296295703703704 个个 【巩固】计算 20043 333359049 个 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 我们可以把 20043 3333 个 转化为 2004 99993 个9 ，进而可以进行下一步变形，具体为： 原式 20043 333359049 个

5、20042004 99993590499999 19683 个9个9 20040 2004019999 (100001)196831968300.0196831968299.9980317 个 个个 【答案】 19999 1968299.9980317 个 【巩固】计算 200420083 66669333.3 个6个 的乘积是多少？ 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 我们可以将原题的多位数进行 9 9999101 k k个 的变形： 原式 = 20043 3333 个2008 2333333 个3 = 20043 3333 个2008 239999 个 9

6、= 2003 199998 个9 （ 2008 100001 个0 ）= 2003 199998 个9 2008 10000 个0 - 2003 199998 个9 = 2003920030 199997999800002 个个 . 【答案】 2003920030 199997999800002 个个 【巩固】快来自己动手算算 20071 200792007920077 111 999999777 个 个个个 （） 3 的结果看谁算得准？ 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 本题是提取公因数和凑整的综合。 原式 20071 2007920077 999(1117

7、77) 个 个个 =3 2007920078 999888 个个 =3 2007020078 0001)888 个个 =(13 20072007020078 888000888) 个8个个 =(3 20061 20068 88871112 个 个 =3 668296668037 296296295703703704 个个 【答案】 668296668037 296296295703703704 个个 【巩固】计算 200892008820086 999888666 个个个 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 本题着重是给大家一种凑的思想，除数是 20086 66

8、6 个 ，所以需要我们的被除数也能凑出 20086 666 个 这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以： 原式 200822008320086 33334222666 个个个 20081 2008620086 34 111666666 个 个个 20084 3444 个 2007 13332 个3 专业文档 珍贵文档 【答案】 2007 13332 个3 【例2】请你计算 200892008920089 9999991999 个个个 结果的末尾有多少个连续的零？ 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生

9、按照两种思路给学生展开 方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律 9 9=81；99 99=9801 ； 999 999=998001；9999 9999=99980001； 所以： 2008920089 999999 个个200792007 99980001 个个0 原式 20079200720089 99980001+1999 个个0个40160 1000 个 方法二： 观察一下你会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘， 其中999很接近1 000 ， 于是我们采用添项凑整，简化运算。 原式 20080200892008020089 100019991000999 个个个个 =（） 20089

10、20080200892008020089 9990009991000999 个个个个个 2 0 0 892 0 0 802 0 9 99 0 001 0 00 个个个4 0 1 60 100 个 所以末尾有4016 个 0 【答案】 4016 个 0 【例3】计算 1998219982 22222222 个个 的积 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 我们先还是同上例来凑成 k9 9999 个 ； 1998219982 22222222 个个 19982 19989 2 99992222 9 个 个 19982 19980 2 1000012222 9 个 个

11、1998419980 1 1000014444 9 个个 199841998419980 1 444400004444 9 个个个 19974 19975 1 4444355556 9 个 个 、 我们知道 94 4444 个 能被 9 整除，商为： 049382716又知 1997 个 4，9 个数一组，共221 组，还剩 下 8 个 4，则这样数字和为8 4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2 个 5，数字和为 45，可以被9 整除 8 4444355 个4 能被 9 整除，商为04938271595；我们知道5555 9个5 能被 9 整除， 商为： 061728395；这

12、样 9 个数一组，共221 组，剩下的1995 个 5 还剩下 6 个 5，而 6 个 5 和 1 个、 6，数字和36，可以被9 整除 55556 6个5 能被 9 整除，商为0617284于是，最终的商为： 220049382716221061728395 49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284 个个 【答案】 220049382716221061728395 49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284 个个 【例4】计算：

13、 12345679 1234567901234567901234567981 99个0 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 原式 000000001 12345679100000000100000000181 99个 000000001 9999999991000000001000000001 99个 999999999 999999999999999999 100个 专业文档 珍贵文档 【答案】 999999999 999999999999999999 100个 【巩固】 1234567901234567981 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题

14、型】计算 【关键词】武汉，明心奥数 【解析】 原式(12345679 100000000012345679)81 123456791000 000 001 81 9999999991000 000 001 189 999 个 【答案】 189 999 个 【例5】求 20073 333333.33.3 个 的末三位数字. 【考点】多位数计算之求精确值【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007 个 3，2006 个 30， 2005 个 300 ， 则 200732006302005300602160180601500667701，原式末三位数字为7

15、01 【答案】 701 模块二、多位数求数字之和 【例6】求 33333336666666乘积的各位数字之和. 【考点】多位数计算之求数字和【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 方法一：本题可用找规律方法： 3 6=18 ； 33 66 =2178 ；333 666 =221778；3333 6666 =22217778； 所以： 36 333666 n个n个27 22.2177.78 (n-1) 个(n-1) 个 ，则原式数字之和26176863 原式99999992222222 (100000001)2222222 222222200000002222222 22222217777778

16、 所以，各位数字之和为7963 【答案】 63 【巩固】求 111 111 999 999 乘积的各位数字之和。 【考点】多位数计算之求数字和【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中999 999 很接近1 000 000, 于是我们 采用添项凑整，简化运算。 原式 =111111 (1000000-1) =111111 1000000-1111111 =111111000000-111111 =111110888889 数字之和为9654 【答案】 54 【例7】如果 20103 333333333A 个 ，那么 A 的各位数字之和等于。 【

17、考点】多位数计算之求数字和【难度】 3 星【题型】计算 【关键词】 学而思杯， 5 年级 【解析】 20103 103033033303330A 个 ，所以 201033 2010 9333033333327300A 个2006个 次 ， 3 668370 333273009370370370369700A 2006个 个 ， 数 字 和 为 668 10256705 . 专业文档 珍贵文档 【答案】 6705 【例8】若 10041520083 1515153333a 个个 ，则整数a的所有数位上的数字和等于（） （A） 18063（B） 18072（ C ）18079（D） 18054 【

18、考点】多位数计算之求数字和【难度】 3 星【题型】选择 【关键词】第十三届，华杯赛 【解析】 10041520083 1515153333a 个个10045100320089 50505059999 个 和个0个100451003020080 50505051000001 个 和个个 （） 100450200701004510030 50505050000005050505 个个个 和个100350100449 50505050494949495 个个 所以整数a的所有数位上的数字和100351004(49)518072 【答案】（B） 18072 【巩固】计算 66666666725 200

19、4个62003个6 的乘积数字和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和【难度】 4 星【题型】计算 【解析】 我们还是利用9999100001 k个9k个0 ，来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成9999 k个9 ， 于是我们就创造条件使用： 6666 2004个6 6666725 2003个 6 2004 2 9999 3 个 9 2004 2 (99991)25 3 个 9 = 2 3 （ 100001 2004个0 ） 2 3 （ 10000 2004个0 ）+1 25 = 1 3 1 3 2 10000 2004个0 -2 2 （ 10000 2004个0 ） +1 25= 25

20、 9 4 10000 4008个0 -2 10000 2004个0 -2 = 100 9 9999 4008个9 - 50 9 2004 9999 个9 =100 4008 1111 个1 -50 2004 1111 个1 = 4008120045 11110055550 个个 = 120045 1111055550 2004个个 所以原式的乘积为 120045 1111055550 2004个个 ，那么原式乘积的数字和为1 2004+52004=12024 【答案】 12024 【例9】试求 1993 123 999999 乘积的数字和为多少? 【考点】多位数计算之求数字和【难度】 3 星【

21、题型】计算 【解析】 我们可以先求出1993 123 的乘积， 再计算与 (10000001)的乘积， 但是 1993 123 还是有点繁琐 设 1993 123=M，则 (1000 123)123000 M(2000 123=)246000，所以 M 为 6 位数，并且末位不 是 0；令 M abcdef 则 M 999999M （ 1000000-1） 1000000M-M 000000abcdef- abcdef 1 999999abcdeff+1 abcdef 1999999abcdeffabcdef+1 19999991abcdeffabcdef 那 么 这 个 数 的 数 字 和

22、为 ： a+b+c+d+e+(f 1)+(9 a)+(9 b)+(9 c)+(9 d)+(9 e)+(9 f+1)=9 6=54所以原式的计算结果的数字和为54 【答案】 54 【巩固】下面是两个1989 位整数相乘： 1989119891 111.11 111.11 个个 。那么乘积的各位数字之和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和【难度】 4 星【题型】计算 【解析】 解法一： 专业文档 珍贵文档 在算式中乘以9，再除以9，则结果不变因为 19891 111.11 个 能被 9 整除，所以将一个 19891 111.11 个 乘以 9， 另一个除以9，使原算式变成： 198991988

23、99999123456790012345679 个共位数 = 198901988 1000001123456790012345679 个共位数 （） = 1988198901988 12345679001234567900000123456790012345679 共位数个共位数 = 19881980 123456790012345679123456789876543209987654320987654321 共位数共位数 得 到 的 结 果 中 有1980 9=220个 “123456790 ” 和 “987654320 ” 及 一 个 “12345678” 和 一 个 “ 98765432

24、1 ”，所以各位数之和为： 1234567922098765432220（）（） + 1 234567898765432117901（）（） 解法二： 19891198911989198911989 1 111.11 111.11999.99111.11999.99 9 N 个个个 9个个 9 ，其中 N 1989 999.99 个9 所以 1989119891 111.11 111.11 个个 的各个位数字之和为：9 1989=17901 【答案】 17901 【巩固】试求 999 9999999.999999999999 256个512个1024个 乘积的数字和为多少? 【考点】多位数计算

25、之求数字和【难度】 4 星【题型】计算 【解析】 设 99 9999999.99999999M 256个512个 则原式表示为 9 9999M 1024个 。 注意到 999999999999999 9 9999 256个 9 9999 512个 M， 则 M10100100013100000000 2560 10000 个 0 10000 512个 0 10000 k个 其中 k=1+2+4+8+16+ +512=1024l=1023 即 M 0 10000 1023个 ，即 M 最多为 1023 位数，所以满足的使用条件，那么M 与 9 9999 1024个 乘积的数字和 为 1024 9

26、=102401024=9216原式的乘积数字和为9216 【答案】 9216 【例 10】 计算： 6707899 78978929999 个2009个 结果的各位数字之和是 【考点】多位数计算之求数字和【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 原式 6707890 789789300001 个2009个 6 6 99 3 606 7 0 6 6 99 36 6 91 0 2 2 3 6 9 3 69 3 6 7 0 00 07 8 97 8 9 2 3 69 36 9 3 5 9 1 0 21 0 2 1 1 个2009个个 个6个 各位数字之和是23669 1859669311= 67021

27、14070 【答案】 14070 模块三、多位数运算中的公因式 【例11】 （1） 20082008200920092008200920092008 200820082008200920092009200920092009200820082008 个个个个 （2） 2009200920084100 20092009200941004100410041 个个 专业文档 珍贵文档 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 原式 200720080001200720080001 2008 10001000100012009 100010001000120091000100

28、0100012008 1000100010001 个 0001个个 0001个 0 原式 2008000120094100 20091000100010001410041004100100 个个 （） 20080001 20080001 1000100010001 20091000100010001 个个 （41） 200941 49 【答案】 0 49 【巩固】计算（ 1） 2009200920092008200820082008200820092009 （2） 20072007200722302230223 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 （1）原式2

29、0091000100020081000120081000100012009100010 （2）原式(2007100010001)(223 100010001)20072239 【答案】（1） 0（2） 9 【巩固】计算： 333332332333332333333332 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】 3 星【题型】计算 【关键词】我爱数学夏令营 【解析】 原式333(3323323321)332(3333333331) 333(33210010011)332(33310010011) 333332 665 【答案】 665 【巩固】计算： 20085112008512 5125115

30、11511512511 512512512511 个个 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 原式 20095112009512 5125115115111511(5125125121) 个个 （）- 20080012008001 512511 10010010015125115121001001001511 个个 5125111023 【答案】 1023 【巩固】计算： （1998+19981998+199819981998+ 19981998个 199819981998） （1999+19991999+199919991999 19981999个 19991

31、9991999） 1999 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】 3 星【题型】计算 【解析】 19981998个 199819981998 1998 19981001个 100110011001 原式1998（1+10001+100010001+ 19981001个 100110011001）1999 （1+10001+100010001+ 19981001个 100110011001） 19991998 1999 19991998. 【答案】 1998 【巩固】计算： 5555566666744445666666155555 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】 3 星【题型】计算 【

32、关键词】小学奥林匹克 专业文档 珍贵文档 【解析】 原式555556666665555544445666666155555 (5555544445)666666100000 66666500000 【答案】 66666500000 【例 12】 计算： 341344134441344444444134444444441 2389 275277527775277777777527777777775 。 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】 3 星【题型】计算 【关键词】 学而思杯， 6 年级 【解析】 34131 1131 275251125 ， 344131 11131 27752511125 ， 3444131 111131 2777525111125 ， 3444444444131 111111111131 2777777777525111111111125 ，即这 9 个数都等于 31 25 ， 原式 31 (1239) 25 279 5 【答案】 279 5