数列等差数列及其性质等差数列求和教案练习答案精编.pdf

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1、学生教案 第 1 页 共 17 页 第一课时 2.1 数列的概念与简单表示法 教学目标 1. 理解数列及其有关概念 2. 了解数列和函数之间的关系； 3. 了解数列的通项公式， 并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的 数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 4. 通过对一列数的观察、 归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察 能力和抽象概括能力 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 教学过程 一. 课题导入 1. 观察下列数 ，自然数： 0，1，2，3，, ，1， 2 1 ， 3 1 ， 4 1 ， 5 1 二

2、. 讲授新课 数列的定义 ：按一定次序排 列的一列数叫做 数列. 注意： 数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次 序不同，那么它们就是不同的数列； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复 出现. 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列 学生教案 第 2 页 共 17 页 的第 1 项（或首项），第 2 项，第 n 项，. 例如，上述例子均是数列，其中中， “0”是这个数列的第 1 项（或首项）， “9” 是这个数列中的第10 项. 数列的一般形式 ：, 321n aaaa，或简记为 n a，其中 n a是数

3、列的第 n 项 数列的通项公式 ： 如果数列 n a的第 n 项 n a与 n 之间的关系可以用一个公式， 比如： n a=2n+1, n a= n 1 等等来表示，那么这个式子就是数列的通项公式。 注意： （1）一个数列的通项公式 有时是不唯一 的，如数列： 1，0，1，0，1，0，它 的通项公式可以是 2 ) 1(1 1n n a，也可以是| 2 1 cos| n an. 三例题讲解 例 1. 设数列 n a满足 1 1 1 1 1(1). n n a an a 写出这个数列的前五项。 分析：题中已给出 n a的第 1 项即1 1 a，递推公式： 1 1 1 n n a a 解：据题意可知

4、： 3 21 1,2 1 1, 1 2 3 1 21 a a a aa， 5 8 , 3 51 1 5 3 4 a a a 例 2 已知2 1 a， nn aa2 1 写出前 5 项，并猜想 n a 法一：2 1 a 2 2 222a 32 3 222a，观察可得 n n a2 法二：由 nn aa2 1 1 2 nn aa即2 1n n a a 1 1 2 3 2 2 1 1 2 n n n n n n n a a a a a a a a nn n aa22 1 1 四课堂练习 1猜想下列数的通项公式 学生教案 第 3 页 共 17 页 (1) 1,3,5,7,9，11 (2) 1,1/2,

5、1/3,1/4,1/5,1/6. (3) 1111 1 2 23 34 45 ， 解：略 五课时小结 本节课学习了以下内容： 1数列及数列的相关概念。 2通过观察分析，猜想数列的通项公式。 第 2 课时 2.2 等差数列 教学目标 1：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一 个数列是等差数列 ; 2. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首 项、公差、项数、指定的项 3：理解等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。 教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。 教学难点 等差数列的性质 教学过程 一. 课题导入 上

6、一节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示数列的几种方法列举法、 学生教案 第 4 页 共 17 页 通项公式、递推公式、图象法. 这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我 们看这样一些例子。 0，5，10，15，20，25， 2，4，6，8,10， 18，15.5 ，13，10.5，8，5.5 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差） （注意：每相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具 有这种特征的数列一个名字等差数列 二. 讲授新课 1等差数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一

7、项与它前一项的差 等于 同一个常数， 这个数列就叫做 等差数列 ，这个常数就叫做等差数列的公差（常用 字母“ d”表示） 。 说明： 公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； 对于数列 n a, 若 n a 1n a=d (d 是与 n 无关的常数或字母 ) ，n2，nN 思考： 数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2等差数列的通项公式： 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列 n a的首项是 1 a，公差是 d，则据其定义可得： daa 12 即：daa 12 daa 23 即：dadaa2 123 daa 34 即：dadaa3 134 由此归

8、纳等 差数列的通项公式 可得： 1 (1) n aand 这种求数列的方法称为：叠加法或者称为累加法 已知一数列为等差数列，则只要知其首项 1 a和公差 d，便可求得其通项 n a。 学生教案 第 5 页 共 17 页 由上述关系还可得：dmaam)1( 1 即：dmaa m ) 1( 1 则： n adna)1( 1 =dmnadndma mm )() 1() 1( 即等差数列的第二通项公式： n admnam)( d= nm aa nm 三例题讲解 例 1 求等差数列 n a 的前几项依次是 8，5，2，求它的第 20 项 -401 是不是等差数列 -5，-9 ，-13的项？如果是，是第几

9、项？ 解：由35285, 8 1 da n=20 ，得49)3()120(8 20 a 由4)5(9, 5 1 da得数列通项公式为：) 1(45nan 由题意可知， 本题是要回答是否存在正整数n，使得)1(45401n成立解之 得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项 四. 课堂练习 （1）求等差数列 3，7，11，的第 4 项与第 10项. （2）求等差数列 10，8，6，的第 20项. （3）100 是不是等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是， 请说明理由。 分析：根据所给数列的前3 项求得首项和公差， 写出该数列的通项公式， 从而求 出所求项 . （1

10、）解：根据题意可知： 1 a=3,d=73=4.该数列的通项公式为： n a=3+（n 1）4, 即 n a=4n1（n1, nN*） 4 a=441=15, 10 a=4101=39. 评述：关键是求出通项公式. 学生教案 第 6 页 共 17 页 （2）解：根据题意可知： 1 a=10,d=810=2. 该数列的通项公式为： n a=10+ （n1）（2）, 即： n a=2n+12, 20 a= 220+12=28. 分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整 数 n 值，使得 n a等于这一数 . （3）解：根据题意可得： 1 a=2,d=92=7. 此数列

11、通项公式为： n a=2+（n 1）7=7n5. 令 7n5=100,解得： n=15, 100 是这个数列的第 15 项. 五. 课时小结 通过本节学习， 首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式： n a 1n a=d ， （n2，nN ）. 其次，要会推导等 差数列的通项公式 ：dnaan)1( 1 ，并 掌握其基本应用 . 最后，还要注意一 重要关系式： n admnam)(的理解与应 用. 第 3 课时 2.2 等差数列的性质 教学目标 1：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式； 2、能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解 决某

12、些问题。 教学重点 等差中项的性质 学生教案 第 7 页 共 17 页 教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教学过程 一. 课题导入 1等差数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于 同一个常数，即 n a 1n a=d ， （n2，nN ） ，这个数列就叫做等差数列，这个 常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2等差数列的通项公式： dnaan)1( 1 或者 n admnam)( 3计算公差 d 的方法 d= n a 1n a d = 1 1 n aan d = mn aa mn 二. 讲解新课 1. 提出问题 ：如果在 a与 b 中间插

13、入一个数 A，使 a，A， b 成等差数列数列，那 么 A应满足什么条件？ 解：由定义得 A- a=b -A ，即：2Aab 反之，若2Aab，则 A- a=b -A 由此可得：2, ,Aaba A b成等差数列。（等差中项的性质） 2，等差数列的性质： 在等差数列 n a 中，若数列中的项 m a ， n a ， p a ， q a 满足m+n=p+q ，那么就有： mnpq aaaa 三例题讲解 例 1. 在等差数列 n a中，若 1 a+ 6 a=9, 4 a=7, 求 3 a , 9 a的值。 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式， 必须知道这个数列中的

14、至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项 （知道任 学生教案 第 8 页 共 17 页 意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双 项关系式入手。 解： an 是等差数列 1 a+ 6 a= 4 a+ 3 a =9 3 a=9 4 a=97=2 d= 4 a 3 a=72=5 9 a= 4 a+(94)d=7+5*5=32 3 a=2, 9 a=32 例 2. 已知为等差数列，则等于 ( ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7 四课堂练习 1. 在等差数列 n a中，已知10 5 a，31 12 a，求首项 1 a与公差 d 2. 在等差数列 n a 中, 6

15、,7 253 aaa , 则 _ 6 a 五课时小结 节课学习了以下内容： 12, ,Aaba A b成等差数列 2在等差数列中， m+n=p+q qpnm aaaa (m, n, p, q N) 第 4 课时 3.3 等差数列的前 n 项和 教学目标 1：掌握等差数列前 n 项和公式及其由来； 2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 3：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊 的思维规律， 初步形成认识问题， 解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的 学生教案 第 9 页 共 17 页 过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练

16、，发展学生的思维水平. 教学重点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用 教学难点 灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的数列求和问题 教学过程 一. 课题导入 “小故事” : 高斯是伟大的数学家， 天文学家，高斯十岁时 , 有一次老师出了一道题目 , 老师说 : “现在给大家出道题目 : 1+2+100=?” 过 了 两 分 钟 , 正当 大家 在 ： 1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高 斯站起来回答说：“1+2+3+100=5050 。 老师问： “你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101 ；2+99=101；50+51=101 ， 所以“ 1+2

17、+3+100=5050 。 这个故事告诉我们： （1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的 事物中发现和寻找出某些规律性的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是 下面我们要介绍的 “倒序相加” 法。 二. 讲授新课 1等差数列的前 n项和公式 1： 2 )( 1n n aan S 证明： nnn aaaaaS 1321 1221 aaaaaS nnnn +：)()()()(2 23121nnnnnn aaaaaaaaS 23121nnn aaaaaa )(2 1nn aanS由此得： 2 )( 1n n aan S 学生教案

18、 第 10 页 共 17 页 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前 n项和公式 2： 1 (1) 2 n n nd Sna 公式由来： nnn aaaaaS 1321 1111 =()2(1)aadadand 1 1 23(1)nadn 1 (1) 2 n nd na 二例题讲解 例 1 若实数 a，b，5a，7，3b， c 组成等差数列，且ab5a73b c2500，则 a，b，c 的值分别为 A1，3，5 B1，3，7C 1，3，99 D 1，3，9 解：由题设 253baaba 又 14 5a3b， a 1，b3 首项为 1，公差为 2 又 S = nad 2

19、500= n2 n50 n1 n n n n () () 1 2 1 2 a50=c=1(501)2=99 a 1，b3，c99 例 2 等差数列前 10项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为125， 求数列的第 6 项 解依题意，得 学生教案 第 11 页 共 17 页 10ad = 140 aaaaa = 5a20d = 125 1 135791 10 101 2 () 解得 a1=113，d=22 其通项公式为 an=113(n1)(22)=22n135 6 a =2261353 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的这种先 求出基本元素，再用它们去构成其他元

20、素的方法， 是经常用到的一种方法 在 本课中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而 直接去求，所列方程组化简后可得 相减即得，a 2a9d = 28 a4d = 25 a5d = 3 6 1 1 1 即 a63可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点， 必须以对学知识的熟练掌握为前提 例 3. 在 1 和 2之间插入 2n 个数，组成首项为1、末项为 2 的等差数列，若这个 数列的前半部分的和同后半部分的和之比为913，求插入的数的个数 解依题意 21(2n21)d 前半部分的和 后半部分的和 S(n1)d S(n1)2(d) n+1 n+1 () () nn nn 1

21、2 1 2 由已知，有 化简，得 解之，得 S S n nd n nd nd nd n n 1 1 1 1 2 1 2 2 9 13 1 2 2 2 9 13 ()() ()() nd = 5 11 学生教案 第 12 页 共 17 页 由，有 (2n1)d=1 由，解得，d = 1 11 n = 5 共插入 10 个数 三. 课堂练习 1一个等差数列前4 项的和是 24，前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27，求这个 等差数列的通项公式。 2 差数列 n a 中, 4 a15, 公差 d3, 求数列 n a 的前 n 项和 n S的最小值。 四. 课时小结 本节重点内容 ： 1. 等差数

22、列的前 n项和公式 1： 2 )( 1n n aan S 2. 等差数列的前 n项和公式 2： 2 )1( 1 dnn naSn 3， n S与 n a之间的关系 ： 由 n S的定义可知，当n=1时， 1 S= 1 a；当 n2 时， n a= n S- 1n S， 即 n a= )2( )1( 1 1 nSS nS nn . 课后作业 等差数列 1、 （2009 安徽卷）已知为等差数列， 则 等于 ( ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7 学生教案 第 13 页 共 17 页 2、 （2009湖南卷）设 n S 是等差数列 n a 的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则

23、 7 S 等于【】 A13 B35 C49 D 63 3、 （2009福建卷）等差数列 n a 的前 n 项和为 n S ，且 3 S =6， 1 a =4， 则公差 d 等于( ) A1 B 5 3 C.- 2 D 3 4、 实数 a，b，5a，7，3b，c 组成等差数列，且ab5a73b c 2500，则 a，b，c 的值分别为 A1，3，5 B1，3，7 C 1，3，99 D1，3，9 5.（2009 安徽卷理）已知 n a 为等差数列， 1 a + 3 a + 5 a =105， 246 aaa =99，以 n S 表示 n a 的前n项和，则使得 n S 达到最大值的 n是 （A）2

24、1 （B）20 （C）19 （D） 18 6、 （2009全国卷）设等差数列 n a 的前n项和为 n S ，若 9 72S , 则 249 aaa = 7、 (2009 山东卷 ) 在等差数列 n a 中, 6,7 253 aaa , 则 _ 6 a . 8、（2009辽宁卷）等差数列 n a 的前 n项和为n S ，且 53 655,SS 则 4 a 9、 等差数列前 10 项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第 6 项 10、在项数为 2n 的等差数列中， 各奇数项之和为75，各偶数项之和为90， 末项与首项之差为27，则 n 之值是多少？ 11、 在等差数列 an

25、 中，已知 a6a9a12a1534，求前 20 项之和 学生教案 第 14 页 共 17 页 12、 已知等差数列 an 的公差是正数，且 a3a7=12，a4a6=4，求它 的前 20 项的和 S20的值 13、 已知数列 an 的前 n 项和 Sn，求通项公式 an：（1）Sn5n23n； （2）Sn n 3 2； 参考答案 1、 【解析】135 105aaa 即3 3105a 3 35a 同理可得4 33a 公差43 2daa 204 (204)1aad . 选 B。 2、 解: 1726 7 7()7()7(311) 49. 222 aaaa S故选 C. 或由 211 61 31

26、5112 aada aadd , 7 16213.a所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S故选 C. 学生教案 第 15 页 共 17 页 3、 解析 313 3 6() 2 Saa 且 311 2=4 d=2aad a. 故选 C . 4、 解 C2b = a5ab = 3a由题设 又 14 5a3b， a 1，b3 首项为 1，公差为 2 又 S = nad 2500= n2 n50 n1 n n n n () () 1 2 1 2 a50=c=1(501)2=99 a 1，b3，c99 5、 解析 ： 由 1 a+ 3 a+ 5 a=105得 3 3105,a即 3

27、 35a， 由 246 aaa =99 得 4 399a 即 4 33a，2d， 4 (4)( 2)412 n aann，由 1 0 0 n n a a 得20n， 选 B 6、 解: n a是等差数列 , 由 9 72S, 得 59 9,Sa 5 8a 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa. 7、 【解析】 : 设等差数列 n a的公差为 d , 则由已知得 64 72 11 1 dada da 解得 1 3 2 a d , 所以 61 513aad. 8、 【解析】 Snna1 1 2 n(n1)d .S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a

28、115d)15a145d15(a13d)15a4 【答案】 3 1 9、解依题意，得 10ad = 140 aaaaa = 5a20d = 125 1 135791 10 101 2 () 解得 a1=113，d=22 其通项公式为 an=113(n1)(22)=22n135 a6=2261353 学生教案 第 16 页 共 17 页 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、 d， 再求其他的这 种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一 种方法在本课中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而 直接去求，所列方程组化简后可得 相减即得，a 2a9d= 28 a4d

29、 = 25 a5d = 3 6 1 1 1 即 a63可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做 到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提 10、 解S偶项S奇项=nd nd=9075=15 又由 a2na127，即(2n1)d=27 nd15 (2n1)d27 n = 5 11、解法一由 a6a9a12a1534 得 4a138d34 又 S20ad 201 2019 2 20a1190d 5(4a138d)=534=170 解法二 S= (a + a)20 2 = 10(aa ) 20 120 120 由等差数列的性质可得： a6a15=a9a12a1a20a1a20=17 S20170

30、 12、 解法一设等差数列 a n 的公差为 d，则 d0，由已知可得 (a2d)(abd)12 a3da5d =4 11 11 由，有 a124d，代入，有 d2=4 学生教案 第 17 页 共 17 页 再由 d0，得 d2 a1=10 最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S20180 解法二由等差数列的性质可得： a4a6a3a7即 a3a74 又 a3a7=12，由韦达定理可知： a3，a7是方程 x24x120 的二根 解方程可得 x1=6，x22 d 0 an 是递增数列 a36，a7=2 d = a = 2a10S180 7 120 a3 73 ， 13、 【错解】由公式 an =s n s n1得： （1）an=10n2; （2） 1 2 3 n n a 【分析】应该先求出a1，再利用公式 an =s n s n12n求解. 【正解】 （1）an=10n2; (2) 1 1 (1) 2 3 (2) n n n a n