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1、（三十八）空间向量及其运算和空间位置关系 小题常考题点 准解快解 1已知 a(2,1，3)，b( 1,2,3)，c(7,6， )，若 a，b，c 三向量共面， 则 () A 9 B 9 C 3 D3 解 析 ： 选B由 题 意 设c xa yb， 则 (7,6 ， ) x(2,1 ， 3) y( 1,2,3) ， 2xy7， x 2y6， 3x3y ， 解得 9. 2若直线l 的方向向量为a (1,0,2)，平面 的法向量为n( 2,0， 4)，则 () A lBl C l? Dl 与 斜交 解析： 选 B a(1,0,2)，n(2,0， 4)， n 2a，即 an， l . 3已知空间四边形
2、ABCD 的每条边和对角线的长都等于a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AE AF 的值为 () Aa 2 B.1 2a 2 C. 1 4 a 2 D. 3 4 a2 解析： 选 CAE AF1 2( AB AC ) 1 2 AD 1 4( AB AD AC AD ) 1 4(a 2cos 60 a2cos 60 ) 1 4a 2. 4.如图所示， 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1 的交点若AB a， AD b，AA1 c，则下列向量中与BM 相等的向量 是() A 1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2b c C 1 2a 1 2bc D
3、.1 2a 1 2b c 解析： 选 ABM BB1 B1M AA1 1 2( AD AB )c 1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 5(2018 云南模拟 )已知 a(3,2,5)，b(1，x， 1)，且 a b2，则 x 的值为 () A 3 B4 C 5 D6 解析： 选 Ca(3,2,5)，b(1，x， 1)， a b 32x52，解得 x5，故 选 C. 6已知 V 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 VAVB VCVD ， VP 1 3 VC ， VM 2 3 VB ，VN 2 3 VD .则 VA 与平面 PMN 的位置关系是 _ 解析： 如图，设VA a， VB b， V
4、C c，则 VD acb， 由题意知 PM 2 3b 1 3c， PN 2 3 VD 1 3 VC 2 3a 2 3b 1 3c. 因此 VA 3 2 PM 3 2 PN ， VA ， PM ， PN 共面 又 VA?平面 PMN ， VA平面 PMN . 答案： VA平面 PMN 7已知 O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA QB 取 最小值时，点Q 的坐标是 _ 解析： 由题意，设OQ OP ，则 OQ ( ， ，2 )，即 Q( ， ，2 )，则 QA (1 ， 2 ，32 )，QB (2 ，1 ，22 )， QA
5、 QB (1 )(2 ) (2 )(1 )(3 2 )(2 2 ) 6 216 106 4 3 22 3， 当 4 3时有最小值， 此时 Q 点坐标为 4 3 ， 4 3， 8 3 . 答案： 4 3， 4 3， 8 3 大题常考题点 稳解全解 1已知 a(1， 3,2)，b (2,1,1)，A(3， 1,4)，B(2， 2,2) (1)求|2ab|； (2)在直线 AB 上，是否存在一点E，使得 OE b？(O 为原点 ) 解： (1)2a b(2， 6,4)(2,1,1)(0， 5,5)， 故|2ab|02 5 2525 2. (2)令 AE t AB (tR)， 所以 OE OA AE
6、OA tAB (3， 1,4)t(1， 1， 2) (3t， 1t,42t)， 若 OE b，则 OE b0， 所以 2(3t)(1t)(42t)0，解得 t 9 5. 因此存在点E，使得 OE b，此时 E 点的坐标为 6 5， 14 5 ， 2 5 . 2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中， ABC 为等腰直角三角形， BAC90，且 ABAA1，D，E，F 分别为 B1A，C1C，BC 的中点 求 证： (1)DE 平面 ABC； (2)B1F平面 AEF . 证明： 以 A 为原点， AB，AC，AA1所在直线为x 轴， y轴， z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，令 A
7、B AA14，则 A(0,0,0)， E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4， 0,4)，D(2,0,2)， A1(0,0,4) (1) DE ( 2,4,0)，平面 ABC 的法向量为 AA 1 (0,0,4)， DE AA1 0，DE ?平面 ABC， DE平面 ABC. (2)B1F ( 2,2， 4)， EF (2， 2， 2)， AF (2,2,0)， B1F EF ( 2)2 2(2)(4) (2)0， B1F EF ， B1FEF ， B1F AF ( 2)2 22(4) 00， B1F AF ， B1FAF . AFEF F， B1F平面 AEF . 3.如图，四棱锥 P
8、 -ABCD 的底面为正方形， 侧棱 PA底面 ABCD， 且 PAAD2，E，F， H 分别是线段PA，PD，AB 的中点求证： (1)PB平面 EFH ； (2)PD平面 AHF . 证明： 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz. A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)，H(1,0,0) (1)E，H 分别是线段AP，AB 的中点， PBEH . PB?平面 EFH ，且 EH ? 平面 EFH ， PB平面 EFH . (2) PD (0,2， 2)， AH (1,0,0)， AF (0,1,1)
9、， PD AF 0021(2)1 0， PD AH 01 20( 2)00. PDAF ，PDAH. 又 AF AHA， PD平面 AHF . 4.如图所示， 四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底 面边长的2倍，点 P 为侧棱 SD 上的点 (1)求证： ACSD； (2)若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点E，使得 BE平面 PAC.若存在，求SEEC 的值；若不存在，试说明理由 解：(1)证明：连接 BD， 设 AC 交 BD 于点 O， 则 ACBD.连接 SO， 由题意知SO平面 ABCD . 以 O 为坐标原点，OB ， OC ，OS 所在直线分别为
10、 x 轴， y轴， z 轴，建立空间直角坐标系，如图 底面边长为a，则高 SO 6 2 a， 于 是S 0，0， 6 2 a ， D 2 2 a，0，0 ， B 2 2 a，0，0 ， C 0， 2 2 a，0 ， OC 0， 2 2 a， 0 ， SD 2 2 a， 0， 6 2 a ， 则 OC SD 0.故 OCSD.从而 ACSD. (2)棱 SC 上存在一点E，使 BE平面 PAC. 理由如下：由已知条件知DS 是平面 PAC 的一个法向量， 且 DS 2 2 a，0， 6 2 a ， CS 0， 2 2 a， 6 2 a ， BC 2 2 a， 2 2 a，0 . 设 CE t CS ，则 BE BC CE BC t CS 2 2 a， 2 2 a 1t ， 6 2 at ，而 BE DS 0? t 1 3. 即当 SEEC21 时， BE DS . 而 BE?平面 PAC，故 BE平面 PAC.