第3讲圆周运动讲义整理.pdf

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1、第 3 讲圆周运动 学生用书P69 【基础梳理 】 一、描述圆周运动的物理量 1线速度： 描述物体圆周运动的快慢，v s t 2 r T 2角速度： 描述物体转动的快慢， t 2 T 3周期和频率：描述物体转动的快慢，T2 r v ， f 1 T. 4向心加速度：描述线速度方向变化的快慢 anr 2v 2 r v 4 2 T 2r. 5向心力： 作用效果为产生向心加速度，Fnman. 二、匀速圆周运动 1匀速圆周运动的向心力 (1)大小： Fmv 2 r m 2rm4 2 T 2rm v 4 2mf2r. (2)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力 (3)作用效果：向心

2、力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小 2匀速圆周运动与非匀速圆周运动的比较 项目匀速圆周运动非匀速圆周运动 定义线速度大小不变的圆周运动线速度大小变化的圆周运动 运动特点 F向、a向、v 均大小不变，方向变 化， 不变 F向、a向、v 大小、方向均发生变 化， 发生变化 向心力F向F合由 F合沿半径方向的分力提供 三、离心运动 1定义： 做圆周运动的物体，在合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐 渐远离圆心的运动 2供需关系与运动：如图所示，F 为实际提供的向心力，则 (1)当 F m 2 r 时，物体做匀速圆周运动； (2)当 F 0 时，物体沿切线方

3、向飞出； (3)当 Fm 2r 时，物体逐渐靠近圆心 【自我诊断 】 判一判 (1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动() (2)做匀速圆周运动的物体所受合外力是保持不变的() (3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比() (4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比() (5)随圆盘一起匀速转动的物体受重力、支持力和向心力的作用() (6)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动() 提示： (1)(2)(3)(4)(5)(6) 做一做 (2018 云南临沧第一中学高三模拟)如图所示为一种叫做“魔盘”的娱乐设施，当转盘转动很慢时，人会随 着“魔盘”一起转动，当

4、“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上，而不会滑下 若魔盘 半径为 r，人与魔盘竖直壁间的动摩擦因数为 ，在人“贴”在“魔盘”竖直壁上，随“魔盘”一起运动过程 中，则下列说法正确的是() A人随“魔盘”转动过程中受重力、弹力、摩擦力和向心力作用 B如果转速变大，人与器壁之间的摩擦力变大 C如果转速变大，人与器壁之间的弹力不变 D“魔盘”的转速一定大于 1 2 g r 提示： 选 D. 人随 “魔盘 ”转动过程中受重力、弹力、摩擦力，向心力是弹力，故 A 错误 人在竖直方向 受到重力和摩擦力，二力平衡 ，则知转速变大时，人与器壁之间的摩擦力不变，故 B 错误 如果转速变大， 由

5、Fmr2，知人与器壁之间的弹力变大，故 C 错误 人恰好贴在魔盘上时，有 mg f，Nmr(2 n)2，又 f N解得转速为n 1 2 g r ，故“魔盘 ” 的转速一定大于 1 2 g r ，故 D 正确 想一想 如图所示，圆盘上物体随圆盘一起匀速转动，在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动 (1)它们运动所需要的向心力分别由什么力提供？ (2)计算圆盘上物体所受的向心力和漏斗内壁上小球的角速度分别需要知道哪些信息？ 提示： (1)物体的向心力由静摩擦力提供 小球的向心力由支持力与重力的合力提供 (2)物体：质量、角速度/线速度、物体到圆盘圆心的距离 小球：质量、当地重力加速度、支持力与水平面

6、的夹角、水平半径 对传动装置问题的求解学生用书 P70 【知识提炼 】 1对公式 vr 的理解 当 r 一定时， v 与 成正比； 当 一定时， v 与 r 成正比； 当 v 一定时， 与 r 成反比 . 2对 av 2 r 2r v 的理解 在 v 一定时， a 与 r 成反比；在一定时， a 与 r 成正比 3常见的三种传动方式及特点 传动类型图示结论 共轴 传动 (1)运动特点：转动方向相同 (2)定量关系： A点和 B 点转动的周 期相同、角速度相同，A 点和 B 点 的线速度与其半径成正比 皮带 (链 条)传动 (1)运动特点：两轮的转动方向与皮 带的绕行方式有关，可同向转动， 也可

7、反向转动 (2)定量关系：由于A、B 两点相当 于皮带上的不同位置的点，所以它 们的线速度大小必然相同，二者角 速度与其半径成反比，周期与其半 径成正比 齿轮 传动 (1)运动特点：转动方向相反 (2)定量关系： vAvB；T A TB r 1 r2 z1 z2； A B r2 r1 z2 z1(z 1、z2分别表示两齿轮的 齿数 ) 【跟进题组 】 1. (多选 )如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C 三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知 RBRC RA 2 ，若在传动过程中，皮带不打滑，则() AA 点与 C 点的角速度大小相等 BA 点与 C 点的线速度大小相等 CB 点与

8、 C 点的角速度大小之比为21 DB 点与 C 点的向心加速度大小之比为14 解析： 选 BD . 处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动 的点 ，角速度相等 ，对于本题 ，显然 vAvC，A B，选项 B 正确；根据 vAvC及关系式vR，可得 ARA CRC，又 RC RA 2 ，所以 A C 2 ，选项 A 错误；根据 AB，A C 2 ，可得 B C 2 ，即 B 点与 C 点的角 速度大小之比为12，选项 C 错误；根据B C 2 及关系式a 2R，可得 a B aC 4 ，即 B 点与 C 点的向心加速 度大小之比为1 4，选项 D 正确 2

9、(多选 )如图所示为某一皮带传动装置M 是主动轮，其半径为r1，M半径也为 r1，M和 N 在同一 轴上， N 和 N的半径都为r2. 已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑则下列说法正确 的是 () AN轮做的是逆时针转动 BN轮做的是顺时针转动 CN轮的转速为 r1 r2 2 n DN轮的转速为 r2 r1 2 n 解析： 选 BC. 根据皮带传动关系可以看出，N 轮和 M 轮转动方向相反，N轮和 N 轮的转动方向相反，因 此 N 轮的转动方向为顺时针，A 错误 ，B 正确 皮带与轮边缘接触处的速度相等，所以 2 nr1 2 n2r2，得 N(或 M)轮的转速为n2nr 1

10、 r2 ，同理 2 n2r12 n2r2，得 N轮转速 n 2 r1 r2 2 n，C 正确 ，D 错误 在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为： (1)同一转轴的各点角速度相同 ，而线速度 vr 与半径 r 成正比 ，向心加速度大小a 2 r 与半径 r 成 正比 (2)当皮带不打滑时， 用皮带连接的两轮边缘上的各点线速度大小相等，由 v r 可知 ，与 r 成反比 ，由 av 2 r 可知 ，a 与 r 成反比 水平面内的圆周运动学生用书 P71 【知识提炼 】 1问题特点 (1)运动轨迹是圆且在水平面内 (2)向心力的方向沿半径指向圆心 (3)向心力来源：一个力或几

11、个力的合力或某个力的分力 2向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置 (2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力 3运动实例 ：圆锥摆、汽车和火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等 【典题例析 】 如图所示， 用一根长为l1 m 的细线， 一端系一质量为m1 kg 的小球 (可视为质点 )，另一端固定在一光 滑锥体顶端， 锥面与竖直方向的夹角 37， 当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为时， 细线的张力为FT. (g 取 10 m/s2，结果可用根式表示) (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？ (2)若细线与

12、竖直方向的夹角为60，则小球的角速度 为多大？ 审题指导 (1)小球离开锥面的临界条件是小球仍沿锥面运动，支持力为零 (2)细线与竖直方向夹角为60时 ，小球离开锥面，做圆锥摆运动 解析 (1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线拉力，如图所示 小球做匀速圆周运动的轨迹圆 在水平面上 ， 故向心力水平 ，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得： mgtan m 2 0lsin 解得： 2 0 g lcos 即 0 g lcos 5 2 2 rad/s. (2)同理 ，当细线与竖直方向成60角时 ，由牛顿第二定律及向心力公式：mgtan m 2lsin 解得 2g lcos ， 即

13、g lcos 2 5 rad/s. 答案 (1) 5 2 2 rad/s(2)25 rad/s 水平面内圆周运动的处理方法 质点随水平圆盘一起转动、火车转弯、 汽车转弯、 飞机在空中的盘旋、开口向上的光滑圆锥体内小球绕竖 直轴线的圆周运动等，都是水平面内圆周运动的典型实例，其受力特点是合力沿水平方向指向轨迹内侧，求解 时要明确物体所受的合外力提供向心力 Fmv 2 Rm 2Rm4 2R T 2. 以质点随水平圆盘一起转动为例，质点与圆 盘面之间的静摩擦力提供向心力静摩擦力随速度的增大而增大，当静摩擦力增大到最大静摩擦力时，质点达 到保持圆周运动的最大速度若速度继续增大，质点将做离心运动 【迁移

14、题组 】 迁移 1车辆转弯问题 1(多选 ) (2016 高考浙江卷 )如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R90 m 的大圆弧 和 r40 m 的小圆弧，直道与弯道相切大、小圆弧圆心O、O距离 L100 m赛车沿弯道路线行驶时，路 面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2. 25 倍假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速 圆周运动要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g10 m/s2， 3. 14)，则 赛车 () A在绕过小圆弧弯道后加速 B在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C在直道上的加速度大小为5. 63 m/s 2 D通过小

15、圆弧弯道的时间为5. 58 s 解析： 选 AB. 因赛车在圆弧弯道上做匀速圆周运动， 由向心力公式有Fmv 2 R ，则在大小圆弧弯道上的运 动速率分别为v大 FR m 2. 25mgR m 45 m/s，v小 Fr m 2. 25mgr m 30 m/s，可知赛车在绕过小 圆弧弯道后做加速运动，则 A、B 项正确；由几何关系得直道长度为dL 2（ Rr）250 3 m，由运动 学公式 v 2 大v2小2ad，得赛车在直道上的加速度大小为a6. 50 m/s2，则 C 项错误；赛车在小圆弧弯道上运动 时间 t 2 r 3v小 2. 79 s，则 D 项错误 迁移 2圆锥摆模型 2. (多选

16、)如图所示， 两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点， 设法让两 个小球均在水平面上做匀速圆周运动已知 L1跟竖直方向的夹角为60，L2跟竖直方向的夹角为30，下列 说法正确的是() A细线 L1和细线 L2所受的拉力大小之比为 31 B小球 m1和 m2的角速度大小之比为 31 C小球 m1和 m2的向心力大小之比为 31 D小球 m1和 m2的线速度大小之比为 33 1 解析： 选 AC. 对任一小球进行研究， 设细线与竖直方向的夹角为 ，竖直方向受力平衡， 则 Tcos mg， 解得 T mg cos ，所以细线L1和细线 L2所受的拉力大小之比为 T1 T

17、2 cos 30 cos 60 3 1 ，故 A 正确；小球所受合力的 大小为 mgtan ，根据牛顿第二定律得mgtan mL 2sin ，得 2g Lcos ，故两小球的角速度大小之比为 1 2 cos 30 cos 60 4 3 1 ，故 B 错误；小球所受合力提供向心力，则向心力为Fmgtan ，小球 m1和 m2的向心力大 小之比为 F1 F2 tan 60 tan 30 3，故 C 正确 两小球角速度大小之比为 4 31，由 v r 得线速度大小之比为 3 31，故 D 错误 迁移 3水平面内圆周运动的临界问题 3(多选 ) (高考全国卷 )如图，两个质量均为m 的小木块a 和 b

18、(可视为质点 )放在水平圆盘上， a 与转轴 OO的距离 为 l， b 与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g. 若圆盘 从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是() Ab 一定比 a先开始滑动 Ba、b 所受的摩擦力始终相等 C kg 2l 是 b 开始滑动的临界角速度 D当 2kg 3l 时， a 所受摩擦力的大小为kmg 解析： 选 AC. 小木块发生相对滑动之前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得， fm 2r，显然 b 受 到的摩擦力较大；当木块刚要相对于盘滑动时，静摩擦力f 达到最大值fmax，由题设

19、知fmax kmg，所以 kmg m 2r， 由此可以求得木块刚要滑动时的临界角速度 0 kg r ， 由此得 a发生相对滑动的临界角速度为 kg l ， b 发生相对滑动的临界角速度为 kg 2l ；若 2kg 3l ，a 受到的是静摩擦力，大小为 fm 2l2 3kmg. 综上所 述，本题正确答案为A、C. 竖直面内的圆周运动学生用书 P72 【知识提炼 】 1运动特点 (1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动 (2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒 (3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运 动到圆周的最高点的速度 (4

20、)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点两种情形 2常见模型 轻绳模型轻杆模型 常见类型 过最高点的 临界条件 由 mgmv 2 r 得 v临gr由小球能运动即可， 得 v临0 讨论分析 (1)过最高点时， vgr， FNmg mv 2 r ，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时vgr，在到 达最高点前小球已经脱离了圆轨 道 (1)当 v0 时， FNmg，FN 为支持力，沿半径背离圆心 (2)当 0vgr时， FN mgmv 2 r ，FN背离圆心且随v 的增大而减小 (3)当 vgr时， FN0 (4)当 vgr时， FNmg mv 2 r ，FN指向圆心并随v

21、的增 大而增大 【典题例析 】 (多选 )如图甲所示， 轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其 Fv2图象 如图乙所示则() A小球的质量为 aR b B当地的重力加速度大小为 R b Cv 2c 时，小球对杆的弹力方向向上 Dv 22b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 审题指导 由于杆既可以提供支持力，又可以提供拉力，故小球通过最高点时的速度可以不同，则通过 Fv 2 图象 ，可得到小球通过最高点时杆的弹力和小球速度大小的定量关系，从而找到解题的突破口 解析 对小球在最高点

22、进行受力分析，速度为零时 ，Fmg0，结合图象可知amg0；当 F0 时， 由牛顿第二定律可得mg mv 2 R ，结合图象可知mg mb R ，联立解得g b R，m aR b ，选项 A 正确 ， B 错误；由 图象可知bt2D无法比较t1、t2的大小 解析：选 A. 在滑道 AB 段上取任意一点E， 比较从 A 点到 E 点的速度v1和从 C 点到 E 点的速度v2， 易知 ， v1v2. 因 E 点处于 “凸”形轨道上 ，速度越大 ，轨道对小滑块的支持力越小 ，因动摩擦因数恒定，则摩擦力越 小，可知由 A 滑到 C 比由 C 滑到 A 在 AB 段上的摩擦力小， 因摩擦造成的动能损失也

23、小 同理 ，在滑道 BC 段的 “凹”形轨道上 ，小滑块速度越小，其所受支持力越小，摩擦力也越小，因摩擦造成的动能损失也越小， 从 C 处开始滑动时，小滑块损失的动能更大故综上所述 ，从 A 滑到 C 比从 C 滑到 A 在轨道上因摩擦造成的 动能损失要小，整个过程中从A 滑到 C 平均速度要更大一些，故 t10时，重力和支持力的合力不够提供向心力 ，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最 大值 ，设此最大角速度为 1，受力如图： 由牛顿第二定律得， Ffcos 45 FNcos 45 mRsin 45 2 1 Ffsin 45 mg FNsin 45 联立解得： 1 32g 2R 当

24、0时，重力和支持力的合力大于所需向心力 ，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦 力向上达到最大值，设此最小角速度为 2 由牛顿第二定律得， FNcos 45 Ffcos 45 mRsin 45 2 2 Ffsin 45 FNsin 45 mg 联立解得： 2 2g 2R 所以 2g 2R 3 2g 2R . 答案： (1) 2g R (2) 2g 2R 3 2g 2R 12. 如图所示， A、 B 两物体用轻绳连接，并穿在水平杆上，可沿杆滑动水平杆固定在可绕竖直轴PQ 转动 的框架上， 已知 A、B 的质量分别为m1和 m2，水平杆对物体A、B 的最大静摩擦力均与各物体的重力成正比，

25、 比例系数为 ，物体 A 离转轴 PQ 的距离为R1，物体 B 离转轴 PQ 的距离为R2，且有 R1R2和 m1m2. 当框 架转动的角速度缓慢增大到 1时，连接两物体的轻绳开始有拉力； 角速度增大到 2时，其中一个物体受到杆 的摩擦力为零则： (1)角速度 1多大？此时两物体受到的摩擦力各多大？ (2)角速度 2多大？此时轻绳拉力多大？ 解析： (1)对物体受力分析，开始角速度较小时靠静摩擦力就能提供做圆周运动所需向心力，因此有Ff m 2R， 当静摩擦力达到最大后轻绳才提供拉力 设当物体受到的静摩擦力达到最大值mg 时，框架的角速度为0，则有 mgm 2 0R 由此得 0 g R. 式说

26、明物体离转轴越远，受到静摩擦力越先达到最大值，所以 ，当角速度为1 g R2时， 轻绳开始 有拉力 ，此时两物体受到摩擦力分别为FfAm1 2 1R1 m1gR1 R2 ， FfB m2g. (2)当角速度 1时，设轻绳拉力为 FT，对于 A 物体有 FTFfA m1 2R 1 对于 B 物体有 FTm 2gm2 2R 2 联立 式得 A 物体受到的静摩擦力为 FfA m2g(m2R2m1R1) 2 由于 R1R2和 m1m2，则 A 物体受到静摩擦力随角速度增大而减小，当减为零时 ，框架的角速度为 2 m2g m2R2m1R1 将式代入 式得轻绳拉力为FT m 1m2gR1 m2R2m1R1. 答案： (1)1 g R2 Ff A m1gR1 R2 FfBm 2g (2)2 m2g m2R2m1R1 FT m1m2gR1 m2R2 m1R1