《考点50与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点50与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版).pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 50 与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题 【考纲要求】 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利 用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题. 【命题规律】 离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而 且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，中等难度 【典型高考试题变式】 与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题 例 1.【2017 课标 3】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同
2、，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天 最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25 ，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20 ，25 ）， 需求量为300 瓶；如果最高气温低于20 ，需求量为200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年 六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10 ，15 ）15 ，20 ）20 ，25）25 ，30 ）30 ，35 ）35 ，40 ） 天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月
3、份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元） .当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位： 瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【分析】（ 1）X所有的可能取值为200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列； （2）由题中所给条件分类讨论可得n=300时，Y的数学期望达到最大值，为520 元. 【解析】（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 216 2000.2 90 P X ， 36 3000.4 90 P X ， 2574 5000.4 90 P X . 因此 X 的分布列为 X 20
4、0300500 P 0.2 0.4 0.4 所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元. 【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的 概率分布两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是pi 0(i1,2 ，) ；二是p1p2 pn1 检验分布列的正误. 【变式 1】 【2018 河南省漯河市模拟】汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车 销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等。某品牌汽车4S店为了了解A，B，C三种类型汽车质量 问题 ,对售出的三种类型汽车各取100 辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要
5、维修的车辆如下表所示1.表 1 （1）某公司一次性从4S店购买该品牌A，B，C型汽车各一辆,记表示这三辆车的一年内需要维修的 车辆数，求的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率). （2）该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进 行试销相等时间，得到数据如表2. 预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从0?.2,ybxa baybx的关系 ,且该产品的成本是500 元/ 件,为使 4S 店获得最大利润(利润 = 销售收入 -成本 )，该产品的单价应定位多少元？ 表 1 车型ABC 频数20 20 40 表 2 单价x(元 ) 8
6、00 820 840 850 880 900 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 【解析】（1）根据表格 , A型车维修的概率为 1 5 , B型车维修的概率为 1 5 , C型车维修的概率为 2 5 . 由题意 , 的可能值为0,1,2,3, 所以 44348 0 555125 p； 14344256 1+ 555555125 p 11314241219 2+ 555555555125 p； 1122 3 555125 p 所以的分布列为 0 1 2 3 p 48 125 56 125 19 125 2 125 所以 48561924 0123 1251251251255 E
7、. 【变式 2】 【2018 四川省德阳市三校联合测试】为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居 民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）. 阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯 来源 学*科* 网 月用电范围（度）（0,210 （210,400 400, 某市随机抽取10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用电量（度） 5 3 86 90 12 4 132 20 0 215 225 300 410 若规定第一阶梯电价每度0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6 元，第三阶梯超出第二阶梯的部分 每度 0.8 元，试
8、计算A 居民用电户用电41 0 度时应交电费多少元？ 现要在这10 户家庭中任意选取3 户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； 以表中抽到的10 户作为样本估计全市 的居民用电，现从全市中依次抽取 10 户，若抽到k户用电量为第一 阶梯的可能性最大，求k的值 .学！科网 【解析】（1）210 0.54002100.64104000.8227元, 设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3 户，则可取 0,1,2,3, 来源:Zxxk.Com 3 7 3 10 7 0 24 C p C 21 73 3 10 21 1 40 C C p C , 12 73 3 10 7 2 4
9、0 C C p C 3 3 3 10 1 3 120 C p C , 故的分布列是 0 1 2 3 p 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 721719 0123 24404012010 E, 可知从全市中抽取10 户的用电量为第一阶梯，满足 3 10, 5 XB，可知 10 10 32 55 kk k p XkC0,1 ,2,3,10k , 119 1010 1 1011 10 0 1 0 1 1 3232 ( ) ()( )( ) 5555 3232 ( ) ()()() 5555 kkkkkk kkkkkk CC CC ,解得 2833 55 k， * kN, 所以当6k时
10、，概率最大，所以6k. 【数学思想】 数形结合思想 函数方程思想 转化与化归思想. 【温馨提示】 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓， 由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究 随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策 【典例试题演练】 1.【2017 河南百校联考】小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12 元，然后 发给朋友A，如果A 猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，AB、 平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发
11、给朋友C，如果C猜中，AB、和C平分红包里 的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设ABC、 、猜中的概率分别为 1 1 1 , 3 2 3 ，且 ABC、 、是否猜中互不影响 （1）求A恰好获得4 元的概率； （2）设A获得的金额为X元，求X的分布列； （3） 设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的 期望之和 （3）Y的可能取值为0， 4，6；Z的可能取值为0，4 因为 121252111211 0,4,6 332393239323 P YP YP Y， 12121282111 0,4 33232393239 P ZP Z ， 所
12、以 51122814 046,04 9939999 EYEZ， 所以 26 9 EYEZ， 又 211158 04612 99339 EX， 由于EXEYEZ，所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和 2.【2016 洛阳市统一考试】今年春节期间，在为期5 天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况 如下表： 日期 天气 2 月 13 日2 月 14 日来 源学 + 科+网 2 月 15 日2 月 16 日2 月 17 日 来 源学& 科 & 网Z&X&X&K 小雨小雨阴阴转多云多云转阴 销售量上午42 47 58 60 63 下午55 56 62 65 67 由表可知：两个雨
13、天的平均销售量为100 件/ 天，三个非雨天的平均销售量为125 件/天. （1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10 个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数； （2）假如明天庙会5 天中每天下雨的概率为 2 5 ，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期 间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；学￥科网 （3）已知摊位租金为1000 元/个，该种玩具进货价为9 元/ 件，售价为13 元/ 件，未售出玩具可按进货价 退回厂家，若所获利润大于1200 元的概率超过0.6 ，则称为“值得投资” ，那么在（ 2）的条件下，你认为 “值得投资”吗? 【解析】（1）由已知得如下茎
14、叶图，中位数为 5860 59 2 . （2）设明年庙会期间下雨天数为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5 ，且X 2 (5,) 5 B， 所以 2 ()52 5 E X， 所以估计明年庙会期间，可能有2 天下雨， 3 天不下雨， 据此推测庙会期间该摊点能售出的玩具件数为10021253575. 3.一个口袋中有2 个白球和n个红球 (n 2，且nN * )，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放 回袋中 )，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖 （1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率； （2）若n3，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概
15、率为f(p)，当n为何值时，f(p)取最大值？ 【解析】（1）一次摸球从n2 个球中任选两个，有C2n 2种选法，其中两球颜色相同有C2nC22种选法，因 此一次摸球中奖的概率为 C2 nC22 C2 n2 n2n2 n23n2 . （2）若n3，则一次摸球中奖的概率为 2 5 ，三次摸球是独立重复试验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是 C13 2 5 (1 2 5 )2 54 125 . （3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球恰有一次中奖的概率是f(p)C13p (1p)23p 3 6p2 3p ， 0p1. 因为f (p)9p 212 p33(p1)(3p1)， 所以f(p)在(0， 1
16、 3 )上是增函数，在( 1 3，1)上是减函数， 所以当p 1 3 时，f(p)取最大值， 所以p n 2n2 n23n 2 1 3 (n 2，且nN *)，所以 n2. 故n2 时，f(p)取最大值 4.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4 个 标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 （1）若袋中所装的4 个球中有1 个所标的面值为50 元，其余 3 个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为60 元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及均值； （2）商场对奖励总额的预算是60 000元，并规
17、定袋中的4 个球只能由标有面值10 元和 50 元的两种球组 成，或标有面值20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾 客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由 （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60 元所以，先寻找均值为60 元的可能方案对于面值 由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60 元是面值之和的最大值，所以均值 不可能为60 元；如果选择 (50,50,50,10) 的方案， 因为 60 元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60 元，因此可能的方
18、案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案 是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案 (10,10,50,50) ，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X12060100 P 1 6 2 3 1 6 X1的均值E(X1) 20 1 6 60 2 3 100 1 6 60 ， X1的方差D(X1)(20 60) 2 1 6 (60 60) 2 2 3 (100 60) 2 1 6 1 600 3 . 对于方案2
19、，即方案 (20,20,40,40) ，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2406080 P 1 6 2 3 1 6 X2的均值E(X2) 40 1 6 60 2 3 80 1 6 60 ， X2的方差D(X2)(40 60) 2 1 6 (60 60) 2 2 3 (80 60) 2 1 6 400 3 . 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2 奖励额的方差比方案1 的小，所以应该选择方案2. 5.(2016 全国乙卷 )某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进 机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使用期间，如果
20、备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用 期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的 易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购 买的易损零件数 （1）求X的分布列； （2）若要求P(Xn) 0.5 ，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19 与n 20 之中选其一，应选用哪个？ 【解析】 （1）由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,1
21、0,11的概率 分别为 0.2 ，0.4， 0.2,0.2. 从而P(X16) 0.2 0.2 0.04 ； P(X17) 2 0.2 0.4 0.16 ； P(X18) 2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24 ； P(X19) 2 0.2 0.2 2 0.4 0.20.24 ； P(X20) 2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2 ； P(X21) 2 0.2 0.2 0.08 ； P(X22) 0.2 0.2 0.04. 所以X的分布列为 X 16171819202122 P 0.040.160.240.240.20.080.04 6.【2018 四川省乐山外国语学校模拟】某公司
22、每个工作日由位于市区的总公司向位于郊区的分公司开一个 来回的班车（每年按200 个工作日计算） ，现有两种使用班车的方案，方案一是购买一辆大巴，需花费90 万元，报废期为10 年，车辆平均每年的各种费用合计5 万元，司机年工资6 万元，司机每天请假的概率为 0.1（每年请假时间不超过15 天不扣工资， 超过 15 天每天 100 元） ，若司机请假则需从公交公司雇佣司机， 每天支付300 元工资 .方案二是租用公交公司的车辆（含司机），根据调研每年12 个月的车辆需求指数如直 方图所示，其中当某月车辆需求指数在 21 2 ,1,2,3,4,5 1010 n n n时，月租金为10.2n万元 . （1）若购买大巴，设司机每年请假天数为x，求公司因司机请假而增加的花费y（元）及使用班车年平均 花费（万元）的数学期望E. （2）试用调研数据，给出公司使用班车的建议，使得年平均花费最少. 【解析】（1）由已知，当15x时，300yx， 当15x时，2001545002001500yxx 所以 300015, 200150015 xx yxN xx 由已知200,0.1xB，所以200 0.120E x 所以9560.03 150.02520.55E（万元）学科网