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1、高三数学也应重视知识生成过程的教学 摘要：高三教学复习不应只是整个高中数学知识点的罗列和简单的强化训练，更 应是对学生已有的知识结构做系统整理和升华；不是公式的简单模仿强化应用， 而是对知识的内涵和本质再认识以及构建新的数学知识体系本文主要针对高三 数学重视数学知识生成过程的教学的必要性和一些做法进行阐述 关键词：知识生成过程思维过程高三数学 不久前听了高三一位数学老师的常态课，课题是等比数列及其前n 项和 ， 这是一节复习课 教师首先给学生 5 分钟左右的时间自主学习， 梳理本节课所涉 及的知识点： 等比数列的定义、 等比中项、 等比数列的通项公式以及通项公式的 推广形式、等比数列的前n项和
2、公式、等比数列的性质等等接着教师提醒学生 运用公式或性质时应注意的一些事项，接下来的时间是完成印发的学案上的题 目，然后教师点评应该说学案上的题目有梯度，容量和难度都适中，选题也很 有代表性； 学生练习的时间很充分， 也有学生的展示， 充分发挥了学生的主体作 用，教师点评也很到位 但一节课听下来总觉得缺少了些东西再现知识点的 形成和生长过程 有不少的老师认为讲解数学概念、公式、定理等的形成过程是 高一、高二学习新课时做的工作，高三复习时间紧、任务重，要把重点放在让学 生形成知识系统和训练学生运用知识解题的能力上其实不然，高三教学复习不 应只是整个高中数学知识点的罗列和简单的强化训练，更应是再现
3、概念、定理、 公式等知识的生成过程， 对学生已有的知识结构做系统整理和升华；不是公式的 简单模仿强化应用，而是对知识的内涵和本质再认识以及构建新的数学知识体 系 本文主要针对高三数学重视数学知识生成过程的教学的必要性和一些做法进 行阐述 一高三数学要重视数学知识生成过程教学的必要性 普通高中数学课程标准 指出“高中数学课程应该返朴归真，努力揭示数 学概念、法则、结论的发展过程和本质数学过程要讲逻辑推理，更要讲道理， 通过典型例子的分析和学生自主探究活动，使学生理解数学概念、 结论逐步形成 的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹， 把数学的学术 1 形态转化为学生易于接受的教育
4、形态” 华罗庚教授曾说过：不要只给学生看做 好了的饭，更要让学生看做饭的过程，数学教学要设法使课本知识“活”起来， 课堂教学不是堆砌知识的积木， 而是用一系列的思维活动把知识贯穿起来，使学 生真正领会到数学知识深化发展的动态过程 在新课程理念的指导下的，近几年各地高考新题不断出现如2010 年四 川高考题是一道关于教材中公式的证明：证明两角和的余弦公式 )( ： sinsincoscos)cos(；由 )( 推导出两角和的正弦公式： )( S:sincoscossin)sin(再如 2011 年陕西卷文理科第18 题 叙述并证明余弦定理 在数学学习过程中， 对于余弦定理和两角和的正、余弦公 式
5、，教师和学生都能熟练运用， 但在高三复习教学中恐怕很少有教师要求学生回 顾其证明过程， 再次阐述证明过程所采用的数学思想方法所以这两道试题的出 现，给当前的一些高考复习方式和方法当头一棒的感觉，与此同时， 高中数学教 师尤其是高三教师也在反思： 高三的教学复习应该如何进行？怎么做才能更好地 对学生已有知识体系进行再构建和升华？这两道试题的出现再一次向高三的教 师提醒：回归教材，重视基础，注重通性通法，帮助学生构建宏观知识体系，突 出思想方法，注意思维能力的培养 二重视数学知识生成过程的一些做法 1再现数学概念、结论形成的过程 高三数学复习课肯定不能当成新课来上高三复习要求学生理清高中数学的 知
6、识主线，透彻地掌握知识结构，熟记数学概念，公理，定理，性质，法则，公 式，使之烂熟于心所以教学时要再现核心知识、核心概念的形成过程，特别是 提炼在这一过程中所产生的数学思想方法数学思想方法孕育于知识的发生发展 过程中“思想”就是认识，它是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从技 能到能力的桥梁 缺乏数学思想方法这根纽带， 概念间的关系无法认识， 概念间 的联系难以建立， 对概念的理解难以到位 “方法”就是措施， 把握了“核心方 法”就把握了一类问题的处理方法 缺少数学思想方法就难以构建基础网络系理 清教材知识脉络，将数学各知识点串成线，联成网在高三教学过程中，要认真 用好教材，教材上蕴涵着很多
7、解题思想和方法，以数比数列及其前n 项和为 2 例，课堂教学中可以这样来进行：首先引入等比数列的定义， 在定义的基础上再 现等比数列通项公式以及等比数列的前n 项和的推导过程，可以加深学生对“累 乘法”求通项公式以及“错位相减法”求前n项和这两种方法的理解和应用；通 过推导等比数列的性质， 让学生理解等比数列的性质是建立在等比数列的定义和 公式的基础上的一种简化和提升，有关等比数列的题型， 即使不会用性质解决也 可以回归到用通性通法基本量法解决以此同时，引导学生与等差数列的定 义、通项公式、前 n 项和公示、性质进行类比，在此基础上提炼出另外一个更具 高度的思想：对立与统一思想：差与和、比（商
8、）与积是对立的关系。这种思想 在等差数列与等比数列的相关知识点中达到了高度的和谐统一. 在教学过程中要 重视概念形成的过程，理解定义、定理、公式的来龙去脉. 如果过于强调各个知 识点之间的相对独立性， 过于强调对已有结论的记忆， 教学前后脱节， 不能将教 科书中的有关内容视为一个发展的过程和有机的整体，抓不住知识之间的内在联 系，导致相关知识之间相互割裂， 就会影响学生思维过程和思维能力的培养和训 练，展示给学生的，只是不同观点和结论的碰撞、叠加，而没有多种思想和方法 的交锋、交融，学生也就很难举一反三、融会贯通了. 2例题设计重视知识发生的思维过程 数学教学不仅是传授现成得数学结论，数学教学
9、是思维教学活动的教学教 学的价值不仅局限于帮助学生获得和记住书本中的知识，要有助于思维的训练与 认识能力的提高这就得研究知识发生的思维过程，即是怎样提出问题、想出问 题和解决问题的，又是怎样把获得的知识引申、发展和应用的，传统的教学方法 往往只注重结论的传授，忽视了知识的获得过程，往往偏重于逻辑思维的推理论 证能力的训练和整理性思维 ，忽视了学生形象思维的探索能力的训练和归纳性非 论证的思维要改变这种状况就要求我们增加思维教学的透明度，准确深刻、鲜 明生动地再现数学知识的发生过程例题教学是高三复习的重要组成部分，高三 复习阶段很多问题都是综合性问题, 直接讲解往往让学生难以理解, 以学生已有
10、的认知水平为基础 , 将问题设计成层层深入的例题, 形成一个完整的思维链 , 这样 做突破了难点 , 有利于激发学生学习的兴趣和求知欲望，使学生认识到知识发生 过程中所反映的重要的思想方法，并为知识的应用打下厚实的思想方法的基础， 3 提高学生学习能力和数学素质以下是本人在高三教学中，为了突破难点进行的 两个实例： 实例 1：求形如 dcx bax y的函数值域的方法主要有两种：分离常数法和反 函数法由于反函数在新课程教材中不作要求，所以只要求学生会用分离常数法 求解根据以往的教学实践知很多学生知道求这种类型的值域，但并不理解为什 么要这样做 有不少教师并没有给学生解析原因，只叫学生记住就行了
11、 为了让 学生理解函数 dcx bax y与反比例函数)0(k x k y的关系和分离常数法的本 质，我的例题设计如下： 例 1：求下列函数的值域： （1） x y 5 ；（2） 3 5 x y；（3）1 5 x y；（4）1 3 5 x y；（5） 2 ( ) 3 x f x x . 问题 1：通过（ 1）（ 5）的求解，你能得到形如 dcx bax y（ c d x）型的函 数的值域的求法吗？ 问题 2：你能说说（ 1）（ 5）这五个函数的图像特征吗？ 问题 3：函数 dcx bax y（ c d x）与反比例函数)0(k x k y的有怎样的关系？ 问题 4：如何求函数 dcx bax
12、y（ c d x）的值域？ 实例 2：三个“二次” ( 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式) 是高中 阶段要求重点掌握的知识， 它们体现了方程、 函数与不等式的联系和转化，函数 与方程思想、转化与化归思想均可以通过三个“二次”来实现但学生对含参数 的二次函数的最值问题的理解和应用程度不够为了让学生逐步理解和掌握含参 数的二次函数的最值问题的思路和方法，可以设计如下例题， 让学生在探究问题 的过程中逐步领会： 例 2： （1）求函数32)( 2 xxxf在区间 -2 ，1 上的最大值和最小值 （2）求函数32)( 2 axxxf在区间 0 ，2 上的最值； （3）求函数32)( 2 xxxf
13、在区间 0 ， a 上的最值； （4） 已知函数12)( 2 axxxf在区间 0 ， 2 上的最小值为 1， 求a 的值； （5）已知函数12)( 2 axxxf在区间 0 ，2 上的最大值为 1，求 a的 4 值； （6）已知函数22)( 2 axaxxf在区间 -4 ，1 上的最小值为1，求 a 的 值 （1） （2） （3）是相对简单的一组题， 分别是“定轴定区间”、“动轴定区间” 和“定轴动区间”问题 待多数学生有了思考结果后， 组织学生讨论交流， 归纳 出求这类题目的关键是要判断出区间内函数值的变化情况，即要研究二次函数在 所给区间内的单调性， 其实就是判断对称轴与所给区间的相对位
14、置来区分，所以 问题求解的本源在于探明对称轴是在区间内还是在区间外，这点认识清楚了， 就 很自然地引出了分类当学生能成功解决（1） （2） （3）题后，再解决（ 4（5） （6）题就容易多了 3暴露学生解题思维过程 高三解题教学的一个重要任务是培养学生运用所学知识解决问题的能力暴 露学生解题思维过程是检验学生掌握知识程度的有效手段在解题教学中常常出 现这样的情况， 平时学生在课上看到的是一帆风顺的样子，老师讲解的每个知识 点，每道例题都听懂了，但是亲自动手解起来却很少马到成功究其原因，主要 是因为教师上课“独占”课堂，比如教师在出示题目后，未等学生进行思考或学 生的思考刚刚“起步” ，便急于提
15、示或抽取题干的关键条件，或给出本题的思路 或方向，使题目便以快速顺利的解决 题目解决后，教师以自己的总结结束本题， 匆匆转入下题的讲解 教师习惯于这样的过程， 在较有限的时间内可以涉及到更 多的题目， 节约了时间又避免了偏差 而这样的讲题过程， 学生的思维受到较大 的限制为了克服这些不足， 让学生展示自己的解题过程并讲出自己的思维过程 是非常有效的方式 我在高三解题教学过程中， 经常让学生上黑板书写解题过程 并讲解解题思路然后针对学生讲解过程中暴露出来的漏洞和缺陷补充或纠 正让学生讲题，亲身经历分析问题、解决问题、反思总结的全过程，这样做的 最大好处是充分发挥了学生的主体地位，给了他们展示自己
16、的舞台， 激活了思想 的火花，在师生的互动甚至争论中，加深了对问题的理解，培养了正确的思维， 提高了自我学习的能力和水平 由此也收到了较好的教学效果 例如，在复习 离 散型随机变量的均值时，我出示了如下题目： 例 3：甲同学参加一次英语口语考试，已知在备选的10 道试题中，甲能答 5 对其中的 6 题规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试， 求甲答对试 题数的分布列及数学期望 给学生 5 分钟的思考和做题时间， 然后派出两位基础处于中等水平的学生上 黑板书写解答过程， 结果他们做出的答案一样， 但解答过程迥然不同， 板书如下： 生 1：的可能取值为 0，1，2，3 125 8 5 2 )
17、0( 3 0 3 CP； 125 36 5 2 5 3 ) 1( 21 1 3 CP； 125 54 5 2 5 3 )2( 12 2 3 CP； 125 27 5 3 )3( 3 3 3 CP； 所以的分布列如下： 0 1 2 3 P 125 8 125 36 125 54 125 27 所以 5 9 125 27 3 125 54 2 125 36 1 125 8 0E 生 2：的可能取值为 0，1，2，3 30 1 )0( 3 10 3 4 0 6 C CC P； 10 3 )1( 3 10 2 4 1 6 C CC P； 2 1 )2( 3 10 1 4 2 6 C CC P； 6 1
18、 )3( 3 10 0 4 3 6 C CC P； 所以的分布列如下： 0 1 2 3 P 30 1 10 3 2 1 6 1 所以 5 9 6 1 3 2 1 2 10 3 1 30 1 0E 两种解答方法都正确吗？我首先让学生1和学生 2分别阐述了他们的解题思 路同学们结合解答过程，发现两位同学的解答过程“滴水不漏”，找不出一丝 漏洞，所以全班同学达成了一致意见：一题多解！ 当我告诉他们这当中只有一种 方法是正确的时候， 整个班分成了对立的两派： 支持生 1 的和支持生 2 的，两个 6 “派别”进行了激烈的争论当学生争论不出结果时，就是教师应该介入时这 时引导学生分清两种概率模型的特点和
19、应用条件、范围的区别尤其是超几何分 布与二项分布的区别： 在产品抽样检验中， 如果采用不放回抽样， 则次品数服从 超几何分布；如果采用有放回抽样，则次品数服从二项分布在实际问题中，区 分古典概型与独立重复试验的关键是“放回”还是“不放回”通过这样的教学 流程，学生对超几何分布与二项分布有了进一步的认识，遇到类似的题型再也不 会出差错学生在学习中的谬误，有时比较隐蔽，潜藏于深层次中，如果不充分 暴露思维过程，就治不了本教师在救失时，不要过早的下结论，而应该从暴露 学生失误思维入手，启发学生自悟、自救面对学生的失误不要过早的点明，而 应在暴露学生思维失误的过程中，让学生自我发现， 在教师的正确思维
20、的引导下 自我纠正 总之，新课标要求数学教学更加强调概念的生成与发展，要求教师在教学 中要尽可能地揭示数学的本质，呈现数学知识的生成、 发展过程， 关注学生思维 能力的发展过程 注重学生获得知识的过程和思维能力的提高过程数学知识的 生成过程即是数学发展的历程， 其中蕴涵着大量的数学思想方法，对数学学习者 来说：思想方法才是数学美的所在， 体会了其中的美， 才能深刻理解数学的本质， 让高三数学的教学不再是枯燥的反复演练而是具有创造性的探究活动 参考文献 ： 1. 普通高中数学课程标准（实验）. 人民教育出版社 .2003-04 2. 何良仆 . 现代数学教育导论 - 教师专业发展的理论与实践基础. 电子 科技大学出版 .2006-02 3. 尹秋祚 . 数学教学中充分暴露学生思维过程的途径和方法. 中学数学杂 志.2003-06