《高中数学一轮复习之数列求和之倒序相加与错位相减法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学一轮复习之数列求和之倒序相加与错位相减法.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 5 节倒序相加与错位相减法 【基础知识】 1倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法，如果一个数列 n a的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即 可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的 2错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成 的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导 的 若 nnn abc，其中 n b是等差数列， n c是公比为q等比数列，令 1 12211nnnnn Sbcb cbcb c，则 n qS 122311nnnn b
2、cb cbcb c两式错位相 减并整理即得 . 【规律技巧】 (1)一般地，如果数列an 是等差数列， bn 是等比数列，求数列an bn的前 n 项和时， 可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn 的公比，然后作差求解； (2)在写出 “ Sn” 与 “ qSn” 的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出“ Sn qSn” 的表达式 应用错位相减法求和时需注意： 给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； 在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n. 【典例讲解】 【例 1】已知首项都是1 的两个数列 an ，bn( bn0 ，nN
3、 *)满足 a nbn1an1bn2bn 1bn0. (1)令 cn an bn，求数列 cn 的通项公式； (2)若 bn3 n1，求数列 a n 的前 n项和 Sn. 【解析】 (1)因为 anbn1an1bn2bn1bn0， bn 0( nN *)， 所以 an1 bn1 an bn2，即 cn 1cn2. 所以数列 cn是以首项 c11，公差 d2 的等差数列，故 cn2n 1. (2)由 bn3 n1 知 ancnbn(2n1)3n 1 ， 于是数列 an前 n 项和 Sn1 3 03 315 32 (2n1) 3n1， 3Sn1 3 13 32 (2n3) 3n1(2n1) 3n，
4、 相减得 2Sn1 2 (31323n 1)(2n 1) 3 n 2(2n 2)3n，所以 Sn(n1)3 n1. 【变式探究】数列 an满足 a11，nan1(n1)an n(n1)，nN *. (1)证明：数列 an n 是等差数列； (2)设 bn3 n a n，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 【例 2】 求证： nn nnnn nCnCCC2)1() 12(53 210 证明：设 n nnnnn CnCCCS)12(53 210 把式右边倒转过来得 011 3)12()12(nn n n n nnCCCnCnS （反序） 又由 mn n m n CC可得 n n n nnnn CC
5、CnCnS 110 3)12()12( +得 nn n n nnnn nCCCCnS2) 1(2)(22(2 110 （反序相加） n nnS2)1( 【变式探究】求 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 的值 解：设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S. 将式右边反序得 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S （反序） 又因为1cossin),90cos(sin 22 xxxx +得 （反序相加） )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222 S89 S44.5 【针对训练】 1; 设 n
6、 a是等差数列， n b是各项都为正数的等比数列，且 11 1ab， 35 21ab， 53 13ab （）求 n a， n b的通项公式； （）求数列 n n a b 的前n项和 n S 2; 在数列 n a中， 1 11 2(2)2 () nn nn aaanN，其中0 （）求数列 n a 的通项公式； （）求数列 n a的前n项和 n S； 【练习巩固】 1、2 . n nn求数列前 项和 2、已知等差数列 n a满足： 3 7a， 57 26aa. n a的前 n 项和为 n S. （）求 n a及 n S； （）令 2 1 1 n n b a （nN ） ,求数列 n b的前 n 项
7、和 n T. 3、已知等差数列 n a的前 3 项和为 6，前 8 项和为 -4。 （）求数列 n a的通项公式； （）设 1* (4)(0,) n nn baqqnN，求数列 n b的前 n 项和 n S 4、已知等差数列 n a满足： 3 7a， 57 26aa， n a的前 n 项和为 n S （）求 n a及 n S； （）令bn= 2 1 1 n a (nN *)，求数列 n b的前 n 项和 n T 5、已知二次函数( )yfx的图像经过坐标原点，其导函数为 ( ) 62fxx，数列 n a的 前 n 项和为 n S，点( ,)() n n SnN均在函数( )yf x的图像上。
8、（）求数列 n a的通项公式； （）设 1 1 n nn b a a ， n T是数列 n b的前 n 项和，求使得 20 n m T对所有nN都成立的 最小正整数m ； 6、 21 3 . n nn求数列前 项和 7、已知数列 n a满足：,2)32() 12(3 1 21n n n bnanaa数列的前 n 项和 nnnn WnbannS项和的前求数列.22 2 . 8、在数列 n a中，).2( 12 2 ,1 2 1 n S S aa n n n 证明数列 n s 1 是等差数列，并求出 Sn的表达式 . 9、已知函数 （1）证明：； （2）求的值 . 解：（ 1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知， 两式相加得： 所以. 10、求值：