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1、第 8 节函数的周期性 【基础知识】 1周期函数：对于函数y f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值 时，都有f(x T)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期 2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期 3关于函数周期性常用的结论 (1)若满足()f xafx，则(2 )()()f xafxaaf xafx，所 以2a是函数的一个周期(0a)； (2)若满足 1 () ( ) f xa f x ，则(2 )()f xafxaa 1 ()f xa ( )f x，所以 2a是
2、函数的一个周期(0a)； (3)若函数满足 1 () ( ) f xa f x -，同理可得2a是函数的一个周期(0a). （ 4 ） 如 果)(xfy是R上 的 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为T ， 那 么 )()(ZnxfnTxf （5）函数图像关于bxax,轴对称)(2baT （6）函数图像关于0 ,0 ,ba中心对称)(2baT （7）函数图像关于ax轴对称，关于0, b中心对称)(4baT 【规律技巧】 1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin( x) ，用公式 T 2 | | 计算递推法：若f(xa) f(x)，则 f(x2a)f(x a)a
3、f(xa) f(x)，所以 周期 T2a.换元法：若f(x a) f(xa)，令 xat，xta，则 f(t)f(t2a)，所以周期 T2a 2判断函数的周期只需证明f(x T)f(x)(T 0) 便可证明函数是周期函数，且周期为T，函 数的周期性常与函数的其他性质综合命题 3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时， 要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(kZ 且 k0) 也是函数的周期 4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的 问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想 【典例讲解】 例 1、 设 f(x)是定义
4、在 R 上的奇函数， 且对任意实数x，恒有 f(x2) f(x)当 x0,2 时， f(x)2xx2. (1)求证： f(x)是周期函数； (2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)f(1)f(2)f(2 013) (3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3) 1. 又 f(x)是周期为4的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5) f(6)f(7) f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0. f(0)f(1)f(2)f(2 013)f(0)f(1)1. 【拓展提高】 判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)
5、 便可证明函数是周期函数，且周期为T，函 数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题 【变式探究】已知 f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x2) 1 fx ，当 2 x3时， f(x)x，则 f(105.5)_. 【答案】 2.5 【针对训练】 1 、 设 定 义 在R上 的 函 数fx满 足22012fxfx， 若12f， 则 99_f 【答案】1006 2、已知 ( )fx是R上的奇函数， 对x R都有 (4)( )(2)f xf xf成立，若( 1)2f， 则 (2013)f等于（） A2 B 2 C 1 D2013 【答案】 A 3、已知周期函数( )f x的定义
6、域为R，周期为2，且当11x时， 2 ( )1f xx .若直 线yxa与曲线( )yf x恰有 2 个交点，则实数a的所有可能取值构成的集合为() A 3 |2 4 a ak或 5 2, 4 kkZ B 1 |2 4 a ak或 3 2, 4 kkZ C|21a ak或 5 2, 4 kkZ D|21a ak,kZ 【答案】 C 【综合点评】 函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定 义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是 利用周期函数图象重复出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移 周期的整数倍即得整
7、个定义域内的函数图象 【练习巩固】 1、已知定义在R 上的函数fx满足条件；对任意的xR，都有4fxfx； 对任意的 121212 ,0,2x xxxxfx且，都有 f；函数2fx的图象关于y 轴对称 .则下列结论正确的是( ) A.76.54.5fffB.74.56.5fff C.4.56.57fffD.4.576.5fff 【答案】 D 2、 设( )g x是定义在R上,以 1 为周期的函数 ,若函数( )( )f xxg x在区间 0,1上的值域为 -2,5, 则( )f x在区间 0,3上的值域为. 【答案】2,7fx 【综合点评】 充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区
8、间的求值问题是解 题关键 3.定义在R上的函数( )fx满足)()6(xfxf当)1,3x时， 2 )2()(xxf, 当)3, 1x时，xxf)(，则 (1)(2)(3)(2015)ffff（） （A）336（B）355（C）1676（D）2015 【答案】 A 4.已知 f(x)是定义在R 上的以 3 为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)2a3 a1 ，则实数 a 的取值 范围为 () A(1,4) B(2,0) C(1,0) D(1,2) 【答案】 A 5.设( )f x是定义在R 上的函数，且满足 1 (1) ( ) f x f x 当 1,1)x时， 2 42,10, ( ) ,0
9、1, xx f x xx ，则 3 ( ) 2 f. 【答案】 1 6、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足 f(x 4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数， 则 () Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df (25)f(80)f(11) 【答案】 D 7已知f(x)在 R 上是奇函数，且满足f(x 4)f(x)，当 x (0,2)时， f(x)2x 2，则 f(7) 等于() A 2 B2 C 98 D98 【答案】 A 8已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在R 上的奇函数，且g(x)f(x 1)，则 f(2 013)f(2 015)的值为() A 1 B1 C 0 D无法计算 【答案】 C 9设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若 f(1) 1，f(2) 2a3 a1 ，则 a 的取 值范围是() Aa1 或 a 2 3 B a1 C 1a 2 3 D a 2 3 【答案】 C 【解析】函数f(x)为奇函数，则f(1) f(1) 由 f(1) f(1)1 ，得 f(1) 1； 函数的最小正周期T3，则 f(1)f(2)， 由 2a3 a1 1，解得 1a 2 3.