高二数学椭圆双曲线练习题精编.pdf

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1、高二数学椭圆双曲线练习题 一、选择题：1、双曲线x2ay2 1 的焦点坐标是（） A(a1, 0) , (a1, 0) B (a1, 0), (a1, 0) C（ a a1 , 0）,（ a a1 , 0）D ( a a1 , 0), ( a a1 , 0) 2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为 1 2 yx,则该双曲线的离心率为（） A5 B5/2 C5D5/4 3椭圆1 4 2 2 y x 的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则 | 2 PF= （）A3/2 B3C4 了D 7/2 4过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于BA,两点，若

2、FBFA2，则椭圆的离心率等于 （）A 3 2 B 2 2 C 2 1 D 3 2 5已知椭圆 2 2 2 2 53n y m x 和双曲线 2 2 2 2 32n y m x 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） Axy 2 15 B yx 2 15 Cxy 4 3 D yx 4 3 6设 F1和 F2为双曲线 4 2 x y 21 的两个焦点，点 P在双曲线上，且满足F1PF290，则 F1PF2的面积 是（）A1 B 2 5 C2 D5 7已知 F1、F2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1PF2，e1和 e2分别是椭圆和双曲线的

3、离心率，则有（ ） A2 21e eB4 2 2 2 1 eeC22 21 eeD2 11 2 2 2 1 ee 8已知方程 1| 2 m x + m y 2 2 =1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（） Am0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m 为边长的三 角形是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角或钝角三角形 10椭圆1 34 22 yx 上有 n个不同的点 : P1, P2, , Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列 |PnF|是公差大于 100 1 的 等差数列 , 则 n 的最大值是（）A 198 B199 C200 D 201 二、填空题：11对于曲

4、线C 14 22 k y k x =1，给出下面四个命题：由线C 不可能表示椭圆； 当 1k4 时，曲线 C 表示椭圆；若曲线C 表示双曲线，则k1 或 k4;若曲线C 表示焦点在x 轴 上的椭圆，则1k 2 5 其中所有正确命题的序号为_ _ 12设圆过双曲线 169 22 yx =1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离_ 13双曲线 169 22 yx 1 的两焦点为F1、F2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF2，则点 P 到 x 轴的距离 _ 14若 A（1，1），又 F1是 5x 29y2=45 椭圆的左焦点，点 P 是椭圆的动点，则|PA|P F1|的最

5、小值 _ 15、已知 B(-5 ，0)，C(5，0) 是 ABC的两个顶点，且sinB-sinC= 5 3 sinA, 则顶点 A的轨迹方程是 三、解答题： 16、设椭圆方程为 4 2 2y x=1，求点M（0，1）的直线l 交椭圆于点A、B，O 为坐标原点，点P 满足 )( 2 1 OBOAOP，当 l 绕点 M 旋转时，求动点P 的轨迹方程 . 17、已知F1、F2为双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0， b0）的焦点，过F2作垂直 于 x 轴的直线交双曲线于点P，且 PF1F230求双曲线的渐近线方程 图 18、已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的长、

6、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴作垂线，恰好 通过椭圆的左焦点 1 F，向量AB与OM是共线向量（1）求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q 是椭圆上任意 一点， 1 F、 2 F分别是左、右焦点，求 21QF F的取值范围； 19、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为)0,3(。(1) 求双曲线C 的方程； (2) 若直 线 l： 2kxy 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和 B，且 2OBOA (其中 O 为原点 )，求 k 的取值范 围。 20、已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的离心率 3 32 e，过), 0(),0,(bBaA的直线到

7、原点的距离是. 2 3 （1）求双 曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心 的圆上，求k 的值 . 21、设 F1、F2分别为椭圆 C： 2 2 2 2 8 b y a x =1（ab 0）的左、右两个焦点.（ 1）若椭圆 C 上的点 A（1， 2 3 ） 到 F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点 K 是（ 1）中所得椭圆上的 动点，求线段F1K 的中点的轨迹方程；（ 3）已知椭圆具有性质：若M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的 两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM、PN 的斜率都存在，并记

8、为kPM、 kPN时，那么kPM与 kPN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线1 2 2 2 2 b y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明 参考答案 : 1、双曲线x 2ay21 的焦点坐标是（ C ）A (a1, 0) , (a1, 0) B(a1, 0), ( a1, 0) C（ a a1 , 0）,（ a a1 , 0）D( a a1 , 0), ( a a1 , 0) 2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为 1 2 yx,则该双曲线的离心率e（B ） A5 B5/2 C5D5/4 3椭圆1 4 2 2 y x 的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于x 轴的直线与

9、椭圆相交，一个交点为P，则| 2 PF= （D）A3/2 B3C4 D7/2 4过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于BA,两点，若FBFA2，则椭圆的离心率等于 （D ）A 3 2 B 2 2 C 2 1 D 3 2 5已知椭圆 2 2 2 2 53n y m x 和双曲线 2 2 2 2 32n y m x 1 有公共的焦点， 那么双曲线的渐近线方程是（D ）A x y 2 15 B yx 2 15 Cxy 4 3 Dyx 4 3 解：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上，椭圆焦点 （ 22 53nm，0），双曲线焦点 （ 22 32nm， 0）， 3m 2 5n2=2m2+3n2m2

10、=8n2 又双曲线渐近线为y= |2 |6 m n x代入 m2=8n2，|m|=22|n|，得 y= 4 3 x 6设 F1和 F2为双曲线 4 2 x y 21 的两个焦点，点 P在双曲线上，且满足F1PF290，则 F1PF2的面积 是（ A ）A1 B 2 5 C2 D5 解：由双曲线方程知|F1F2|2 5，且双曲线是对称图形，假设P（x，1 4 2 x ），由已知F1PF2 P，有 1 5 1 4 5 1 4 22 x x x x ，即 11 4 52 2 1 , 5 24 2 2 x Sx ， 7已知 F1、F2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个

11、交点，并且PF1PF2，e1和 e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ D ） A2 21e eB4 2 2 2 1 eeC22 21 eeD2 11 2 2 2 1 ee 8已知方程 1| 2 m x + m y 2 2 =1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（D ） A m0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m 为边长的三 角形是（B ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角或钝角三角形 10椭圆1 34 22 yx 上有 n个不同的点 : P1, P2, , Pn, 椭圆的右焦点为 F. 数列 |PnF|是公差大于 100 1 的 等差数列 , 则 n 的最大值是

12、（C ）A 198 B 199 C200 D 201 二、填空题： 11对于曲线C 14 22 k y k x =1，给出下面四个命题：由线C 不可能表示椭圆；当1k 4 时，曲线 C 表示椭圆；若曲线 C 表示双曲线， 则 k1或 k4;若曲线 C表示焦点在x轴上的椭圆， 则 1k 2 5 其 中所有正确命题的序号为_ _；12设圆过双曲线 169 22 yx =1 的一个顶点和一个焦 点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_16/3； 解：如图 815 所示，设圆心P（ x0，y0），则 |x0| 2 35 2 ac 4，代入 169 22 yx 1，得 y0 2 9 716 ，

13、 |OP| 3 162 0 2 0 yx13双曲线 169 22 yx 1 的两个焦点为F1、F2，点 P 在双曲线上， 若 PF1PF2，则点 P 到 x 轴的距离为 16/5； 解：设 |PF1|m， |PF2|n（ mn）， a3、b4、c5， mn m 2n24c2，m2n2（ mn）2 m 2n2（ m2n22mn） 2mn4253664，mn32. 又利用等面积法可得：2cymn， y16/5 14若 A 点坐标为（ 1，1）， F1是 5x 29y2=45 椭圆的左焦点，点 P 是椭圆的动点，则|PA|P F1|的最小值是 _ _26； 15、已知 B(-5 ，0)，C(5，0)

14、 是 ABC的两个顶点，且sinB-sinC= 5 3 sinA, 则顶点 A的轨迹方程是 22 1(3) 916 xy x 三、解答题： 16、设椭圆方程为 4 2 2y x=1，求点M（0，1）的直线l 交椭圆于点A、B，O 为坐标原点，点P 满足 )( 2 1 OBOAOP，当 l 绕点 M 旋转时，求动点P 的轨迹方程 . 解：设 P（x，y）是所求轨迹上的任一点，当斜率存在时，直线l 的方程为 y=kx+1，A（x1，y1）， B（x2， y2），联立并消元得：（ 4+k 2）x2+2kx3=0， x 1+x2=, 4 2 2 k k y1+y2= 2 4 8 k ，由)( 2 1

15、OBOAOP得： （x， y）= 2 1 （x1+x2，y1+y2），即： 2 21 2 21 4 4 2 42 k yy y k k xx x 消去 k 得： 4x2+y2y=0 当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程 所以动点 P的轨迹方程为：4x 2+y2y= 0 17、已知F1、F2为双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0， b0）的焦点，过F2作垂直 于 x 轴的直线交双曲线于点P，且 PF1F230求双曲线的渐近线方程 解：（ 1）设 F2（ c，0）（ c0）， P（c，y0），则 2 2 0 2 2 b y a c =1解得 y0= a b 2 |PF2

16、|= a b 2 ，在直角三 角形 PF2F1中， PF1F2=30解法一： |F1F2|= 3|PF2|，即 2c= a b 2 3，将 c 2=a2+b2 代入，解得b2=2a2 解 法二： |PF1|=2|PF2|，由双曲线定义可知 |PF1|PF2|=2a，得 |PF2|=2a. |PF2|= a b 2 ，2a= a b 2 ，即 b2=2a2， 2 a b 故所求双曲线的渐近线方程为y=2x 18、已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴作垂线，恰好 图 通过椭圆的左焦点 1 F，向量AB与OM是共线向量（1）

17、求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q 是椭圆上任意 一点， 1 F、 2 F分别是左、右焦点，求 21QF F的取值范围； 解： （ 1） a b ycxcF MM 2 1 ,),0 ,(则， ac b kOM 2 ABOM a b kAB 与,是共线向量， a b ac b 2 ， b=c,故 2 2 e（ 2）设 112212 1212 , 2 ,2 , FQrF QrF QF rra F Fc 2222222 12121 2 212 1 21 21 2 4()24 cos110 22 () 2 rrcrrr rcaa rr r rr rrr 当且仅当 21 rr时， cos=0， 2 ,0

18、19、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为)0, 3(1) 求双曲线C 的方程； (2) 若直线l： 2kxy与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和 B，且2OBOA(其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围。 解： （）设双曲线方程为 22 22 1 xy ab ).0,0(ba由已知得. 1,2, 2,3 2222 bbaca得再由 故双曲线 C 的方程为.1 3 2 2 y x （）将得代入1 3 2 2 2 y x kxy. 0926)31 ( 22 kxxk 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 2 222 130, (62 )36(13)36(1)0. k kk

19、k 即.1 3 122 kk且设),(),( BBAA yxByxA ，则 22 6 29 ,22, 1313 ABABABAB k xxx xOA OBxxy y kk 由得 而 2 (2)(2)(1)2 ()2 ABABABABABAB x xy yx xkxkxkx xk xx 2 2 222 96 237 (1)22. 131331 kk kk kkk 于是 22 22 3739 2,0, 3131 kk kk 即解此不等式得.3 3 12 k 由、得.1 3 1 2 k故 k 的取值范围为 33 ( 1,)(,1). 33 20、已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的离心率

20、 3 32 e，过), 0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是. 2 3 （1）求双 曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心 的圆上，求k 的值 . 解：（ 1） , 3 32 a c 原点到直线AB： 1 b y a x 的距离 .3,1 . 2 3 22 ab c ab ba ab d 故所 求双曲线方程为 .1 3 2 2 y x （2）把335 22 yxkxy代入中消去 y，整理得07830)31( 22 kxxk. 设CDyxDyxC),(),( 2211 的中点是),( 00 yxE，则 . 11 , 31 5 5

21、 31 15 2 0 0 2 00 2 21 0 kx y k k kxy k kxx x BE , 0 00 kkyx 7,0,0 31 5 31 15 2 22 kkk k k k k 又 故所求 k=7. 21、设 F1、F2分别为椭圆 C： 2 2 2 2 8 b y a x =1（ab 0）的左、右两个焦点.（ 1）若椭圆 C 上的点 A（1， 2 3 ） 到 F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）设点 K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K 的中点的轨迹方程； （3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭

22、圆上任意一点，当直线PM、PN 的斜率都存在，并 记为 kPM、kPN时，那么kPM与 kPN之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线1 2 2 2 2 b y a x 写出具有类似 特性的性质，并加以证明 解：（ 1）椭圆 C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到 F1、F2两点的距离之和是4，得 2a=4，即 a=2.又点 A （1， 2 3 ）在椭圆上， 因此 2 2 2 ) 2 3 ( 2 1 b =1 得 b 2=3，于是 c2=1.所以椭圆 C 的方程为 34 22 yx =1，焦点 F1（ 1， 0），F2（1，0） （2）设椭圆 C 上的动点为 K （ x1， y1） ，线段

23、F1K 的中点 Q （x，y） 满足： 2 , 2 1 11 y y x x， 即 x1=2x+1，y1=2y. 因此 3 )2( 4 )12( 22 yx =1.即1 3 4 ) 2 1 ( 2 2y x为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M、N 是双曲 线： 2 2 2 2 b y a x =1 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM、PN 的斜率都存在，并 记为 kPM、kPN时，那么 kPM与 kPN之积是与点P 位置无关的定值. 设点 M 的坐标为（ m，n），则点 N 的坐标 为（ m， n），其中 2 2 2 2 b n a m =1.又设点P 的坐标为（x， y），由 mx ny k mx ny k PNPM ,，得 kPMkPN= 22 22 mx ny mx ny mx ny ，将 2 2 222 2 2 2 , a b nbx a b ym 2b2 代入得 kPM kPN= 2 2 a b .