圆锥曲线轨迹方程经典例题.pdf

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1、1 / 8 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修 2 课本 P124B 组 2：长为 2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程： 必修 2 课本 P124B 组：已知 M 与两个定点 与两个定点 21,M M的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y的轨迹方程 是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足 APB=90，求 矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 .DXDiTa9E3d 解：设AB 的中点为R，坐标为 (x,y，则在RtABP 中， |AR|=|PR|.又因为R 是弦 AB 的中 点，依垂径定理：在RtOAR 中

2、， |AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2又|AR|=|PR|= 22 )4(yx所 以有 (x42+y2=36(x2+y2,即 x2+y24x10=0 因此点R在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹 上运动 .RTCrpUDGiT 设Q(x,y ， R(x1,y1 ， 因 为 R 是PQ 的 中 点 ， 所 以x1= 2 0 , 2 4 1 y y x , 代 入 方 程x 2+y2 4x 10=0, 得 2 4 4) 2 () 2 4 ( 22xyx 10=0 整理得： x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 .5PCzVD7HxA 在平面直角坐标系xOy中，

3、点)3,0(A，直线42:xyl设圆C的半径为1，圆心在l上 与定点F(2，0的距离和它到定直线8x的距离之比为 2 1 ，求点 M 的轨迹方程 .(圆锥曲线第二定义xHAQX74J0X 讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1 是的情形呢？ 圆 1 F9) 1( 22 yx上的一个动点, 点 2 F, 求点 Q 的轨迹方程。(注意点 2 FLDAYtRyKfE 6、其他形式： 圆 1 F1)1( 22 yx上的一个动点 ,点 2 F,求点Q 的轨迹方程。(注意点 2 Frqyn14ZNXI 定义法： 与定点F(5， 0的距离和它到定直线 5 16 x的距离之比为 4 5 ，求点

4、M 的轨迹方程 .(圆锥曲线第二定义EmxvxOtOco 四、抛物线类型：10、定义法： 与定点F(2，0的距 离和它到定直线2x的距离相等，求点M 的轨迹方程。与定点 F(2，0的距离比它到定直线3x的距离小1，求点 M 的轨迹方程。） SixE2yXPq5 0,且m 1）。当点 A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线 C。kavU42VRUs ， 动 圆 222 11 :Cxyt， 1 bta。点 12 ,A A分别为 0 C的左，右顶 点 ， 1 C与 0 C相交于 A，B，C，D 四点。 (求直线 1 AA与直线 2 A B交点 M 的轨迹方程。 已知椭圆的焦点是F1、F2，P 是椭圆上

5、的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得 |PQ|=|PF2|，那么动点 Q 的轨迹是 ( A. 圆B.椭圆 C.双曲线的一支D.抛物线 y6v3ALoS89 2.( 设 A1、A2是椭圆 49 22 yx =1 的长轴两个端点，P1、P2是垂直于 A1A2的弦的端点，则直线A1P1与 A2P2交点的轨迹方程为 ( A.1 49 22 yx B.1 49 22 xy C.1 49 22 yx D.1 49 22 xy M2ub6vSTnP 二、填空题 3.( ABC 中， A 为动点， B、C 为定点， B( 2 a ,0,C( 2 a ,0，且满足条件sinC sinB= 2 1 sinA

6、,则动点A 的轨迹方程为 _.0YujCfmUCw 4.( 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(5，0、B(5，0，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.eUts8ZQVRd 三、解答题 5.( 已知 A、B、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6， O切直线l 于点 A，又过 B、C 作 O异于 l 的两切线，设这两切线交于点P，求点 P的轨迹方程 .sQsAEJkW5T 4 / 8 6.( 双曲线 2 2 2 2 b y a x =1 的实轴为A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引 A1QA1P，

7、A2QA2P，A1Q 与 A2Q 的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程 .GMsIasNXkA 8.( 已知椭圆 2 2 2 2 b y a x =1(ab0,点 P 为其上一点， F1、F2为椭圆的焦点， F1PF2的外角平分线为 l，点 F2关于 l 的对称点为 Q，F2Q 交 l 于点 R.TIrRGchYzg (1当 P 点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程； (2设点 R 形成的曲线为C，直线l： y=k(x+2a与曲线C 相交于A、 B 两点，当 AOB 的面积取得最大值时， 求 k 的值 .7EqZcWLZNX 一、 1.解读： |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,

8、|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点 Q 到定点F1的距离等于定 长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆 .lzq7IGf02E 2.解读：设交点P(x,y）,A1(3,0,A2(3,0,P1(x0,y0,P2(x0,y0A1、P1、 P 共线， 3 0 0 x y xx yy A2、P2、P 共线， 3 0 0 x y xx yy 解得 x0= 1 49 , 1 49 , 3 , 9 222 0 2 0 0 yxyx x y y x 即代入得zvpgeqJ1hk 二 、 3. 解 读 ： 由sinC sinB= 2 1 sinA, 得c b= 2 1 a,

9、应 为 双 曲 线 一 支 ， 且 实 轴 长 为 2 a , 故 方 程 为 ) 4 (1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x . 答案：) 4 ( 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x 4.解读：设P(x,y），依题意有 2222 )5( 3 )5( 5 yxyx ,化简得 P 点轨迹方程为4x 2+4y285x+100=0. 答案： 4x2+4y285x+100=0 三、 5.解：设过B、C 异于 l 的两切线分别切O于 D、E 两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|， |PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故 |PB|+|PC|

10、=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|NrpoJac3v1 =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC|，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线 为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为 7281 22 yx =1(y01nowfTG4KI 6.解：设 P(x0,y0）(x a,Q(x,y. A1(a,0,A2(a,0. 5 / 8 由条件 y ax y axxx ax y ax y ax y ax y 22 0 00 0 0 0 0 )( 1 1 得 而点 P(x0,y0在双曲

11、线上， b 2x 0 2 a2y 0 2 =a 2 b 2. 即 b 2(x2a2( y ax 22 2=a2b2 化简得 Q 点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(x a. 8.解： (1点 F2关于 l 的对称点为 Q，连接 PQ， F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又 因 为l 为 F1PF2外 角 的 平 分 线 ， 故 点F1、 P 、 Q 在 同 一 直 线 上 ， 设 存 在R(x0,y0） ,Q(x1,y1,F1( c,0,F2(c,0.fjnFLDa5Zo |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c 2+y 1

12、2=(2a2.tfnNhnE6e5 又 2 2 1 0 1 0 y y cx x 得 x1=2x0c,y1=2y0. (2x0 2+(2y 0 2=(2a2， x 0 2+y 0 2=a2 . 故 R 的轨迹方程为：x 2+y2=a2(y0 (2如右图， SAOB= 2 1 |OA|OB|sinAOB= 2 2 a sinAOB 当 AOB=90时， SAOB最大值为 2 1 a 2. 此时弦心距 |OC|= 2 1 |2| k ak . 在 Rt AOC 中， AOC=45， . 3 3 , 2 2 45cos 1 |2| | | 2 k ka ak OA OC 专题一：求曲线的轨迹方程 课

13、前自主练习： 1如图 1，ABC中，已知( 2,0)B，(2,0)C，点A在x轴上方运动，且tantan2BC，则顶点A 的轨迹方程是 2如图 2，若圆 C： 22 (1)36xy上的动点M与点(1,0)B连线BM的垂直平分线交CM于点G，HbmVN777sL 则G的轨迹方程是 3如图 3，已知点(3,0)A，点P在圆 22 1xy上运动，AOP的平分线交AP于Q，则Q的轨迹方 程是 4与双曲线 22 22xy有共同的渐近线，且经过点(2,2)的双曲线方程为 5如图 4，垂直于 y轴的直线与y轴及抛物线 2 2(1)yx分别交于点A、P，点B在y轴上，且点A 满足|AB2 |OA，则线段PB的

14、中点Q的轨迹方程是 几种常见求轨迹方程的方法： 1直接法： 由题设所给 或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用 x y O Q P A x y O B A Q P x y O B A C 图 1 图 2 图 3 图 4 B G C M O y x 6 / 8 坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法直接法求轨迹方程的一般步骤： 建系设点列式代换化简检验； 【例 1】1）求和定圆 222 xyR的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； 2）过点( ,0)A a作圆O： 222 xyR(0)aR的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹 解： 1）设动点( , )

15、P x y，则有|OP2R或|OP0即 222 4xyR或 22 0xy 故所求动点P的轨迹方程为 222 4xyR或 22 0xy 2）设弦的中点为( , )M x y，连结OM，则OMAM1 OMAM kk， 1 yy xxa ，化简得： 222 ()() 22 aa xy 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧 不含端点） 【例 2】已知直角坐标平面上一点(2,0)Q和圆C： 22 1xy，动点M到圆C的切线长等于圆C的半 径与|MQ的和求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 解：如图，设MN切圆C于N，又圆的半径|ON1， 2 |OM 22 |NMON 2 |1NM， |MN 2

16、|1OM ，由已知|MN| 1MQ 设( , )Mx y，则 2222 1(2)1xyxy， 22 23(2)xxy ，即 22 3850xyx 3 () 2 x可化为 224 9()31 3 xy 3 () 2 x 故所求的轨迹是以点 4 (,0) 3 为中心，实轴在x轴上的双曲线的右支，顶点为 5 (,0) 3 ，如图 【例 4】已知定圆A的半径为r，定点B与圆A的圆心A的距离为 (2 )mmr又一动圆P过定点B， 且与定圆A相切求动圆圆心P的轨迹方程 解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点建立坐标系，如图 当动圆P与定圆A外切时，|PAPBr；当动圆P与定圆A外切时，|PBPAr

17、 由双曲线的定义知动圆圆心P的轨迹应是以A、B为两焦点的双曲线外切时为右支，内切时为左 支）显然， 2 m c，又 2 r a， 故 22 222 4 mr bca 所以所求的点P轨迹方程是： 22 222 1 44 xy rmr 3动点转移法：若动点( , )P x y随已知曲线上的点 00 (,)Q xy的变动而变动，且 0 x、 0 y可用x、y表示， 则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程这种方法称为动点转 移法 或代换法或相关点法） 【例 5】已知定点(3,1)A、B为抛物线 2 1yx，上任意一点，点P在线段AB的中点，当B点在抛物 线上变动时，求点P的轨迹方程 解

18、：设点( ,)P x y，且设点 00 (,)B xy，则有 2 00 1yx点P是线段AB的中点由中点坐标公式得： 0 0 3 2 1 2 x x y y ， 0 0 23 21 xx yy 将此式代入 2 00 1yx中，并整理得： 2 (21)22yx， 即为所求轨迹方程它是一条抛物线 4待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的 参数，进而求出方程如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 N B x y O M A P P O y x Q M N 7 / 8 【例 7】若抛物线 2 4yx和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅

19、有两个公共点，又直线2yx 被双曲线截得的线段长等于 2 5，求此双曲线方程 解：设所求双曲线方程为 22 22 1 yx ab ，将 2 4yx代入整理得： 22222 40a xb xa b 抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等， 因此方程 22222 40a xb xa b应有等根 432 1640ba b，即 2 2ab 由2yx和 22 22 1 yx ab 得： 22222 (4)0baxa b 由弦长公式得： 22 22 121222 2 512()45( 4)() 4 a b xxx x ba 即 2222 4a bba由 2 2222 2 4

20、 ab a bba 得： 2 2a， 2 1b双曲线的方程是 2 2 1 2 y x 5参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示 动点P的坐标x、y，从而动点轨迹的参数方程 ( ) ( ) xf t yg t 消去参数t，便可得到动点P的 的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t的范围确定出x、y的范围 【例 8】抛物线 2 4xy的焦点为F，过点(0,1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻 边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程 解：设( , )R x y，AB：1ykx，AB中点为 00 (,)M x y， 11 (,

21、)A x y， 22 (,)B x y，与 2 4xy联立得： 2 440xkx 2 16(1)0k， 12 4xxk， 12 4xx 2 1212 2()4yyk xxk， 2 12 42yyk 2 (2 ,21)Mkk，(0,1)F，M为AB中点， 4xk， 2 43yk消k得： 2 4(3) (1)xyy 巩固练习： 1平面上和两相交的定圆半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为） A ）椭圆的一部分B）椭圆C）双曲线的一部分D）双曲线 2已知动点 M 与定点)0,2(F的距离比动点 M 到y轴的距离大 2，则动点M 的轨迹 ） A ）抛物线B）抛物线的一部分C）抛物线和一射线D ）抛物线和

22、一直线 3已知定直线l和l外一点A，过A与l相切的圆的圆心轨迹是） A ）抛物线 B）双曲线C）椭圆 D）直线 4一动圆与两圆 22 1xy和 22 8120xyx都外切，则动圆圆心轨迹为） A ）圆B ）椭圆C）双曲线的一支D）抛物线 5已知椭圆的焦点是 1 F、 2 F、P是椭圆上的一个动点如果延长 1 F P到Q，使得|PQ 2 |PF，那么 动点Q的轨迹是 ） A ）圆B ）椭圆C）双曲线的一支D）抛物线 6已知点)0 ,2(A、)0 ,3(B，动点( ,)P x y满足 2 PA PBx，则点P的轨迹是 ） A ）圆B ）椭圆C）双曲线D ）抛物线 7与圆 22 40xyx外切，又与

23、y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是） A ） 2 8yxB） 2 8 (0)yx x和0y C） 2 8yx(0)xD） 2 8 (0)yx x和0 (0)yx 8过抛物线 2 2yx的焦点作直线与此抛物线相交于两点P、Q，则线段PQ中点的轨迹方程为） A ） 2 21yxB） 2 21yxC） 2 22yxD） 2 22yx 9过点( , )P x y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称， O为坐标原点，若2BPPA，且1OQ AB，则点P的轨迹方程是 ） F O y x R A B 8 / 8 A ） 223 31 (0,0) 2 xyxyB） 223

24、31 (0,0) 2 xyxy C） 22 3 31 (0,0) 2 xyxyD） 22 3 31 (0,0) 2 xyxy 10已知两点( 2,0)M、(2,0)N，点P为坐标平面内的动点，满足| |0MNMPMN NP，则动 点( , )P x y的轨迹方程为 ） A ） 2 8yxB） 2 8yxC） 2 4yxD） 2 4yx 11与双曲线 22 1 916 xy 有共同的渐近线，且经过点( 3,2 3)的双曲线方程是） A ） 22 4 1 49 xy B） 22 4 1 49 yx C） 22 4 1 49 xy D） 22 4 1 49 yx 12设P为双曲线 2 2 1 4 x

25、 y上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 13已知 1 (,0) 2 A，B是圆F： 221 ()4 2 xyF为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交 BF于P，则动点P的轨迹方程为 14倾斜角为 45 的直线交椭圆1 4 2 2 y x 于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 15求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过( 3, 2)A和( 2 3,1)B两点的椭圆方程 16已知双曲线与椭圆 22 464xy共焦点，它的一条渐近线方程为30xy，则双曲线的方程是 17已知Q是椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 上的任意一点，从右焦点 2 F作 12 FQF

26、的外角平分线的垂线， 垂足为P，求P点的轨迹方程 18如图，直线 1 l： (0)ykxk与直线 2 l：ykx之间的阴影区域 不含边界）记为W，其左半部分记为 1 W，右半部分记为 2 W 1）分别用不等式组表示 1 W和 2 W； 2）若区域W中的动点( , )P x y到 1 l， 2 l的距离之积等于 2 d， 求点P的轨迹C的方程； 19设椭圆方程为1 4 2 2y x，过点(0,1)M的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 2OPOAOB，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程 20过双曲线C： 2 2 1 3 y x的左焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点， 以线段OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求顶点M的轨迹方程 21设点A和B为抛物线 2 4 (0)ypxp上原点以外的两个动点， 已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。 x y O A M B y x O