圆锥曲线的经典结论.pdf

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1、第 1 页，共 18 页 圆锥曲线神级结论 一、椭圆 1.（椭圆的光学性质）点P处的切线PT平分 12 PF F在点P处的 外角 . 2.（中位线）PT平分 12 PF F在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.（第二定义）以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 4.（第二定义）以焦点半径 1 PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.（求导或用联立方程组法）若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab .若 000 (,)P xy在椭圆

2、22 22 1 xy ab 外 ，则过 0 P作椭圆的两条切线切点为 12 ,P P，则 切点弦 12 PP的直线方程是 00 22 1 x xy y ab 6.（余弦定理 + 面积公式 + 半角公式） 椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左右焦点分别为 12 ,F F， 点P 为椭圆上任意一点 12 F PF，则椭圆的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb. 8.（第二定义）椭圆 22 22 1 xy ab （ 0ab ）的焦半径公式： 10 |MFaex， 20 |MFaex( 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c， 00 (,)M xy). 9.设过椭圆焦点

3、F作直线与椭圆相交,P Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交 相应于焦点F的椭圆准线于,M N两点，则MFNF. 第 2 页，共 18 页 证明：xkyc， 22 222222222 22 120 xy ab kyb ckyb ca b ab 22222 222222 2 , POPO b ca bb cky y yyy ab kab k ， 222222 222222 2 , POPO a ca b ka c x xxx ab kab k ， 22 , NM PPQQ aa aa yy cc yaxyax ，00 MNMN MFNFMF NFxcxcyy， 易得： 4 2MN

4、 b xcxc c 10.（MN其实就在准线上， 下面证明他在准线上）过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点,P Q， 且 12 ,A A为椭圆长轴上的顶点， 1 AP和 2 A Q交于点M， 2 A P和 1 AQ交于点N，则MFNF. 证明：首先证明准线， 1 AP和 2 PA公共点， 设 , PP P xy，, QQ Q xy，不妨设 PQ xx， 1 P P y k xa ， 2 Q Q y k xa ， 由 1 2 ykxa ykxa ， 得交点 12 12 PQQPPQ PQQPPQ x yx ya yy a kk xa kkx yx ya yy ，由 22 22 1 yk xc x

5、y ab ， 得 22222222222 20ba kxa k cxa c ka b，令 22222222 Mba kNba kc k， 22222 PQ a c ka b x x M ， 22 2 PQ a k c xx M ， 2 2 PQ b ck yy M ， 2 PQ abkN yy M ， 第 3 页，共 18 页 22 2 PQQP a b k x yx y M ， 2 PQQP abckN x yx y M ，则 222 2 2 22 22 a b ka bkN a MM xa abckNab ckc MM ， 再根据上一条性质可得结论。 11. （点差法）AB是椭圆 22 2

6、2 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦， 00 (,)M xy为AB的中点，则 2 2OMAB b kk a ， 即 0 2 0 2 ya xb K AB 。 12. （点差法）若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则被 0 P所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 13. （点差法）若在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则过 0 P的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 二、双曲线 1.点P处的切线PT平分 12 PF F在点P处的 内角 . （同上） 2.PT平分 12 PF F

7、在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. （同上） 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 . （同上） 4.以焦点半径 1 PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切：P在右支；外切：P在左支） 第 4 页，共 18 页 （同上） 5.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）上，则过 0 P的双曲线的切线方程是： 00 22 1 x xy y ab .（同上） 6.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab） 外 ， 则过 0 P作双曲线的两条切线切点为 12

8、 ,P P， 则切点弦 12 PP的直线方程是 00 22 1 x xy y ab .（同上） 7.双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）的左右焦点分别为 2 ,F F，点P为双曲线上任意一点： 12 F PF，则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2 F PF Sb co.（同上） 8.双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）的焦半径公式： 1( , 0)Fc, 2( ,0) F c 当 00 (,)M xy在右支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa. 当 00 (,)M xy在左支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa（同上） 9.设过双曲线

9、焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.（同上） 10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q，且 12 ,A A为双曲线实轴上的顶点， 1 AP和 2 A Q交于点M， 2 A P和 1 AQ交于点N，则MFNF.（同上） 11.AB是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM ，即 0 2 0 2 ya xb KAB。（同上） 12.若 000 (,)P xy在双曲线 22

10、22 1 xy ab （0,0ab）内，则被 0 P所平分的中点弦的方程是： 第 5 页，共 18 页 22 0000 2222 x xy yxy abab .（同上） 13.若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）内，则过 0 P的弦中点的轨迹方程是： 22 00 2222 x xy yxy abab .（同上） 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论） 椭圆 1.椭圆 22 22 10 xy ab ab 的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a， 与y轴平行的直线交椭圆于 12 ,P P 时， 11 A P与 22 A P交点的轨迹

11、方程是 22 22 1 xy ab . 证明： 111 ,P x y， 111 ,P x y，交点 00 ,P xy，由 1 1 2 2 y yx a xa y yxa xa ，得 2 222 1 00 22 1 y yxa xa ， 又 22 11 22 1 xy ab ，则 22 00 22 1 xy ab 第 6 页，共 18 页 2.过椭圆 22 22 10 xy ab ab 上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于,B C两 点，则直线BC有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数） . 证明： 3.若P为椭圆 22 22 10 xy ab a

12、b 上异于长轴端点的任一点， 1 F、 2 F是焦点 , 12 PF F, 21 PF F，则tant 22 ac co ac . 证法 1（代数） 证法二（几何） 第 7 页，共 18 页 4.设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的两个焦点为 1 F、 2 F, P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点， 在 12 PF F中，记 12 F PF, 12 PF F, 12 F F P，则有 sin sinsin c e a . （上条已证） 5.若椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，左准线为l，则当021e时， 可在椭圆上求一点P，使得 1 PF

13、是P到对应准线距离d与 2 PF的比例中项 . 6.P为椭圆 22 22 10 xy ab ab 上任一点， 1 F、 2 F是焦点，A为椭圆内一定点，则 211 2| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当 2 ,A F P三点共线时，等号成立. 7.椭圆 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 8.已知椭圆 22 22 10 xy ab ab ， O 为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ; （2）|OP| 2+|OQ|2 的最大值为 22

14、22 4a b ab ; 第 8 页，共 18 页 （3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ab . 证明 9.过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点F作直线交该椭圆右支于,M N两点，弦MN的垂直平分 线交x轴于P，则 | |2 PFe MN . 证明 第 9 页，共 18 页 10.已知椭圆 22 22 10 xy ab ab ，,A B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 0 (,0)P x, 则 2222 0 abab x aa . 11.设P点是椭圆 22 22 10 xy ab ab 上异于长轴端点的任一点, 1 F、 2 F是焦点，记 12

15、F PF， 则(1) 2 12 2 | 1cos b PFPF. (2) 12 2 tan 2 PF F Sb. 12.设,A B是椭圆 22 22 10 xy ab ab 的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，,c e分别是椭圆的半焦距离心率，则有： (1) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co . (2) 2 tantan1e. (3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 13.已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相 交于,A B两点，点C在右准线l上，且BCx轴，则直

16、线AC经过线段EF的中点 . 第 10 页，共 18 页 证明 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直 . 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 证 16.（角分线定理 + 合比公式） 椭圆焦三角形中， 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比 为常数e(离心率 ). （注 :在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 第 11 页，共 18 页 17.（角分线定理）椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.（角分线定理

17、）椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 1.双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与y轴平行的直线交双曲 线于 12 ,P P时， 11 A P与 22 A P交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2.过双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线 于,B C两点，则直线BC有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数） . 第 12 页，共 18 页 3.若P为双曲线 22 22 1 xy ab （0,

18、0ab）右（或左）支上除顶点外的任一点, 1 F、 2 F是焦点 , 12 PF F, 21 PF F，则tant 22 ca co ca （或tant 22 ca co ca ）. 4.设双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）的两个焦点为 1 F、 2 F, P（异于长轴端点）为双曲线上任 意一点，在 12 PFF中，记 12 F PF, 12 PF F, 12 F F P，则有： sin (sinsin) c e a . 5.若双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab） 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F， 左准线为l， 则当121e 时，可在双曲线上求一点P，使得

19、1 PF是P到对应准线距离d与 2 PF的比例中项 . 6.P为双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）上任一点 , 1 F、 2 F是焦点，A为双曲线内一定点，则 21 | 2|AFaPAPF,当且仅当 2 ,A F P三点共线且P和 2 ,A F在y轴同侧时，等号成立. 7.双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）与直线0AxByC有公共点的充要条件是： 22222 A aB bC. 8.已知双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0） ，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ; （2） 22 OPOQ的最小

20、值为 22 22 4a b ba ; （3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ba . 9.过双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于,M N两点，弦MN 的垂直平分线交 x轴于 P，则 | |2 PFe MN . 10.已知双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）,A B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴 相交于点 0 (,0)P x, 则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 第 13 页，共 18 页 11.设P点是双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）上异于实轴端点的任一点, 1

21、F、 2 F是焦点，记 12 F PF，则： (1) 2 12 2 | 1cos b PFPF. (2) 12 2 cot 2 PF F Sb. 12.设,A B是双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）的长轴两端点， P是双曲线上的一点，PAB , PBA,BPA，,c e分别是双曲线的半焦距离心率，则有： (1) 2 222 2|cos| | |s| ab PA ac co . (2) 2 tantan1e. (3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 13.已知双曲线 22 22 1 xy ab （0,0ab）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线

22、 与双曲线相交于,A B两点，点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点 . 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相 垂直 . 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形 中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ).（同上） (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上） 16.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的

23、距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心率 ). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 第 14 页，共 18 页 19. 已知椭圆 22 22 1 xy ab 上一点 000 ,Pxy，以直线与椭圆交于,M N两点，恒有 00 PMPN，则 直线横过 2222 002222 , abba xy abab 证明 19. 已知椭圆 22 22 1 xy ab ，不再椭圆上的一点P，过P做倾斜角互补的两

24、直线，与椭圆交于 ,A B C D四点，则,A B C D四点共圆 证明 其他常用公式： 第 15 页，共 18 页 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦 长公式： 2 12122 1 11ABkxxyy k 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成0AxByC(,A B不同时为0)的形式。 3、知直线横截距 0 x，常设其方程为 0 xmyx(它不适用于斜率为0 的直线 )， 与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为 1 0BxAyC。 4、两平行线 11 :0lAxByC， 22 :0lAxByC间的距离为 12 22 CC d AB 。

25、 5、若直线 11 :0lAxByC与直线 22 :0lAxByC平行， 则 1221 0ABA B（斜率）且 1221 0BCB C（在y轴上截距）（充要条件） 6、圆的一般方程： 2222 040xyDxEyFDEF，特别提醒：只有当 22 40DEF时，方程 22 0xyDxEyF才表示圆心为, 22 DE ，半径为 221 4 2 DEF的圆。二元二次方程 22 0AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是 0AC，且0B，且 22 40DEAF。 7、圆的参数方程： cos sin xar ybr （为参数），其中圆心为 ,a b ，半径为 r。圆的参数方程的主 要应用是三角换元：

26、222 xyrcosxr，sinyr； 22 xytcosxr，sinyr（0rt）； 8、 1122 ,A xyB xy为直径端点的圆方程 1212 0xxxxyyyy； 切线长 ：过圆 22 0xyDxEyF（ 22 2 xaybr）外一点 00 ,P xy引圆的切线 的长为： 22 0000 0xyDxEyF（ 22 2 xaybr） 第 16 页，共 18 页 9、弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半 1 2 a及圆的半径r所构成的直角三角形来 解： 2 22 1 2 rda；过两圆 1: ,0Cfx y、 2 :,0Cg x y交点的圆 (公共弦 )系为 ,0fx yg

27、x y，当1时，方程,0fx yg x y为两圆公共弦所在直线方程.。 抛物线焦点弦性质总结30 条 1. 以AB为直径的圆与准线l相切； 2. 2 12 4 p x x; 3. 2 12 y yp; 4. 0 90AC B; 5. 0 =90A FB; 6. 123 2 2 2 2sin pp ABxxpx; 7. 112 AFBFp ; 8. ,A O B三点共线； 9. ,B O A三点共线； 10. 2 2sin AOB p S； 11. 3 2 2 AOB Sp AB （定值）； 12. 1cos p AF； 1cos p BF； 13. BC垂直平分B F； 14. AC垂直平分A

28、 F； 15. C FAB； 第 17 页，共 18 页 16. 2ABp； 17. 11 22 CCABAABB； 18. 3 AB P k y ； 19. 2 2 tan 2 y p x ; 20. 2 4A BAFBF; 21. 1 2 C FA B. 22. 切线方程 00 y ym xx 23 、AB是抛物线 2 20ypx p焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线， 1 AAl， 1 BBl， 过,A B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M则有 结论 6 PAPB 结论 7 PFAB 结论 8 M平分PQ 结论 9 PA平分 1 AAB，PB平分 1 B BA 结论 10 2 FAFBPF 结论 11 2 min PAB Sp 二)非焦点弦与切线 思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时， 也有与上述结论类似结果： 结论 12 12 2 P y y x p ， 12 2 P yy y 结论 13 PA平分 1 A AB，同理PB平分 1 B BA 结论 14 PFAPFB 结论 15点M平分PQ 第 18 页，共 18 页 结论 16 2 FA FBPF