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1、2012 年 第 51 卷 第 9 期数学通报35 在伸缩变换下，让圆与椭圆相伴互生 2012 年高考数学湖北卷解析几何解答题探究 周远方 ( 湖北省教学研究室 430205) 2012 年高考数学湖北卷文理共用第 21 题，是一道 由圆经过伸缩变换生成椭圆后，再以直线 与椭圆的动态变化位置关系为载体的解析几何综合 题试题以解法灵活为考生提供了多样的选择，以贴近 教材为教学提供了良好的导向，以背景 丰富为研究提供了广阔的空间，是一道平中见奇、卓 尔不群的好题下面通过对这道题目进行解法分析和 题根探源，重在揭示其清晰的几何直观、动 态的变换方 式和深刻的数学背景，并通过伸缩变换，探究圆与椭圆相
2、伴互生的性质，将其结论进行自然的引申推广 1 试题再现 设 A 是单位圆 z 。+Y。一 1 上 的任意一点， 是 过点 A 与 z 轴 垂直的直线， D 是直线 z 与 z 轴 的 交 点 ， 点M 在 直 线z 上， 且 满 足JDM l m lDAI(m0 ，且m 1)当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C (I) 求曲线 C 的方程，判断曲线 c为何种圆锥 曲线，并求其焦点坐标； ()过原点斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P 、Q两 点，其中 P 在第一象限，且它在轴上的射 影为点 N ，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H是否 存在 m，使得对任意的 k0 ，都有 PQ
3、 上 PH? 若存 在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 z +y 一 1 中，即得经单位圆伸缩变换后椭圆 C 2 的方程为 z + 一 1( O 且 7 1) 思路 2( 参 数法 ) 设 M (z ，Y)，A(COS0 ， sin )，代入已知条件 IDM f m IDA J ，可得到点 M满足的参数方程 X=CIO。 再消去参数 0 y 土 or sin 即可 根据(0， 1)U(1 ，+)，可知所求椭圆 C 的焦 点位置不确定，即 当 01 时 ，曲线 C 是 焦点在 y 轴上的椭圆 ( 如图 2 所示 ) ，两焦点坐标分别为 (O，一) ，(0，、) _y M 图 1(01) 2
4、解法分析 (I) 本问是典型的相关点的轨迹问题，故有 如下两种典型的思路： 思路 1( 坐 标转移法 ) 设 M ( ，Y)，A(z。， Y。) ，代入已知条件 lDM 一 m lDA I ，可得到相关 f z 一 。fo z ， 点的坐标关系 【 即 】 再代人 ()本 问 要 判 断 是 否 存 在， 使 得 对 任 意 的 k0，都有 PQ 上 PH ，上手切人方式较多，可有如 下 几种思路： 思路 1( 斜率法 ) 即 PQ 上 PH 等价于 kP 口 kPH一 一 1 ； 思路 2( 向量 法 ) 即 PQnl-PH 等价于 myo ， lYo 一 my 南 一 o： 36数学通报
5、思路 3( 几 何法 ) 利用勾股定理方法，即PQ上 PH 等价于 IPQI+IPH l一 IQH I 。； 思路 4( 同一法 ) 将问题转化为过点 P 与 PQ 垂 直的垂线与 QN 的交点 H 在椭圆上 上述思路的切入方法均有两种运算途径，即是通过直线 方程与椭圆方程联立后求出相应点的坐标；二是利用避 解交点，设而不求的思想方 2012 年 第 51 卷 第 9 期 J H H P一 2 i 法前者解法朴实自然，属基本解法，运算量稍大， 但如果注意观察图形特征，把握运算细节，加 上细心演算，得出正确结果并不难；后者即抓住 Q ，N，H 三点共线得出 QH 的斜率，利用点差法 得出 PH
6、的斜率，再通过整体转化寻求 PQ 和PH 斜率 间的关系，从而得到简捷运算的途径限于篇幅，以下 只给出三种典型解法，其他方法从 略 解法 1 假设存在m (0， 1)U(1 ，+o) ，使 得 PQ上 PH V 忌0，设 P(x1 ，kx1) ，H(x2，Y2)，则 Q(一 z1，一 kx1) ，N(0，kx1) 直线 QN 的方程为 Y 一 2kx+kx ，将其代人椭圆 C 的方程并整理可得 (m + 4k 。)z + 4k z】 十 k z。一 m。一 0 依题意可知此方程的两根为一， 76。，于是由 韦达定理可得 一1 x2 一一m2-k4k2，即 m2q-4L 2一 k2 因为点 H
7、在直线 QN 上，所以 Y 一 kx = 2km 1 n ， z 惫 z2一 m2-k4k2 于是葡一( 一 2z ，一 2kz ) ， 霄一( 。一 Xl， 一一， 而 PQ j-PH 等价于商 育一 一。，即 2-m2 一。，又 m。，得 m 一 ， 故存在一2，使得在其对应的椭圆z。+ 一 1 上，对任意的忌 0，都有 PQ 上 PH 图 3(0 1) H 恒 解法 2 假设存在m (0， 1)U(1 ，+)，使 得 PQ 上 PH V 1(O， 1)，设 P(x1 ，Y1) ，H(z2，Y2)，贝 0 Q(一 ，一 Y ) ，N(O，Y ) ，如图 3 ，4，依题意，由点 P在第一象限
8、可知，点 H 也在第一象限，且 P ，H 不重合，故 ( lz2)( l十 z2)0 因为 P ，H 两 点 在 椭 圆 C 上，所以 三 ：两式相减后整理可得 kpH是一琶 三蓑 一一 2 ， 即 m 意 PH 一 一一 QH 又由 Q，N，H 三点共线，可得 kQH kQN= 2 JL1z yl2k ， 所以 一篆 于是是 P口kpH 忌(篆 ) 一一 mZ 而 PQ_l_PH 等价于 kPQ kP“一一 1， 即一一一 1，又0，得一，下同解 法 1 解法 3 前同解法 2 ，设 忌。 Hk ，kPH k fz 一 ,YC ， 实施伸缩变换 IY ，一、，将椭圆 + 一 1 变回 201
9、2 年 第 51 卷 第 9 期数学通报37 到原来的单位圆 z + =1，如 图 5，则在此变换下，原 直角坐标系： cOy 中的点 P(z ，y ) ，H(x2， y )，Q(一 z ，一 ) ，N(0， ) ，在新直角坐标系 z0 y 中的的对应点为 P ( 。，) ，H ( ，)，Q ( 一，一 1 y ) ， N (0 ，l Y1)， 于是 kp,Q, 一 一忌， k ，一一 】，2 走一走 k ，一 Y2 q-Yl=是 ，k ，一 1 ，T Z 1m 二兰一是 ， Z 】一一73 2 优 由 Q，N ，H 三点共线，可得 kl 一忌一走 0N一 2k ， 所以 k 们 一 kclN
10、 一 zk，故 Q ， N ，H 三点亦 共线 同理可得点 P ，0 ，Q 三点共线，所以 P Q 是单位圆_ 一 1 的直径， 故 P H 【lQ H ，即 k ，k洲，一一 1 ，所以 1 k 一 一 1 ，即 k k 一一 而 PQJ_PH 等价于 k k 一一 1，即一一 ，又 mO ，得一2，下同解法 1 评析 解法 1 通 过设出 P ，Q 的坐标与直线 QN 的方程，与椭圆 C 的方程联立后，求出 H 点 的坐标以及，商，最后利用葡商一 0 得到 结论此种解法中，虽然设有两个未知元，看似繁 琐，但在后续的求解过程中，出现的代数式的次数都较 低，运算难度相对较小解法 2 的 主旨是
11、利用两相互垂 直的直线的斜率之积为一1，与解法 1 的差异在于不是求 出交点 H 的坐标，而是利用点差法和三点共线将直线 PQ 的斜率 k ，与直线 QH 的斜率 k 和直线 PH 的斜率 k 。 联 系起来，从而把求走足转化为求忌忌。的问题，实现 了化难为易，使得问题迎刃而解解法 3 通过伸缩变换还 椭圆成圆后，让椭圆“圆”形毕露，利用直径所对的圆周 源 3 题根探源 查阅教材，可以发现试题第 ( 工) 问是基于人 教 A 版教材选修 2 1 第 41 页的如下例 2 ： 例 2 如图 2 2 5，在 圆 z + 一 4 上任取一点 P，过 点 P作 z 轴 的垂线段 PD，D 为垂足当点
12、P 在 圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么 ? 为 什 么 ? V 一 x 、 、 从变换的角度看，此例隐含着把“压 ”一 F 即成椭圆，反之椭圆也可再“伸”一下还原成圆，也 就是说一般情况下，椭圆与圆在如下伸缩变换 ( 一种特 殊的仿射变换 ) 下可以互变： 对于焦点在 z 轴 上椭圆 + 一 1( 口6 。) ，在矩阵 A一( ；)，即 l5vt ，=一 7v(3 简言之，横 坐 标不变，纵坐标拉伸其中一 称为伸缩率 ) 对 应的伸缩变换之下，变为圆+y 一 a ；反之， 在矩阵 A的逆矩阵 A 一( ) ， 即 f， =、，对应的伸缩变换之下，又可将圆z。+ ly 一 y
13、一 n 变回为椭圆等 + 一】 (n6o) 同样地，对于焦点在轴上椭圆 yzT 37z 一 1 (n6 。) ，在矩阵B一( ；) ，即 7vt3=v37( 一简 言 之，纵坐标不变，横坐标拉伸)对应的伸缩变换 之下，变为圆 z +y 一 n ；反之，在矩阵 B 的逆 矩阵 B一( ；) ，即： z 对应的伸缩变 角是直角这一性质，直击问题的本质，简化了运 算，可谓四两拨千斤，同时也是本文后续探究的来 换之下，又可将圆 z +y 。一口。变回为椭圆 Y2一+ 38数学通报2012 年 第 51 卷 第 9 期 等_l( 0) 在上述伸缩变换下，椭圆可以变成圆，圆又可 以变成椭圆，且椭圆与圆中原
14、有的线与线之间的平行关 系、共线点的关系、线段中点等性质得以保持，而直线 斜率的大小以及两点间的距离则发生了改变如圆的 直 径 变 成 椭 圆 的 直 径( 椭圆 一 组 平 行 弦 的 中 点 轨 迹 ) 、圆的两相互垂直的直径变成 了椭圆的两共轭直径 ( 两直径中每一直径平分与另一 直径平行的弦) 等事实上，仿射变换具有很多性 质，如同素性、结合性、保持共线三点的单比不变、 保持两直线的平行性、保持两封闭图形面积 的比不变等 ( 参 见文 1) 由此可见，命题者对试题第 (I)问的设计，正是 通过对课本此例所揭示的一般性问题的考虑，同时为减少 参数，将问题简化为由单位圆经伸缩变换 lDM
15、lm lDA I(m0，且 m 1)成只有伸 缩率 m 控制的椭圆 其实，若将本题第 (I)问得出的椭圆方程记为 C ：m lz + 一 m ( 0 ，且1)，则随着伸缩率 m (0，1)U(1 ，+o0)的取值变化，椭圆 C 性状的动态变化可进一步说明如下： 当 m (0 ， 1) 时，椭圆 C 表示焦点为 F ( 一 41 一，o) ，F (41 一 m ，0) ，离心率为 ： =：1 一优的椭圆当 mo 时，一 1，此时椭 圆 C 逐渐变扁，并最终退化为椭圆的长轴；当 m 一 1 时，一 0，此时椭圆 C 逐渐变圆，并最终退化为单 位圆 Cl ； 当 m (1， +o)时，椭圆 C 表示
16、焦点为 F (0 ，一 。一 1)，F (o ， 。一 1)，离心率为 厂 一 1 一 的椭圆此时当一 1 时， P一 0，此 时 椭圆 C 逐渐变圆，并最终退化为单位圆 C ；当 m一 十 cx3 时，此时椭圆 C 逐渐变扁，并最终退化为椭圆的 两条平行切线 -z一 1 值得指出的是，第 ( 工) 问，对应于单位圆 37 。 + ：1 的任意一点 A(z 。， y。)，直线 z上满足条件 IDM l m lDA I(m0 ，且 m 1) 的动点 M(x。， my 。) 或 M(x 。，一 my。) 均可生成相应的椭 圆当然，若将点 M 满足的条件 IDM I mIDA (m 0，且m 1)
17、换成是有向线段形式 DM mDA(m0 ，且 m 1) ，或者是向量形式 D 一 D (mO ，且 1)，或者是将点 M 的位置放在射线 DA 上，均可弥补这种双动点现象的缺 憾 如果说本题第( 工) 问的设计体现了以厚实的教 材素材为背景的命题理念，并蕴含着仿射变换的数学 背景，那么第()问的立意则以轻盈的姿态飘然而 至，既是对第 ( 工) 问的呼应，又是对圆的几何性质 直径所对的圆周角是直角在椭圆中的自然推广，同 时不留痕迹地为深入研究提供了 个较为合适的切入口这恰好是高考试题为何值 得期待的原因所在，也是高考试题的魅力所 在 利用伸缩变换可将圆中的性质移植到椭圆中，如圆 上一点对直径所张
18、成的角是直角这一性质，经过伸缩变 换成椭圆后，转化为椭圆上一点与 椭圆的一条直径的两个端点的斜率之积为定值 ( 这正是椭圆第三定义的由来 ) ，即有 2 结论 1 若椭圆 C： 。+ 一 1( 0 ，且 7“t tL 1)上任意一点 H 与直径 PQ 的两个端点 P，Q连线 HP ，HQ与坐标轴不平行，则直线 HP，HQ的斜率之积 为定值一 m J， ， x 图 6(01) 证明设 P(x1 ，y1) ，H(x2，Y2)，则 Q( 一 z1， -y ) 由 H，P，Q在椭圆 C 上可得 Y 一(1 一 z )( 一 1，2) ，于是 y；一 一一 (z；一 z ) ，所以 忌 HP 。 ko
19、一 22- 21 。Y2q-Yl 一一- m 2 z；一 zi 故结论成立 如图 6 ，7，若取椭圆 C 的弦 PH 的中点为 T， 连接 OT，则 OTQH ，所以 忌 一 kQn由结论 1 可 知，kork 一一。，这一结论的实质又是圆中 40数学通报2012 年 第 51 卷 第 9 期 在 z 轴 上的射影为点 N ，直线 QN 交椭圆 C 于 另C于另一点 H ，则 PQ 上 PH 的充要条件是 k 点 H (1) 若 01，即椭圆 C 的焦点在 Y 轴上，则 QPH 必为钝角 2 命题 3 设 PQ 为椭圆 C：z q- 一 1(m 0，且 1)不与坐标轴重合的任一条直径，点 P
20、在 Y 轴上 的射影为点 N ，直线 QN 交椭圆 C 于另 点 H (1) 若 O 1 ，即椭圆 C 的焦点在 Y 轴上， 则有 当11) 上不同于顶点的任意一点，Q为点 P 关于 原点的对称点，过点 Q 和 N(0 ， 。) 的直线 QN 交椭 圆 C 于另一点 H ，则 PQ 上 PH 的充要条件 是 一 Tn。一 1 以上两个推广命题又可统一成 2 命题 7 设 PQ 为椭圆 C：z + 一 1( 0，且 m 1)不与坐标轴重合的任一条直径，过点 Q 的 直线与轴和 Y 轴分别交于点 N 和 N ，且与椭圆 C 交 于另一点 H ，则 PQ_LPH 的充要条 ) 时， QPH 为锐角；
21、 当 m 一 ，即椭圆 C 的离心率 e 一 时， QPH 为直角； 当 m ，即椭圆 C 的离心率8( ， 1) 时， QPH 为钝角 同样地，直线 QH 与 Y8 轴 ( 或 Y 轴) 的交点 恰好是点 P 在 z 轴( 或 Y 轴) 上的射影 N，也只是使 得 PQ_LPH 的一种情形，因此，若仅从三条直线 PQ ，QH ，PH 的斜率关系出发考虑，则由结论 1 可得 命题 4 设过原点且斜率为非零常数 k 的直 2 线交椭圆 C：z + 一 1(m0，且 m 1)于 P 、Q 两点，过点 Q 且斜率为非零常数k 的直线交椭圆 件是 lQN I m lQN ：Go 圆 i O一 Q 图
22、12(01) 证明 如图 12 ，13，根 据对称性，不妨设点 P 在第一象限，则依题意，点 H 也在第一象限，且 P，H 不重合，从而直线 PH 与 QH 的斜率均存在 且不为零 设 忌 P。一 k ，是 QH一 是 1，kPH k2 ，P(351 ， Y1)， N1( o ，O)，Nz(0，Yo)，则 Q(-351 ，一 Y1) ( 下转第 53 页) 2012 年 第 51 卷 第 9 期数学通报53 告人的精心准备，让与会者受益匪浅；分组报告讨 论、交流的场面热烈，尤其是台湾学者的报告吸引 了很多听众的关注 会议期间，研究会召开了第六届理事会常务理事 会涂荣豹教授代表理事会作了工作报告
23、，曹一呜教授做 了补充，各位常务理事对研究会建 设、各分会活动的开展等相关的工作进行了广泛地讨论 和交流与会者认为，在过去的 2 年 中，第六届理事 会在国内外学术研究与交流、学会建设与发展等方面开 展了卓有成效的工作 常务理事会还对以下几项事宜进行了讨论， 并形成决议： 1根据高夯教授主动申请，辞去全国数学教育 必要性：若 PQ 上 PH ，则由命题 4 有 k 一 m k，于是直线 QH 的方程为 + Yl m 。k(z+ Iz1) 因为点 N 和 N 分别为直线 QH 与 z 轴和 Y 轴 的交点，所以 令 Y o ，可 得 。一 一一一 z 一 ( 一 1) 1 ，即 N1(11 1)
24、 1，0) ； mm 令 z 一 0，可得 Yom。kx1 一 Y】一 m y1 一 Y1一 ( 。一 1)y1 ，即 N2(O，( 一 1)y1 于是一 (z ，m2Y-)，一( z ，Y1)= ( rn2y) 一， 所以 一 mz ，即 IQN l 。lQN 1 研究会副理事长职务经东北师范大学数学与统计学院 提议、全国数学教育研究会常务理事会讨论通过，由东 北师范大学李淑文教授接任副理事长 2初步决定， 2013 年常务理事会工作会议将在 青海师范大学举行，研究会 2014年国际学术年会将 在西北师范大学举行，会议具体事宜另行通知，请随 时关注研究会网站 (nvw camedu org
25、cn) 研究会坚持“团结、民主、和谐、发展”的一 贯精神，将继续加强数学教育研究的科学性和实践 性，努力提高我国数学教育的研究水平；立足本土研 究，弘扬优秀的中华民族文化教育传统；积极组织参与 国际交流 ( 曹一鸣执笔 ) 于是由命题 4 知 PQ 上 PH ，故命题成立 由此结论可知，当点 N 恰好是点 P 在 Y 上 的射影 N 时，必有 m 一 1 1，即得 m 一2；当 点 1 N 恰好是点 P 在 z 上的射影点 N 时，必有一 7 11，即得 m 一 而这两种情形所对应的椭圆 厶 C的离心率都是等，即为命题 1 的结论 厶 若利用伸缩变换将椭圆 C 又变 回为单位圆，则可 得到上述
26、引申推广的结论对应于单位圆中类似于结论 2 的一些性质，限于篇幅，将其留给有兴趣的读者 参考文献 1 丁尔随主编中学百科全书数学卷 M 北京：北京师范大 充分性：若 lQN。l m 。lQN I ，则 由 Q，N ， 学出版社，1997 N 三点共线，可得= z ，即有2 刘绍学主编普通高中学课程标准实验教科书选修 2 1 ( l ，Y0+ 1) 一。(z0+z1 ，Y1)，于是 M 北京：人民教育出版社 (A 版 ) ，2007 1 3 张志勇 2011 年高考江苏卷第 l8题的推广与探源J 数学 即 1)x1 通报， 201I 。10 4 郑观宝一道高考试题的类比探究与题源探究 EJ 数学通 ? 报， 2011， 10 所以得 N1( 一 1)z1 ，0) ，N2(0，( 一 1) 。) 5 何晓敏，顾丹丹2011 年高考数学江苏卷解析几何试题剖析 7 扎。 口 数学通报，2O11 ， 11 又因为 Q，N ，N ，H 四点共线，所以6 乐京科让椭圆“圆”形毕露一类以椭圆为背景的高考题 愚 一是。 H 一- m2 忌 解法探究口 数学通报，2011，12 (1 一)z