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1、1 小学数学解题策略（84）几何图形的计数 84、几何图形的计数 【点与线的计数】 例 1 如图 5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图 中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？ （全国第二届“华杯赛”决赛试题） 讲析：可用“分组对应法”来计数。 将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形 有 1 个，其下行线有 2 点； 第二排三角形有 3 个，其下行线有 3 点； 第三排三角形有 5 个，其下行线有 4 点； 以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。 所以是小三角形个数多。 2 例 2 直线 m上有 4 个点，直线 n 上有 5 个点。以这些点为顶点 可以组成
2、多少个三角形？ （如图 5.46） （哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题） 讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。 直线 n 上有 5 个点，这 5 点共可以组成 43+21=10（条）线 段。以这些线段分别为底边， m上的点为顶点，共可以组成410=40 （个）三角形。 同理，m上 4 个点可以组成 6 条线段。以它们为底边，以n 上的 点为顶点可以组成65=30（个）三角形。 所以，一共可以组成70个三角形。 【长方形与三角形的计数】 例 1 图 5.47 中的正方形被分成9 个相同的小正方形，它们一共 有 16 个顶点，以其中不在一条直线上的3 点为顶点，可以构成三角 形
3、。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？ 3 （全国第三届“华杯赛”复赛试题） 为 3 的三角形，或者高为2，底为 3 的三角形，都符合要求。 底边长为 2，高为 3 的三角形有 244=32（个）； 高为 2，底边长为 3 的三角形有 82=16（个）。 所以，包括图中阴影部分三角形共有48 个。 例 2 图 5.48 中共有 _个三角形。 （现代小学数学）邀请赛试题） 讲析：以 AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6 个； 以 AB边上的线段为底边，分别以G 、H、F为顶点共有三角形3 个； 以 BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6 个。 4 所以，一共有
4、15 个三角形。 例 3 图 5.49 中共有 _个正方形。 （现代小学数学邀请赛试题） 讲析：可先来看看图5.50 的两个图中，各含有多少个正方形。 图 5.50（1）中，正方形个数是635241=32（个）； 图 5.50（2）中，正方形个数是 44+33+2211=30 （个） 如果把图 5.49 中的图形，分成 56 和 411 两个长方形，则： 56 的长方形中共有正方形 56+45342312=70（个）； 411 的长方形中共有正方形 411+310+2918=100（个）。 5 两个长方形相交部分45 的长方形中含有正方形 45+342312=40（个）。 所以，原图中共有正方形70100-40=130（个）。 例 4 平面上有 16 个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两 点的距离都相等 如图 5.51（1） ，每个点上钉上钉子。以这些点为 顶点，用线将它们围起来，一共可围成_个正方形。 （小学生科普报奥林匹克通讯赛试题） 讲析：能围成图 5.51 （2）的正方形共 14（个）； 能围成图 5.51（3）的正方形共 2（个）； 能围成图 5.51（4）的正方形共 4（个）。 所以，一共可围成正方形20个。