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1、平面向量奔驰定理与三角形四心 已知O是ABC内的一点，AOBAOCBOC,的面积分别为 A S， B S， C S，求证： 0OCSOBSOAS CBA 如图 2 延长OA与BC边相交于点D则 B C CODACD BODABD COD BOD ACD BD S S DC BD SS SS S S S SA 图 1 OD BC DC OB BC BD OC CB B SS S OB CB C SS S OC CB A COABOA CODBOD COA COD BOA BOD SS S SS SS S S S S OA OD 图 2 CB A SS S ODOA CB A SS S OA CB
2、 B SS S OB CB C SS S OC 0OCSOBSOAS CBA 推论O是ABC内的一点，且0OCOBOAzyx，则 zyxSSS AOBCOABOC : O A BC D O A BC 有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 1:1:1: AOBCOABOC SSS0OCOBOA O是ABC的内心 cbaSSS AOBCOABOC :0OCOBOAcba O是ABC的外心 CBASSS AOBCOABOC 2sin:2sin:2sin: 02sin2sin2sinOCCOBBOAA O是ABC的垂心 CBASSS AOBCOABOC tan:tan:tan: 0tanta
3、ntanOCCOBBOAA O C AB D 证明：如图O为三角形的垂心， DB CD B AD CD Atan,tanADDBBA:tan:tan COABOCSS :ADDB : BASS COABOC tan:tan: 同理得CBSS AOBCOA tan:tan: ，CASS AOBBOC tan:tan: CBASSS AOBCOABOC tan:tan:tan: 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 4.2 三角形“四心”的相关向量问题 一知识梳理： 四心的概念介绍： (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：
4、角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 与“重心”有关的向量问题 1 已知G是ABC所在平面上的一点，若 0GAGBGC ，则G是ABC的( ) A重点B外心C内心D垂心 如图 . A G C A B 2已 知O是 平 面 上 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足 ()OPOAABAC，(0)，则P的轨迹一定通过ABC的( ). A重点B外心C内心D垂心 【解析】由题意 ()APABAC ，当(0)，时，由于 ()ABAC 表示BC边上
5、 的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图. 3 .O 是ABC所在平面内一点，动点P 满足 （ 0，+） ） ，则动点 P的轨迹一定通过 ABC 的（） A内心B重心C外心D垂心 图图 M P C B A O 解：作出如图的图形AD BC ，由于sinB=sinC=AD ， = 由加法法则知， P在三角形的中线上 故动点 P的轨迹一定通过 ABC 的重心 故选： B 与“垂心”有关的向量问题 3 P是ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC的( ) A重点B外心C内心D垂心 【解析】由PA PBPB PC， 得() 0P B P A P C， 即
6、0P BC A， 所以PBCA 同 理可证PCAB，PABCP是ABC的垂心如图. P A B C 4已 知O是 平 面 上 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足 c o sc os A BA C O PO A A BBA CC ，(0)， 则动点P的轨迹一定通过ABC 的( ) A重点B外心C内心D垂心 【解析】由题意 coscos ABAC AP ABBACC ， 图图 H F E M A B C O P B C H A 图 6 由于0 coscos ABAC BC ABBACC ， 即0 coscos AB BCAC BC BCCB A
7、BBACC , 所以AP表示垂直于BC的向量，即P点 在过点 A且垂直于 BC的直线上，所以动点 P的轨迹一定通过 ABC的垂心，如图. 5 若H为ABC所在平面内一点，且 222222 HABCHBCAHCAB 则点 H 是ABC的( ) A重点B外心C内心D垂心 证明 : 2222 HAHBCABC ()()HAHBBACACBBA 得()0HAHBCACBBA 即()0HCHCBAABHC 同理 ,ACHB BCHA， 故 H是 ABC的垂心 与“内心”有关的向量问题 6已 知I为ABC所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且ABc，ACb，BCa 若 0a I AbI BcI C，则I是
8、ABC的( ) A重点B外心C内心D垂心 A B C O P b a c I AC B 【解析】IBIAAB，ICIAAC，则由题意得 ()0abc IAbABcAC ， ABAC bABcACACABABACACAB ABAC ， bcABAC AI abc ABAC AB AB 与 AC AC 分别为AB和AC方向上的单位向量， AI与BAC平分线共线，即AI平分BAC 同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB从而I是ABC的内心，如图. 7 已知O是平面上一定点，ABC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足 OPOA AC AC AB AB ，(0)，则动点 P的轨迹一定通过ABC 的
9、 ( ) A重点B外心C内心D垂心 【解析】由题意得 ABAC AP ABAC ，当(0)，时，AP表示BAC的平分 线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC的内心，如图. 8若O在ABC所在的平面内： =，则 O是ABC 的（） A垂心B重心C内心D外心 解：向量的模等于 1，因而向量是单位向量 图图 O C A B 向量、和等都是单位向量 由向量、为邻边构成的四边形是菱形， 可得 AO在BAC 的平分线上 同理可得 OB平分ABC ，OA平分 ACB ， O是ABC的内心 故选： C 与“外心”有关的向量问题 8 已知O是ABC所在平面上一点，若 222 OAOBOC，则O是AB
10、C的 ( ) A重点B外心C内心D垂心 【解析】若 222 OAOBOC，则 222 OAOBOC，OAOBOC，则O是 ABC 的外心，如图。 9已 知O是 平 面 上 的 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足 2 coscos OBOCABAC OP ABBACC ，(0)，则动点 P的轨迹一定通过 图 M O B C A P 图 ABC的( )。 A重点B外心C内心D垂心 【解析】 由于 2 OBOC 过BC的中点， 当(0)，时， coscos ABAC ABBACC 表 示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4 条解释。） ，所以P在
11、BC垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC的外心，如图 四心的相互关系 1. 三角形外心与垂心的向量关系及应用 设ABC的外心为O，则点 H 为ABC的垂心的充要条件是OHOAOBOC 。 2. 三角形外心与重心的向量关系及应用 设ABC的外心为O，则点 G 为ABC的重心的充要条件是 1 () 3 OGOAOBOC 3. 三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 设ABC的外心、重心、垂心分别为O、 G 、 H ，则O、 G 、 H 三点共线（O、 G 、 H 三点连线称为欧拉线） ，且 1 2 OGGH 。 相关题目 10设 ABC 外心为 O ，重心为 G 取点 H，使 求证： （1）H是ABC的垂心； （2）O ，G ，H三点共线，且 OG ：GH=1 ：2 【解答】 证明： （1） ABC 外心为 O ， 又 则=?=0 即 AH BC 同理 BH AC ，CH AB 即 H是ABC 的垂心； （2）G为ABC的重心 =3=3+= 即=3 即 O ，G ，H三点共线，且 OH=3OG 即 O ，G ，H三点共线，且 OG ：GH=1 ：2