数论综合练习题(2).pdf

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1、数论综合练习题 【练习 1 】三个连续自然数的乘积等于 39270 。这三个连续自然数的和等于多少？ 【练习 2 】两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制。每局先得 11 分者为胜， 如果打到 10 平，则先多得 2 分者为胜。结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过 20 分，把每人每局得分乘在一起恰为 480480 。请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的 方式写出） 【练习3】从 1！， 2！， 3！， ，100！这 100 个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积 是一个完全平方数。请问：被去掉的那个数是什么？ 【练习 4】已知 51 位数 55 55 999 能被 13 整除，中间

2、方格内的数字是多少？ 25 个 525 个 9 【练习 5】在六位数11 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17 和 19 整除。 方框中的两位数是多少？ 【练习 6 】所有 70 的倍数中，共有多少个数恰有 70 个约数？ 【练习 7 】4 个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为 101 、126、 173、193。规定每 两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以 3 所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打 了多少盘？ 【练习 8 】有一个大于 1 的整数，用它除 300 、262、205 得到相同的余数，求这个数。 【练习 9】已知 21! AB0909421717094 CD

3、000 ，那么四位数ABCD是多少？ 【练习 10】a 、b 是自然数， a 进制数47 a和 b 进制数74b相等， ab 的最小值是多少？ 【练习 11】 22003与20032的和除以 7 的余数是 _ 【练习 12 】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031 ，第一个数各个位 的数字之和是 10 ，第二个数的各个位数字之和是 8 ，求两个三位数的和。 【练习 13】一个自然数除429、791、500 所得的余数分别是 a 5 、 2a 、a，求这个自然 数和 a 的值 . 【练习 14】计算 (32003 1) 除以 26 的余数 【练习15】把7 位数2ABCDE

4、F变成7 位数ABCDEF2 ，已知新7 位数比原7 位数大 3591333，求（ 1）原 7 位数是几，（2）如果把汉语拼音字母顺序编为 1 26 号，且以所求得 原 7 位数的前四个数字组成的两个两位数2 A 和 BC 所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后 三个数字D，E，F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。 答案 【答案 1】39270 2 3 5 7 11 17 ，按大数配小数的原则，17 2 34 ,11 3 33, 7 5 35 , 所以这三个连续自然数的和是33+34+35=102 【答案 2】 480480 480 1001 25 3 5 7 11

5、13 因为最高得分不超过20 分， 13 只能单独， 13 超过了 11 分，所以另一得分是 11 或是 15,3 5=15 分， （1）当另一得分为 15 分时，则 7 可以配 2 的 14 分，刚好剩余了 4 个 2 ，等于 16 分，所以三场比赛是 16:14 ；15:13 ；11:1 。 （2）当另一得分为 11 分时，则超过 11 分的可以有 12 分、 14 分与 15 分；无法构成。 所以各局比分是：16:14 ； 15:13 ； 11:1 。 2 100 ， 98! 97! 2 98 2 2 ，则【答案 3】100! 99! 99! 97! ， 2! 1! 1! 从 1 ！，2

6、！，3！一直到 100！的乘积可转化为： 1! 2! 100! 2 2 4 100 1! 2! 100! 2 250 1 2 50 ， 则被去掉的那个数为 50! 。 【答案 4】令该 51 位数为 55 55 a 99 9 ，则根据能被13 整除的特征，三位一段，奇数段 25 个 525 个 9 之和与偶数段之和的差如果是 13 的倍数，则其为 13 的倍数。 奇数段之和为： 999 999 999 5a9 555 555 555 ； 偶数段之和为： 999 999 999 555 555 555 其差为： 5a9 ，则 5a9 应为 13 的倍数。则a 5 【答案 5】采用试除法 .设六位

7、数为11ab11,11ab11 11 10000 ab00 11 110011 ab00 如果一个数能同时被17 和 19 整除，那么一定能被 323 整除 110011 323 340191，余 191 也可以看成不足 323 191 132 所以当 ab00132323n 时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数 所以有 323n 的末位只能是10 2 8 ，所以n只能是 6 ，16 ，26， 验证有 n 16 时， 132323165300 ，所以原题的方框中填入5 ， 3 得到的 115311 满足题 意 【答案 6 】设 70 的 N 倍恰有 70 个约数。 70=2

8、5 7 有：（ 1+1） （1+1） （1+1）=2 3=8 8 不整除 70N 内可能有2、5、7 若有 4 个不同质因数，但70 只能表示为2 5 7 N 内必含 2、7、5 中几个 70N=2 （a+1） 5（ b+1）7（c+1） （a+1+1） （b+1+1） （c+1+1）=70 a、b、c 分别是 0 ，3，5 中一个 N为 2 3 55，23 75 2 5 23，25 73 5 3 75，55 73 一共 6 组 【答案 7】根据题意，101 3 33 2 ，126 3 42 ，173 3 57 2 ；193 3 64 1。 而他们号码的和除以 3 所得的余数与他们除以 3 的

9、余数的和相等。则 101 号选手分别比 赛了 2 场、 1 场、 0 场； 126 号选手分别比赛了 2 场、 2 场、 1 场共计 5 场； 173 号选手分别比赛了 1 场、 2 场共计 3 场； 193 号选手分别比赛了 0 场、 1 场、 0 场共计 1 场。 所以比赛最多的选手为 126 号选手比赛了 5 场。 【答案 8 】根据题意，该整应为 300-262=38 的一个因数，也为 262-205=57 的一个因数。 也就是该数只能取 19 或者 1 。所以该数只能为 19 。 【答案 9】由于 121 中有 4 个 5 的倍数，所以 21!的末尾有4 个 0，所以D 0 由于 2

10、1! 2 5 10 15 8 20 M 10000 8 3M(M为正整数 ) ，所 以 AB0909421717094 CD000去掉末尾的4 个 0 后得到的数是8 的倍数，那么94C 是 8 的 倍数，所以 C 4 由于该数既是 9 的倍数，又是 11 的倍数。则该数必然为 99 的倍数。则有： 0 44 9 17 17 42 9 9 ABAB147 为 99 的倍数。 所以 AB 51。 则该四位数 ABCD 为 5140。 【答案 10 】根据题意，有： 47 a 4a 710； 74 b 7b 410；则有：4a77b4，由于出现了数字7，则 a 与 b 均必须大于等于8。 a 7b

11、3 ，当 b=9 时， a=15. 所以 a+b 的最小值为：24。 4 【答案 11】找规律用7 除 2， 22 ， 2 3 ， 2 4 ， 2 5 ， 2 6 ，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4， 1，,2 的个数是3 的倍数时，用7 除的余数为1；2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为2；2 的 个数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为4因为 22003 23 667 2 ， 所以 2 2003 除以7 余 4又两个数的积除以7 的余数，与两个数分别除以7 所得余数的积相 同而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 2 除以 7 余 1故 2 20

12、03 与 2003 2 的和除以 7 的余数是 4 1 5 【答案 12 】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即 乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因 为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数 分别为 1 和 8，所以等式一边除以9 的余数为8，那么 1031 除以 9 的余数也必须为8， 只能是 3. 将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积， 即 31031 31 1001 143 217 ，所以两个三位数是143 和 217，那么两个三位数的和是

13、360 【答案 13】将这些数转化成被该自然数除后余数为 2a 的数：429 5 2 848 ， 791 、 500 2 1000 ，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余 . 将这三个数相减，得到 848 791 57 、1000 848 152 ，所求的自然数一定是57和152的 公约数，而57,152 19 ，所以这个自然数是19 的约数，显然1 是不符合条件的，那么只能 是 19. 经过验证，当这个自然数是19 时，除 429 、791 、500 所得的余数分别为11 、12 、6 ， a 6 时成立 , 所以这个自然数是19 ， a 6 . 【答案 14 】题中有 3 的

14、次幂，令人联想到将题中的数转化成 3 进制下的数再进行计算 3 2003 1 (1000. 0) 3 (1) 3 (222 2) 3 ，而 26 (222) ， 3 2003 个 0 2003 个 2 所以， (32003 1) 26 (222 2) 3 (222) 由于 (222) 整除 (222) ， 2003 3 667 2 ，所 3 3 3 2003个 2 以 (222 2) 3 (222)3余(22)38所以 (3 2003 1) 除以 26 的余数为8 2003个 2 【答案 15】（ 1）设 ABCDEF x ，根据题意得，(10 x2)(2000000x)3591333，解 得，x621259， 原 7 位数是2621259。 （2）按顺序写出26 个字母，从左到右给每个字母从126 编号，结合 2 A 26，BC 21， D2，E5，F9，按对应关系有： 26 对应 Z ，21 对应 U，2 对应 B ，5 对应 E,9 对应 I ，ZU 拼成 “ 祖” ，BEI拼成 “ 杯 ”