《空间向量在度量问题中的应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量在度量问题中的应用.pdf（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 / 21 空间向量在立体几何中的应用2 一、教案目标： 知识与技能 : 1）掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤,C(1,0,0,B(1,1,0,D1(0,0,1, M(0,1, 2 1 ,O( 2 1 , 2 1 , 2 1 。 xHAQX74J0X , M(1, 2 1 ,1, N( 2 1 ,0,1, E( 2 1 ,1,1, F(0, 2 1 ,1 ， B到平 面 mx+ny+pz+q=0 的 距 离 公 式 为 222 000 | pnm qpznymx d， 其 中 (m,n,p 为平面的一个法向量。运用法向量可使点到平面距离的求法程序化和简 单化。kavU42VRUs
2、例 7,B(1,1,0,E(0,1,1代 入 得 ， m=p=-n ，p=0， 平面 BDE 方程为 x-y+z=0 。 故 点D1求证：平面 EFG 平面 A CB1，并判断三角形类型； (2若正方体棱长为 a，求 EFG的最大面积，并求此时EF与 B1C的距离 参考答案 一、1B；2A；3A；4C ； 分析：建立如图所示的直角坐标系，则 y x z C B A A 1 D B 1 D 1 G E C 1 O 1 F H P 图 5 10 / 21 A B C D O S x y z 图 22 (,0) 22 A， 22 (,0) 22 B， 22 (,0) 22 C， 22 (,0) 22
3、 D， (0,0, 2)S (2,2,0)DB， 22 (,2) 22 CS 令向量( , ,1)nx y，且,nDB nCS，则 0 0 n DB n CS ， ( , ,1) (2,2,0)0 22 ( , ,1) (,2)0 22 x y x y ， 0 220 xy xy ， 2 2 x y ，(2,2,1)n 异面直线BD和SC之间的距离为： OC n d n 22 (,0) (2,2,1) 22 (2,2,1) 222 1 10 2 5 5 (2)(2)1 5A；分析： 11 ABB A为正方形， 11 A BAB，又平面 1 AB D平面 11 ABB A， 1 A B面 1 A
4、B D， 1 AB是平面 1 AB D的一个法向量，设点C到平面 1 AB D的距离为d，则 1 1 ACA B d A B = 1 () 2 ACA AAB a = 1 ) 2 ACA AACAB a = 0 0cos60 2 4 2 aa a a 6B；分析：建立如图所示的直角坐标系， 设平面 11 AC D的一个法向量( , ,1)nx y，则 1 1 0 0 n DA n DC ， x A B C D A1 B1 C1 D1 y z E 图 11 / 21 即 ( , ,1) (1,0,1)0 ( , ,1) (0,1,1)0 x y x y 1 1 x y ， ( 1, 1,1)n，
5、平面 1 ABC与平面 11 AC D间的距离 AD n d n 222 (_1,0,0) ( 1, 1,1)3 . 3 ( 1)( 1)1 7D； . 222 ,0,0 ,0,0 ,0,0 . 222 0,0,. 212 ,0, 422 OPABCOAOCABBC OAOBOAOPOBOP OOPzOxyz ABaAaBaCa OPhPh DPC ODahPAa 平面， ， 以为原点，射线为非负 轴，建立空间直角坐标系如图 ， 设，则 设，则 为的中点， 又 ,0, 1 . 2 h ODPAODPAODPAB ， 平面 2 , 7 , 2 214 ,0, 44 1 1,1, 7 210 co
6、s,. 30 210 sincos, 30 210 arcsin. 30 PAa ha ODaa PBCn OD n OD n ODn ODPBC OD n ODPBC 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为， 则 与平面所成的角为 8B；解以 C 为坐标原点， C A 所在直线为 x轴，C B 所在直线为y轴， 1 CC 所 在直线为 z轴，建立直角坐标系， 设aCBCA， 则）（0, 0,aA，）（0,0 aB，）（2,0 , 1 aA，）（1 ,0 ,0D ）（1 , 2 , 2 aa E，）（ 3 1 , 3 , 3 aa G， z y x P O D C B A A A1 B1 C
7、B C 1 D z y x E G 12 / 21 ）（ 3 2 , 6 , 6 aa GE，）（1 , 0aBD， 点 E在平面 AB D上的射影是ABD的重心 G ， GE平面 AB D，0BDGE，解得2a ）（ 3 2 , 3 1 , 3 1 GE，）（2,2, 2 1 BA， GE平面 AB D， GE 为平面 AB D的一个法向量 由 3 2 32 3 6 3 4 | ,cos 1 1 1 BAGE BAGE BAGE BA 1 与平面 AB D所成的角的余弦值为 3 7 评析因规定直线与平面所成角 2 0 ，两向量所成角0 ，所以用 此法向量求出的线面角应满足| 2 | 9A；取
8、 BC的中点 O ，连 AO 由题意平面ABC平面 11B BCC，BCAO， AO平面 11B BCC， 以 O为原点，建立如图6 所示空间直角坐标系， 则）（3 2 3 ,0, 0A，）（0,0 , 2 3 B，）（0,0, 2 9 D，）（0,3 2 3 , 2 3 1 B， ）（3 2 3 ,0, 2 9 AD，）（0,3 2 3 ,3 1D B，）（0,3 2 3 ,0 1 BB， 由题意 1 BB平面 AB D， ）（0,3 2 3 ,0 1 BB为平面 AB D的法向量 设 平面DAB1的法向量为),( 2 zyxn， 则 DBn ADn 12 2 ， 0 0 12 2 DBn
9、ADn ， 03 2 3 3 03 2 3 2 9 yx zx ， 即 xz yx 3 3 2 3 不妨设) 2 3 , 1 , 2 3 ( 2 n， 13 / 21 由 2 1 23 2 3 3 2 3 | ,cos 21 21 21 nBB nBB nBB， 得 60, 21 nBB 故所求二面角BADB1 的大小为60 评析： WwghWvVhPE (1分析：要证平面 EFG 平面ACB1，由题设知只要证 BD1垂直平面 ACB1即可 证明：以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为 a，则A(0，a，a=0， 1 BD 1 AB ， 同理 1 BDAC， 而 1
10、AB与 AC 不共线且相交于点 A， 1 BD 平面 ACB1，又已知 1 BD 平面 EFG ， 平面EFG 平面ACB1； 又因为 1 BD平面 EFG ，所以 1 BD EF ， 则 1 BD EF=0， 即( a， a， a ( xE ， y F， 0=0， 化简得xE y F=0； 同理xEzG=0, yFzG=0， 易得EF=EF=FG， EFG 为正三角形 (2解：因为 EFG 是正三角形，显然当EFG 与 A1C1D 重合时， EFG 的边最 长，其面积也最大，此时，EF =A 1C1=2 a，BkeGuInkxI EFG S = DCA S 11 = 2 1 DACA 111
11、 sin60 0 = 2 1 (2 a2 2 3 = 2 3 a2 y x z A B C D A 1 O B 1 D 1 J C 1 E G F O 1 K P 图5* 20 / 21 此时EF 与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所 求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记 A1C1与B1D1交于点 O1，作O1HD1B并交 BB1于点 H，则 O1H平面 A1C1D，垂足为 O1，则 O1( 2 a ， 2 a ，a，H(a，a， 2 a ，而 HO1作为平面 A1C1D的法向量， PgdO0sRlMo 所以异面直线 EF 与B1C的距离设为 d是
12、 d = HO HO BO 1 1 11 = 4 3 ) 44 ( 2 22 a aa = 3 3 a ( 证明3cdXwckm15 例题在三棱锥ABCS中，三角形ABC是边长为 4 的正三角形，平面SAC 平面ABC，32SCSA，M、N分别是AB、SB的中点，求点B平面 CMN的距离。 解 运用法向量求解的方法1. 如 图 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 )0 ,3, 3(CM，)2,0 , 1(MN，设 ),(zyxn 是 平 面CMN的 一 个 法向 量 ， 则 0 0 MNn CMn 02 033 zx yx ，令1z，则 6 2 y x )1 ,6,2(n ， 得)
13、 3 1 , 3 6 , 3 2 ( 0 n，)0,3, 1(MB， 所 以 B到 平 面CMN的 距 离 3 24 | 3 6 3 3 2 1| 0 nMBd。 运用法向量求解的方法2. 设 BH平面CMN，垂足为H，因为H、C、M、N四点共面，由共面定 O x y z M N C B A S H 21 / 21 理，可设 BNBMBCBH)1()1(2,33,2(。 由 0 0 MNBH CMBH 023 0339 3 2 9 1 ) 9 24 , 9 38 , 9 8 (BM 3 24 | BM，所以点B到平面CMN的距离为 3 24 。 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。