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1、1 / 4 第二十五讲辅助圆 在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决 而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并 不是我们需要用的圆，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找 出来，添补辅助圆的常见方法有：zy6uLCVvwib5E2RGbCAP 1利用圆的定义添补辅助圆； 2作三角形的外接圆； 3运用四点共圆的判定方法： (1若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆 (2同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆 (3若四边形 ABCD 的对角线相交于P，且 PAPC=PBPD，则它的四个顶点共圆 (4若四边形 AB
2、CD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于P，且 PAPBPCPD，则它 的四个顶点共圆zy6uLCVvwip1EanqFDPw 【例题求解】 【例 1】如图，直线AB 和 AC 与 O 分别相切于B、C， P 为圆上一点， P 到 AB、 AC 的 距离分别为4cm、6cm，那么 P到 BC 的距离为zy6uLCVvwiDXDiTa9E3d 思路点拨连 DF，EF，寻找PD、PE、PF 之间的关系，证明PDF PFE，而发现P、 D、B、F 与 P、E、C、F 分别共圆，突破角是解题的关键 zy6uLCVvwiRTCrpUDGiT 注：圆具有丰富的性质： (1圆的对称性； (2等圆或同圆中
3、不同名称量的转化； (3与圆相关的角； (4圆中比例线段 适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性， 有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”zy6uLCVvwi5PCzVD7HxA 【例 2】如图，若PA=PB， APB=2 ACB ，AC 与 PB 交于点P，且 PB=4，PD=3，则 AD DC 等于 ( zy6uLCVvwijLBHrnAILg A6 B7 C12 D 16 思路点拨作出以 P点为圆心、 PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件 注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方 法 【例3】如图
4、，在ABC中， AB=AC ，任意延长CA 到到 Q，使 AP=BQ ，求证： ABC 的外心 O 与 A， P，Q 四点共圆 思路点拨先作出 ABC 的外心 O，连 PO、OQ，将问题转化为证明角相等 【例 4】 如图， P 是 O 外一点， PA切 O 于 A，PBC 是 O求 证： CD PC PD PB 思 路 点拨因所 证比例线段不是对应边，故不能通过判定相似 证 明 PA2=PD PO=PBPC，B、C、O、 D 共圆，这样连 OB，就得多对相似三角形，以此 达到证明的目的zy6uLCVvwiLDAYtRyKfE 注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明
5、三角形全等 和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件 集中或转移，而且可直接运用圆的性质为解题服务zy6uLCVvwiZzz6ZB2Ltk 【例 5】如图，在 ABC 中，高 BE、CF 相交于 H，且 BHC=135 ， G 为 ABC 内的一 点，且 GB=GC ， BGC 3A，连结 HG，求证： HG 平分 BHF zy6uLCVvwidvzfvkwMI1 思路点拨经计算可得A=45 ， ABE ， BFH 皆为等腰直角三角形，只需证GHB= GHF=22.5 zy6uLCVvwirqyn14ZNXI 由 BGC=3 A=135 =GHC，得 B、
6、G、H、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点 证明 注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解 学力训练 1如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm 2 ， P 为正方形内一点，且 OPB=45， PA：PB=5：14，则 PB的长为zy6uLCVvwiEmxvxOtOco 2如图，在ABC中， AB=AC=2 ， BC 边上有100 个不同的点Pl、 P2，, P100，记 CPBPAPm iiii 2 zy6uLCVvwi6ewMyirQFL A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 4如图，已知ACB 是 BAC 的( Ak 2 1 倍 B是k
7、倍 Ck2 D k 1 5如图，在等腰梯形ABCD 中， ABCD，AB=998 ，CD=1001 ，AD=1999 ，点 P 在线段 AD 上，满足条件的BPC=90的点 P的个数为 ( zy6uLCVvwikavU42VRUs A0 B1 C2 1 D 不小于 3 的整数 6如图，AD 、 BE 是锐角三角形的两条高，SABC= 18， SDEC=2，则COSC 等于 ( zy6uLCVvwiy6v3ALoS89 A3 B 3 1 C 3 2 D 4 3 7如图；已知H 是 ABC 三条高的交点，连结DF，DE，EF，求证： H 是 DEF 的内 心 8如图，已知ABC 中， AH 是高，
8、 AT 是角平分线，且TD AB，TEAC 求证： (1AHD= AHE ；(2 CE CH BD BH 9 如 图 ， 已 知 在 凸 四 边 形ABCDE中 ， BAE=3， BC=CD=DE ， 且 BCD= CDE= 2180求证： BAC= CAD= DAK ，VghUZB5wvbM2ub6vSTnP 10如图， P 是 O 外一点， PA 和 PB 是 O 的切线， A， B 为切点， P O 与 AB 交于点 M，过 M 任作 O 的弦 CD求证： CPO=DPOVghUZB5wvb0YujCfmUCw 11如图，已知点P 是 O 外一点， PS、PT 是 O 的两条切线，过点P 作 O 的割线 3 / 4 PAB，交 O A、B 两点，与ST 交于点 C求证：) 11 ( 2 11 PBPAPC VghUZB5wvbeUts8ZQVRd 参考答案 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。 4 / 4 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。