《2016-2017学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷.pdf（25页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页（共 25 页） 2016-2017学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集U=1 ，2，3， 4，5，集合 A=3 ，4，B=1 ，2，则（ ?UA）B 等 于（） A1，2 B1，3 C1，2，5 D1，2，3 2 （5 分）下列函数中，是奇函数且在（0，+ ）上单调递减的是（） Ay=x 1 By= （） x Cy=x 3 D 3 （5 分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，700 的学生中抽样50 人，若第 2 段中 编号为 20 的学生
2、被抽中，则第5 段中被抽中的学生编号为（） A48 B62 C76 D90 4 （ 5 分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A 点表示该城市去年有的天数吹北风， 点表示该城B 市去年有10% 的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（） A去年吹西北风和吹东风的频率接近 B去年几乎不吹西风 C去年吹东风的天数超过100 天 第 2 页（共 25 页） D去年吹西南风的频率为15% 左右 5 （5 分）已知函数f（x）=|lnx |，若 a b，f（a） =f （b） ，则 ab 等于（） A1 Be 1Ce De 2 6 （5 分）保险柜的密码由0，1，2，3，4， 5，6，7，8，9 中的四个
3、数字组成，假设一 个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输 入 2 次就能开锁的频率是（） ABCD 7 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损 术”执行该程序框图，若输入的a， b 分别为 98 ，63，则输出的a 为（） A0 B7 C14 D28 8 （5 分）已知函数y=a x（a0 且 a1）是减函数，则下列函数图象正确的是（ ） ABCD 9 （5 分）已知f（x）=ln （1）+1 ，则 f（ 7）+f （ 5 ）+f （ 3）+f （ 1）+f （3 ）+f （ 5） +f （7 ）+f （ 9）= （
4、） A0 B4 C8 D16 10 （5 分）矩形ABCD 中， AB=2 ，AD=1 ，在矩形ABCD 的边 CD 上随机取一点E，记 “ AEB 的最大边是AB”为事件M ，则 P（M ）等于（） 第 3 页（共 25 页） A2B1 CD 11 （5 分）元代数学家朱世杰所著四元玉鉴一书，是中国古代数学的重要著作之一， 共分卷首、 上卷、 中卷、 下卷四卷， 下卷中 果垛叠藏 第一问是： “今有三角垛果子一所， 值钱一贯三百二十文， 只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？” 据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n 为（） A7 B8 C9 D10 12
5、（5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，当x0 时， f（ x）=|x 1|，若方程 f（ x） =有 4 个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（） A （，1）B （，1） C （，1） D （ 1，） 二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）某学习小组6 名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数 为 14 （5 分） 空气质量指数 （AirQualityIndex， 简称 AQI ） 是定量描述空气质量状况的指数AQI 第 4 页（共 25 页） 数值越小，说明空气质量越好某地区1 月份平均AQI （ y）与年份（ x）具有线性相关关
6、 系下列最近3 年的数据： 年份2014 2015 2016 1 月份平均AQI （y）76 68 48 根据数据求得y 关于 x 的线性回归方程为= 14x+a ，则可预测 2017 年 1 月份该地区的 平均 AQI 为 15 （5 分）已知f（x）=x 3 +（ a1）x 2 是奇函数，则不等式f（ax） f（a x）的解集 是 16 （5 分）已知函数f（ x）=，若存在实数k 使得函数f（ x） 的值域为 0，2，则实数a 的取值范围是 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知集合A=x|x 2 或 x0，B=x|
7、（） x 3 （）求 AB （）若集合C=x|a xa+1 ，且 AC=C ，求 a 的取值范围 18 （12 分）已知函数f（x）=， （x0 且 a1）的图象经过点（2， 3） （）求 a 的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f （x）的图象； （）若 f（x）在区间（ m，m+1 ）上是单调函数，求m 的取值范围 第 5 页（共 25 页） 19 （12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖 有两种方案可供选择 方案一：从装有4 个红球和2 个白球的不透明箱中，随机摸出2 个球，若摸出的2 个球都 是红球则中奖，否则不中奖； 方案二： 掷 2 颗骰子，
8、如果出现的点数至少有一个为4 则中奖， 否则不中奖（注： 骰子（或 球）的大小、形状、质地均相同） （） 有顾客认为， 在方案一种， 箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于 你 认为正确吗？请说明理由； （）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由 20 （12 分）下面给出了2010 年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁） 国家平均寿 命 国家平均寿 命 国家 平均寿命国家平均寿 命 国家平均寿命 阿曼76.1 巴林76.1 朝鲜68.9 韩国80.6 老挝64.3 泰国73.7 约旦73.4 越南75.0 中国74.8 伊朗74.0 阿富汗59.0 阿联酋76.7 东帝汶
9、67.3 柬埔寨66.4 卡塔尔77.8 尼泊尔68.0 土耳其74.1 伊拉克68.5 以色列81.6 新加坡81.5 孟加拉国70.1 塞浦路斯79.4 沙特阿拉伯73.7 哈萨克斯坦68.3 印度尼西亚68.2 第 6 页（共 25 页） 蒙古67.6 缅甸64.9 日本82.8 印度66.5 文莱77.6 也门62.8 科威特74.1 菲律宾67.8 黎巴嫩78.5 叙利亚72.3 巴基斯坦65.2 马来西亚74.2 土库曼斯坦65.0 吉尔吉斯斯坦69.3 乌兹别克斯坦67.9 （）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的a，b； 分组频数频率 59.0 ，63.0 ）2 0.
10、05 63.0 ，67.0 ） 67.0 ，71.0 ） 71.0 ，75.0 ）9 0.225 75.0 ，7.0 ）7 0.175 79.0 ，83.0 5 0.125 合计40 1.00 （）请根据统计思想，利用（）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命 21 （12 分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度 越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m 2，三月底测得覆盖面积为 36m 2，凤眼莲覆 盖面积 y（单位： m 2）与月份 x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k0，a1） 与 y=px+q （p0）可供选择 （）试判断哪个函数模型更
11、合适，并求出该模型的解析式； 第 7 页（共 25 页） （）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10 倍以上的最小月份 （参考数据： lg2 0.3010 ， lg3 0.4771 ） 22 （12 分）已知函数f（x）=x 2+ax （a0）在 1，2上的最大值为 8，函数 g（x）是 h（x）=e x 的反函数 （1）求函数g（f（x） ）的单调区间； （2）求证：函数y=f （x）h（x）（x0）恰有一个零点x0，且 g（x0） x02h（x0） 1 （参考数据：e=2.71828，ln2 0.693 ） 第 8 页（共 25 页） 2016-2017学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷
12、参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集U=1 ，2，3， 4，5，集合 A=3 ，4，B=1 ，2，则（ ?UA）B 等 于（） A1，2 B1，3 C1，2，5 D1，2，3 【解答】 解：全集 U=1 ，2，3，4，5， 集合 A=3 ，4，B=1 ，2， 则?UA=1 ，2，5， （?UA）B=1 ，2 故选： A 2 （5 分）下列函数中，是奇函数且在（0，+ ）上单调递减的是（） Ay=x 1 By= （） x Cy=x 3 D 【解答】 解：根据题意，依次分析选
13、项： 对于 A、y=x 1= ，是奇函数，且其在（0，+ ）上单调递减，符合题意； 对于 B、y= （） x 是指数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于 C、y=x 3 是幂函数，是奇函数但其在（0，+ ）上单调递增，不符合题意； 第 9 页（共 25 页） 对于 D、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意； 故选： A 3 （5 分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，700 的学生中抽样50 人，若第 2 段中 编号为 20 的学生被抽中，则第5 段中被抽中的学生编号为（） A48 B62 C76 D90 【解答】 解：因为是从700 名学生中抽出50 名学生， 组距是 14， 第 2 段中
14、编号为20 的学生被抽中， 第 5 组抽取的为20+3 14=62号， 故选 B 4 （ 5 分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A 点表示该城市去年有的天数吹北风， 点表示该城B 市去年有10% 的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（） A去年吹西北风和吹东风的频率接近 B去年几乎不吹西风 C去年吹东风的天数超过100 天 第 10 页（共 25 页） D去年吹西南风的频率为15% 左右 【解答】 解：根据风向频率图，可知去年吹西南风的频率为5% 左右， 故选 D 5 （5 分）已知函数f（x）=|lnx |，若 a b，f（a） =f （b） ，则 ab 等于（） A1 Be 1Ce D
15、e 2 【解答】 解：函数 f（x）=|lnx |，a b， f（a）=f （b） ， |lna |=|lnb |， lna =lnb 或 lna =， 即 lna=lnb或 ln （ab ）=1 ， 解得 a=b （舍）或 ab=e ab=e 故选： C 6 （5 分）保险柜的密码由0，1，2，3，4， 5，6，7，8，9 中的四个数字组成，假设一 个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输 入 2 次就能开锁的频率是（） ABCD 【解答】 解：满足条件的数分别是1， 3，5，7，9， 共 1，3，5，7；1，3， 5，9；1，3，7，9；1，5，7，
16、9；3，5，7，9 共 5 种密码， 最多输入 2 次就能开锁的频率是p=， 故选： C 第 11 页（共 25 页） 7 （5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损 术”执行该程序框图，若输入的a， b 分别为 98 ，63，则输出的a 为（） A0 B7 C14 D28 【解答】 解：由程序框图可知：a=98 63=b ， a 35=98 63 ， b 28=63 35， a 7=35 28 ， b 21 28 7， a 14=21 7， b 7=21 14， a 7=14 7， 则 a=b=7， 因此输出的a 为 7 故选： B 8 （5 分）已知函数y=
17、a x（a0 且 a1）是减函数，则下列函数图象正确的是（ ） ABCD 【解答】 解：函数 y=a x（a0 且 a 1）是减函数，是指数函数， a（ 0，1） ， 第 12 页（共 25 页） 函数 y=x a 的图象为： 所以 A 不正确； y=x a，第一象限的图象为：第三象限也可能有图象 所以 B 不正确； y=logax，是减函数，所以选项C 不正确； y=loga（ x） ，定义域是x0，是增函数，所以D 正确 故选： D 9 （5 分）已知f（x）=ln （1）+1 ，则 f（ 7）+f （ 5 ）+f （ 3）+f （ 1）+f （3 ）+f （ 5） +f （7 ）+f （
18、 9）= （） A0 B4 C8 D16 【解答】 解：f（x）=ln （1）+1 ， 则 f（ 7）=ln9 ln7+1 ， f（ 5 ）=ln7 ln5+1 ， f（ 3）=ln5 ln3+1 ， f（ 1）=ln3+1， 第 13 页（共 25 页） f（3 ）= ln3+1 ， f（5）=ln3 ln5+1 ， f（7 ）=ln5 ln7+1 ， f（ 9）=ln7 ln9+1 ， 则 f（ 7）+f （ 5 ）+f （ 3） +f （ 1）+f （3 ）+f （5）+f （7 ）+f （9）=8 ， 故选： C 10 （5 分）矩形ABCD 中， AB=2 ，AD=1 ，在矩形ABC
19、D 的边 CD 上随机取一点E，记 “ AEB 的最大边是AB”为事件M ，则 P（M ）等于（） A2B1 CD 【解答】 解：分别以A、B 为圆心， AB 为半径作弧，交C、 D 于 P1，P2， 当 E 在线段 P1P2间运动时，能使得 ABE 的最大边为AB， 在矩形中 ABCD 中， AB=2 ，AD=1 ， AP1=BP2=2 ，CP1=DP2=2 ， P1P2=2 2（2）=22， ABE 的最大边是AB 的概率： p=1 故选： B 第 14 页（共 25 页） 11 （5 分）元代数学家朱世杰所著四元玉鉴一书，是中国古代数学的重要著作之一， 共分卷首、 上卷、 中卷、 下卷四
20、卷， 下卷中 果垛叠藏 第一问是： “今有三角垛果子一所， 值钱一贯三百二十文， 只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？” 据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n 为（） A7 B8 C9 D10 【解答】 解：由 S0=2 ，Sn+1=Sn+（n+2 ） ， S9=2+1320 ， 故选： C 12 （5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，当x0 时， f（ x）=|x 1|，若方程 f（ x） =有 4 个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（） A （，1）B （，1） C （，1） D （ 1，） 【解答】 解：设 x0，则 x0， 当 x0 时
21、， f（x） =|x 1|，f（ x）=| x1|=|x+1|， f（ x）是定义在R 上的偶函数， f（ x）=f （ x） =|x+1| ， 第 15 页（共 25 页） 则 f（x）=，即， 由 f（x）=得， f 2（x）=x+a ， 画出函数 y=x+a与 y=f 2（x）的图象，如图所示： 由图知，当直线y=x+a过点 A 时有三个交点， 且 A（1，1） ，此时 a=1 ， 当直线 y=x+a相切与点P 时有三个交点， 由图知， y=f 2（x）= （x+1 ）2=x2+2x+1 ， 则 y =2x +2 ，令 y =2x +2=1得 x=，则 y=， 此时切点 P（，） ，代入
22、 y=x+a得 a=， 方程 f（x）=有 4 个不相等的实根， 函数 y=x+a与 y=f 2（x）的图象有四个不同的交点， 由图可得，实数a 的取值范围是（，1） ， 故选 B 二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）某学习小组6 名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为 85 第 16 页（共 25 页） 【解答】 解：由茎叶图得： 学习小组 6 名同学的英语口试成绩从小到大为： 76 ，81，84 ，86 ，87 ，90， 这些成绩的中位数为： 故答案为： 85 14 （5 分） 空气质量指数 （AirQualityIndex， 简称
23、AQI ） 是定量描述空气质量状况的指数AQI 数值越小，说明空气质量越好某地区1 月份平均AQI （ y）与年份（ x）具有线性相关关 系下列最近3 年的数据： 年份2014 2015 2016 1 月份平均AQI （y）76 68 48 根据数据求得y 关于 x 的线性回归方程为= 14x+a ，则可预测 2017 年 1 月份该地区的 平均 AQI 为36 【解答】 解：=2015 ，=64 ， 故 64= 14 2015+a ， 解得： a=14 2015+64， 故 2017 年 1 月份该地区的平均AQI 为： y= 14 2017+14 2015+64=36， 故答案为： 36
24、15 （5 分）已知f（x）=x 3 +（ a1）x 2 是奇函数，则不等式f（ax） f（a x）的解集 第 17 页（共 25 页） 是x|x 【解答】 解：若 f（x）=x 3+ （a1）x2 是奇函数， 则 a 1=0 ，即 a=1 ，此时 f（x）=x 3，在 R 递增， 则不等式 f（ax） f（a x） ， 即 x1x，解得： x， 故不等式的解集是：x|x， 故答案为： x|x 16 （5 分）已知函数f（ x）=，若存在实数k 使得函数f（ x） 的值域为 0，2，则实数a 的取值范围是1 ，2 【解答】 解：当 1x k 时，函数f（x） =log2（1x）+1 为减函数，
25、 且在区间左端点处有f（ 1）=2 ， 令 f（x）=0 ，解得 x=， 令 f（x）=x|x 1|=2 ，解得 x=2 ， f（ x）的值域为 0，2， k， 当 k x a 时， f（x）=x|x 1|=， f（ x）在 k，1，a 上单调递增，在，1上单调递减， 从而当 x=1 时，函数有最小值，即为f（1）=0 函数在右端点的函数值为f（2） =2 ， f（ x）的值域为 0，2， 第 18 页（共 25 页） 1a2 故答案为： 1，2 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知集合A=x|x 2 或 x0，B=x|
26、（） x 3 （）求 AB （）若集合C=x|a xa+1 ，且 AC=C ，求 a 的取值范围 【解答】 解： （），且函数在 R 上为减函数， x1 AB=x|x 2 或 x0x|x 1=x|x 1 或 x0； （） A C=C ，C? A， a+1 2 或 a 0， 解得 a 3 或 a 0 18 （12 分）已知函数f（x）=， （x0 且 a1）的图象经过点（2， 3） 第 19 页（共 25 页） （）求 a 的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f （x）的图象； （）若 f（x）在区间（ m，m+1 ）上是单调函数，求m 的取值范围 【解答】 本题满分（ 12 分） 解： （）函
27、数的图象经过点（2， 3） ，a21=3 ，解得， 其图象如图所示： （）由（）可知函数的单调递增区间是（0，2） ，单调递减区间是（，0） ， （2，+ ） ， m+1 0 或 m 2 或， m 的取值范围为m 1 或 0m 1 或 m 2 19 （12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖 有两种方案可供选择 方案一：从装有4 个红球和2 个白球的不透明箱中，随机摸出2 个球，若摸出的2 个球都 第 20 页（共 25 页） 是红球则中奖，否则不中奖； 方案二： 掷 2 颗骰子， 如果出现的点数至少有一个为4 则中奖， 否则不中奖（注： 骰子（或 球）的大
28、小、形状、质地均相同） （） 有顾客认为， 在方案一种， 箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于 你 认为正确吗？请说明理由； （）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由 【解答】 解： （）将 4 个红球分别记为a1，a2，a3，a4，2 个白球分别记为b1，b2， 则从箱中随机摸出2 个球有以下结果： a1，a2， a1，a3，a1，a4，a1， b1，a1，b2，a2，a3， a2，a4， a2，b1，a2，b2，a3，a4，a3，b1，a3，b2， a4，b1， a4，b2，b1， b2，总共 15 种， 其中 2 个都是红球的有a1，a2，a1，a3，a1，a4，a
29、2，a3，a2，a4，a3，a4共 6 种， 所以方案一中奖的概率为， 所以顾客的想法是错误的 （）抛掷2 颗骰子，所有基本事件共有36 种， 其中出现的点数至少有一个4 的基本事件有（1，4） ， （2，4） ， （3，4） ， （4，4） ， （5，4） ， （6，4） ， （4，1） ， （4，2） ， （4， 3） ， （4，5） ， （4，6）共 11 种， 所以方案二中奖的概率为， 所以应该选择方案一 20 （12 分）下面给出了2010 年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁） 国家平均寿国家平均寿国家 平均寿命国家平均寿国家平均寿命 第 21 页（共 25 页） 命命命 阿曼7
30、6.1 巴林76.1 朝鲜68.9 韩国80.6 老挝64.3 蒙古67.6 缅甸64.9 日本82.8 泰国73.7 约旦73.4 越南75.0 中国74.8 伊朗74.0 印度66.5 文莱77.6 也门62.8 阿富汗59.0 阿联酋76.7 东帝汶67.3 柬埔寨66.4 卡塔尔77.8 科威特74.1 菲律宾67.8 黎巴嫩78.5 尼泊尔68.0 土耳其74.1 伊拉克68.5 以色列81.6 新加坡81.5 叙利亚72.3 巴基斯坦65.2 马来西亚74.2 孟加拉国70.1 塞浦路斯79.4 沙特阿拉伯73.7 哈萨克斯坦68.3 印度尼西亚68.2 土库曼斯坦65.0 吉尔吉
31、斯斯坦69.3 乌兹别克斯坦67.9 （）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的a，b； 分组频数频率 59.0 ，63.0 ）2 0.05 63.0 ，67.0 ）6 0.15 67.0 ，71.0 ）11 0.275 71.0 ，75.0 ）9 0.225 75.0 ，7.0 ）7 0.175 79.0 ，83.0 5 0.125 合计40 1.00 （）请根据统计思想，利用（）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命 第 22 页（共 25 页） 【解答】 解： （）根据题意，计算63.0 ，67.0 ）的频数是6，频率是=0.15 ； 67.0 ，71.0 ）的频数是11 ，频
32、率是=0.275 ，补齐频率分布表如下； 分组频数频率 59.0 ，63.0 ）2 0.05 63.0 ，67.0 ）6 0.15 67.0 ，71.0 ）11 0.275 71.0 ，75.0 ）9 0.225 75.0 ，7.0 ）7 0.175 79.0 ，83.0 5 0.125 合计40 1.00 计算 a=0.05625， b=0.04375； （）由频率分布直方图可知， 以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为 =61 0.05+65 0.15+69 0.275+730.225+77 0.175+81 0.125=71.8； 根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8 岁
33、21 （12 分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度 第 23 页（共 25 页） 越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m 2，三月底测得覆盖面积为 36m 2，凤眼莲覆 盖面积 y（单位： m 2）与月份 x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k0，a1） 与 y=px+q （p0）可供选择 （）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10 倍以上的最小月份 （参考数据： lg2 0.3010 ， lg3 0.4771 ） 【解答】 本小题满分（ 12 分） 解： （）两个函数y=ka x（k0，a1）
34、 ， 在（ 0，+ ）上都是增函数， 随着 x 的增加， 函数 y=ka x（k 0，a1）的值增加的越来越快， 而函数 的值增加的越来越慢 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=ka x（k0，a1）适合要求 由题意可知， x=2 时， y=24 ；x=3 时， y=36 ，所以 解得 所以该函数模型的解析式是（xN *） （）x=0 时， 所以元旦放入凤眼莲面积是， 由得， 所以， 因为，所以 x6， 所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10 倍以上的最小月份是6 月份 第 24 页（共 25 页） 22 （12 分）已知函数f（x）=x 2+ax （a0）在 1，2上的最
35、大值为 8，函数 g（x）是 h（x）=e x 的反函数 （1）求函数g（f（x） ）的单调区间； （2）求证：函数y=f （x）h（x）（x0）恰有一个零点x0，且 g（x0） x0 2h（x0） 1 （参考数据：e=2.71828，ln2 0.693 ） 【解答】 解： （1）函数 g（x）是 h（x）=e x 的反函数， 可得 g（x） =lnx ； 函数 f（x）=x 2+ax （a0）在 1，2 上的最大值为 8， 只能是 f（ 1） =8 或 f（2）=8 ， 即有 1a=8 或 4+2a=8， 解得 a=2 （ 7 舍去）， 函数 g（f（x） ） =ln （ x2+2x ） ，
36、 由 x2+2x 0，可得 x0 或 x 2 由复合函数的单调性，可得 函数 g（f（x） ）的单调增区间为（0， +） ； 单调减区间为（，2） ； （2）证明：由（ 1）得： f（x）=x 2+2x ，即 （x）=f （x）h（x） ， （x0） ， 设 0x1x2，则 x1 x20， x1x20，0， f（ x）在（ 0，+ ）递增且f（x） 0， f（ x2） f（ x1） 0， 第 25 页（共 25 页） 0，f（x1）f（x2）， （x1） （x2）=f （x1） f（x2）+0， 即 （x1） （x2） ，（x）在（ 0，+ ）递增； （）=2 2=0 ， （） =ee0， 即 （）（） 0， 函数 y=f （x）h（x）（x0）恰有 1 个零点 x0，且 x0（，） ， （+2x0）=0 ，即=， h（x0） g（x0） =lnx0=lnx0， y=lnx 在（ 0，）上是减函数， lnx0ln=+ln2 +0.6=1， 即 g（ x0）h（x0） 1， 综上，函数y=f （x）h（x）（x0）恰有一个零点x0，且 g（x0） x0 2h（x0） 1