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1、第 1 页（共 21 页） 2016-2017学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷 一、选择题 1 （5 分）sin20 sin80cos160 sin10 =（） ABCD 2 （5 分）若=，则 tan = （） A1 B 1 C3 D 3 3 （5 分）在函数y=sin|x| 、y=|sinx| 、y=sin （2x+） 、y=tan （2x+）中，最小 正周期为的函数的个数为（） A1 个 B2 个C3 个 D4 个 4 （5 分）方程xsinx=0的根的个数为（） A1 B2 C3 D4 5 （5 分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生 函数”
2、，那么函数解析式为f（x） =x 2+1 ，值域为 5，10 的“孪生函数”共有（ ） A4 个 B8 个C9 个 D12 个 6 （5 分）函数y=2sin （2x ）的单调递增区间是（） AB CD 7 （ 5 分）已知函数f（x）=Asin （x+ ） （xR，A0，0，|）的部分图象 如图所示，则f（x）的解析式是（） 第 2 页（共 21 页） AB CD 8 （ 5 分）定义在R 上的函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，且对任意的实 数 x 都有，f（ 1）=1 ，f（0）= 2，则 f（1）+f （2）+ +f （2 017 ） = （） A0 B 2 C1 D 4 9
3、（5 分）已知函数f（x）=asinx bcosx （a，b 为常数， a0，xR）在 x=处取得 最大值，则函数y=f （ x+）是（） A奇函数且它的图象关于点（ ，0）对称 B偶函数且它的图象关于点（，0）对称 C奇函数且它的图象关于点（，0）对称 D偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称 10 （5 分）将函数y=sin （ x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标 不变） ，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（） Ay=sin （x）By=sin （2x） Cy=sinx D y=sin （x） 11 （5 分）函数f（x）=2sin （2x+） ，g
4、（x）=mcos （2x） 2m+3 （ m 0） ， 若对任意 x10，存在 x20 ，使得 g（x1）=f （ x2）成立，则实数m 的取值 第 3 页（共 21 页） 范围是（） A B C D 12 （5 分）已知函数f（x）=e x e x+4sin3x+1 ， x（ 1，1） ，若 f（1 a）+f （1 a2） 2 成立，则实数a 的取值范围是（） A （ 2，1）B （0，1）CD （， 2）（ 1，+ ） 二、填空题 13 （5 分）若 + =则（ 1tan ） （1tan ）的值为 14 （5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，则 f （ 2+lo
5、g35）= 15 （5 分）一个匀速旋转的摩天轮每12 分钟转一周，最低点距地面2 米，最高点距地面 18 米， P 是摩天轮轮周上一定点，从P 在最低点时开始计时，则14 分钟后 P 点距地面的 高度是米 16 （5 分）定义在R 上的单调函数f（ x）满足： f（x+y ） =f （x）+f （y） ，若 F（x）=f （asinx ）+f （sinx+cos 2x3）在（ 0， ）上有零点，则 a 的取值范围是 三、解答题 17 （10 分）某正弦交流电的电压v（单位V）随时间t（单位： s）变化的函数关系是 v=120sin （100 t） ，t 0，+ ） （1）求该正弦交流电电压v
6、 的周期、频率、振幅； （2）若加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光， 求在半个周期内霓虹灯管点亮的时 间？（取1.4 ） 第 4 页（共 21 页） 18 （12 分）已知函数f（x）=2sin （2x+）+1 （其中 0 1） ，若点（，1） 是函数 f（ x）图象的一个对称中心， （1）试求 的值； （2）先列表，再作出函数f（x）在区间x ， 上的图象 19 （12 分）已知y=f （x）是定义在R 上的奇函数，当x 0 时， f（x）=x+x 2 （1）求 x0 时， f（x）的解析式； （2）问是否存在这样的非负数a，b ，当 xa，b 时， f（x）的值域为 4a 2，6
7、b 6 ？ 若存在，求出所有的a，b 值；若不存在，请说明理由 20 （12 分） （1）若 cos=， x ，求的值 （2）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos 2x1（x R） ，若 f（x0）= ，x0， 求 cos2x0的值 21 （12 分）已知函数f（ x）=4sin 2（ +） ?sinx+ （cosx+sinx） （cosx sinx ） 1 （1）化简 f（x） ； （2）常数 0，若函数 y=f （x）在区间上是增函数，求 的取值范 围； （3）若函数 g（x）=在的最大值为2， 求实数 a 的值 第 5 页（共 21 页） 22 （12 分）已知函数任取 tR，
8、若函数f（x）在区间 t ，t+1 上的最大值为M （t） ，最小值为m（t） ，记 g（t）=M （t） m （t） （1）求函数f（ x）的最小正周期及对称轴方程； （2）当 t2， 0时，求函数g（ t）的解析式； （3）设函数h（x）=2 |x k|，H（x）=x|x k|+2k 8，其中实数 k 为参数，且满足关于t 的不等式有解， 若对任意x1 4，+） ，存在 x2（， 4，使得 h（x2） =H （x1）成立，求实数k 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2016-2017学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1 （5 分）sin20 s
9、in80cos160 sin10 =（） ABCD 【解答】 解：sin80 =sin（ 90 10 ）=cos10， cos160 =cos （ 180 20 ）= cos20， 那 么 ： sin20 sin80 cos160 sin10 =sin20 cos10+ cos20 sin10 =sin（ 20 +10 ） =sin30= 故选 D 2 （5 分）若=，则 tan = （） A1 B 1 C3 D 3 【解答】 解：=， 可得 sin = 3cos ， tan = 3 故选： D 3 （5 分）在函数y=sin|x| 、y=|sinx| 、y=sin （2x+） 、y=tan
10、（2x+）中，最小 正周期为的函数的个数为（） 第 7 页（共 21 页） A1 个 B2 个C3 个 D4 个 【解答】 解：函数 y=sin|x| 不是周期函数，y=|sinx| 是周期等于的函数， y=sin （2x+）的周期等于= ，y=tan （2x+）的周期为， 故这些函数中，最小正周期为的函数的个数为2， 故选： B 4 （5 分）方程xsinx=0的根的个数为（） A1 B2 C3 D4 【解答】 解：方方程x sinx=0的根的个数可转化为函数f（x）=x sinx 的零点个数， f （x）=1 cosx ， 1cosx 1，所以 1cosx 0，即 f （x）0， 所以 f
11、（x）=x sinx 在 R 上为增函数 又因为 f（ 0）=0 sin0=0 ，所以 0 是 f（x）唯一的一个零点， 所以方程 xsinx=0的根的个数为1， 故选： A 5 （5 分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生 函数”，那么函数解析式为f（x） =x 2+1 ，值域为 5，10 的“孪生函数”共有（ ） A4 个 B8 个C9 个 D12 个 【解答】 解：由已知中“孪生函数”的定义： 一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同， 当函数解析式为y=x 2+1 ，值域为 5，10 时， 由 y=5 时， x= 2，y=7 时， x= 3 第
12、 8 页（共 21 页） 用列举法得函数的定义域可能为：2， 3，2， 3，2， 3，2， 3，2， 3， 3， 2， 3，3，2，3， 2，2， 3， 2，2， 3，3，2，共 9 个 故选： C 6 （5 分）函数y=2sin （2x ）的单调递增区间是（） AB CD 【解答】 解：， 由于函数的单调递减区间为的单调递增区间， 即 故选 B 7 （ 5 分）已知函数f（x）=Asin （x+ ） （xR，A0，0，|）的部分图象 如图所示，则f（x）的解析式是（） AB CD 【解答】 解：由图象可知：的长度是四分之一个周期 第 9 页（共 21 页） 函数的周期为2，所以 = 函数图象
13、过（，2）所以 A=2 ，并且 2=2sin （） ，= f（x）的解析式是 故选 A 8 （ 5 分）定义在R 上的函数f（x）的图象关于点（，0）成中心对称，且对任意的实 数 x 都有，f（ 1）=1 ，f（0）= 2，则 f（1）+f （2）+ +f （2 017 ） = （） A0 B 2 C1 D 4 【解答】 解：由 f（x）= f（x+）得 f（x+）= f（x） ， f（ x+3 ）= f（x+）=f （x） ，即函数的周期为3， 又 f（ 1）=1 ，f（2）=f （ 1+3 ）=f （ 1）=1 ， 且 f（）= f（ 1）= 1， 函数图象关于点（，0）呈中心对称， f（
14、 x）+f （ x）=0 ，则 f（ x）= f（ x） ， f（ 1）= f（）= f（）=1 ， f（ 0）= 2，f（3）=f （0）= 2， 则 f（1）+f （2）+f （3）=1+1 2=0 f（ 1）+f （2）+ +f （2017 ）=f （1）=1 ， 故选 C 第 10 页（共 21 页） 9 （5 分）已知函数f（x）=asinx bcosx （a，b 为常数， a0，xR）在 x=处取得 最大值，则函数y=f （ x+）是（） A奇函数且它的图象关于点（ ，0）对称 B偶函数且它的图象关于点（，0）对称 C奇函数且它的图象关于点（，0）对称 D偶函数且它的图象关于点（
15、，0）对称 【解答】 解：将已知函数变形f（x）=asinx bcosx=sin（x ） ，其中 tan =， 又 f（x）=asinx bcosx 在 x=处取得最大值， =2k +（ kZ）得 = 2k （ kZ） ， f（ x）=sin （x+） ， 函数 y=f （x+）=sin （x+） =cosx ， 函数是偶函数且它的图象关于点（，0）对称 故选： B 10 （5 分）将函数y=sin （ x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标 不变） ，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（） Ay=sin （x）By=sin （2x） Cy=sinx D y
16、=sin （x） 【解答】 解：将函数y=sin （x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标 不变） ， 得到的图象对应的解析式为y=sin （x） ， 再将所得图象向左平移个单位， 则所得函数图象对应的解析式为y=sin（x+）=sin （x） ， 第 11 页（共 21 页） 故选： D 11 （5 分）函数f（x）=2sin （2x+） ，g（x）=mcos （2x） 2m+3 （ m 0） ， 若对任意 x10，存在 x20 ，使得 g（x1）=f （ x2）成立，则实数m 的取值 范围是（） A B C D 【解答】 解：当 x0，时， 2x+，sin （2x+） ， 1
17、， f（x） =2sin （2x+） 1，2， 同理可得 2x ，cos （2x ） ，1 ， g（x）=mcos （2x） 2m+3 +3 ， m+3 ， 对任意 x10，存在 x20 ，使得 g（x1） =f （x2）成立， ，求得 1 m ， 故选： D 12 （5 分）已知函数f（x）=e x e x+4sin3x+1 ， x（ 1，1） ，若 f（1 a）+f （1 a2） 2 成立，则实数a 的取值范围是（） A （ 2，1）B （0，1）CD （， 2）（ 1，+ ） 【解答】 解：令 g（ x）=f （ x） 1=e xex+4sin3x， 则 g（ x） =g（x） ，即 g
18、（x）为奇函数， 若 f（1a）+f （1a 2） 2 成立， 即 g（ 1a）+g （1a2） 0 成立， 即 g（ 1a） g（1a 2）=g （a21） ， 第 12 页（共 21 页） g（x）=e x+ex +12sin 2xcosx 0 在 x（ 1，1）时恒成立， 故 g（ x）在（ 1， 1）上为增函数， 故 1a 2 11a1， 解得： a（ 0，1） ， 故选： B 二、填空题 13 （5 分）若 + =则（ 1tan ） （1tan ）的值为2 【解答】 解：若 + =，则 tan （ + ）= 1=， tan +tan =tan tan 1 （1 tan ）（1tan
19、） =1 tan tan +tan tan =1 （tan tan 1） +tan tan =2 ， 故答案为： 2 14 （5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，则 f （ 2+log35）= 【解答】 解：由题意f（ 2+log35）= f（2log35） 由于当 x0 时，故 f（ 2+log35） = f（log3） = 故答案为 15 （5 分）一个匀速旋转的摩天轮每12 分钟转一周，最低点距地面2 米，最高点距地面 18 米， P 是摩天轮轮周上一定点，从P 在最低点时开始计时，则14 分钟后 P 点距地面的 高度是6 米 第 13 页（共 21 页） 【
20、解答】 解：设 P 与地面高度与时间t 的关系， f（t）=Asin （t+ ）+B （ A 0，0， 0 ， 2 ） ） ， 由题意可知： A=8 ，B=10 ，T=12 ，所以 =，即 f（t）=8sin （t+ ） +10 ， 又因为 f（ 0）=2 ，即sin= 1，故=，f（t）=8sin （t+） +10 ， f（ 14）=6 （米） ， 故答案为： 6 16 （5 分）定义在R 上的单调函数f（ x）满足： f（x+y ） =f （x）+f （y） ，若 F（x）=f （asinx ）+f （sinx+cos 2x3）在（ 0， ）上有零点，则 a 的取值范围是2 ，+ ） 【解
21、答】 解：令 x=y=0 ，则 f（0）=2f （0） ，则 f（0） =0 ； 再令 y= x，则 f（xx） =f （x）+f （ x）=0 ， 且 f（x）定义域为R，关于原点对称 f（ x）是奇函数 F（x）=f （asinx ）+f （ sinx+cos 2x 3）在（ 0， ）上有零点 f（ asinx ） +f （sinx+cos 2x3）=0 在（ 0， ）上有解； f（ asinx ） = f（sinx+cos 2x3）=f （ sinx cos2x+3 ）在（ 0， ）上有解； 又函数 f（x）是 R 上的单调函数， asinx= sinx cos 2x+3 在（ 0， ）
22、上有解 x（ 0， ） ， sinx 0； a=sinx+1； 第 14 页（共 21 页） 令 t=sinx ，t（ 0，1 ； 则 a=t+1； y=t+，0，因此函数y 在（ 0，1 上单调递减， a 2 故答案为： 2，+ ） 三、解答题 17 （10 分）某正弦交流电的电压v（单位V）随时间t（单位： s）变化的函数关系是 v=120sin （100 t） ，t 0，+ ） （1）求该正弦交流电电压v 的周期、频率、振幅； （2）若加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光， 求在半个周期内霓虹灯管点亮的时 间？（取1.4 ） 【解答】 解： （1）周期，频率，振幅 （2）由及得
23、结合正弦图象，取半个周期有解得 所以半个周期内霓虹灯管点亮的时间为（s） 18 （12 分）已知函数f（x）=2sin （2x+）+1 （其中 0 1） ，若点（，1） 是函数 f（ x）图象的一个对称中心， （1）试求 的值； （2）先列表，再作出函数f（x）在区间x ， 上的图象 第 15 页（共 21 页） 【解答】 解： （1）点（，1）是函数 f（x）图象的一个对称中心， 2?+=k ，kZ， 即 = 3k+ 01， =， （2）由（ 1）知 f（x）=2sin （x+）+1 ，x ， 列表如下 x+ 0 x y 0 1 1 3 1 0 19 （12 分）已知y=f （x）是定义在R
24、 上的奇函数，当x 0 时， f（x）=x+x 2 （1）求 x0 时， f（x）的解析式； 第 16 页（共 21 页） （2）问是否存在这样的非负数a，b ，当 xa，b 时， f（x）的值域为 4a 2，6b 6 ？ 若存在，求出所有的a，b 值；若不存在，请说明理由 【解答】 解： （1）设 x0，则 x 0，于是 f（ x）= x+x 2， 又 f（x）为奇函数，f（ x）= f（x） ，f（x）= x+x 2， 即 x0 时， f（x）=x x2（4 分） （2）假设存在这样的数a， b a 0，且 f（x）=x+x 2 在 x 0 时为增函数，（6 分） xa，b 时， f（x）
25、 f（a） ，f（b）=4a 2，6b 6 ， （8 分） ，即（10 分） 或，考虑到0ab，且 4a 26b 6，（12 分） 可得符合条件的a，b 值分别为（14 分） 20 （12 分） （1）若 cos=， x ，求的值 （2）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos 2x1（x R） ，若 f（x0）= ，x0， 求 cos2x0的值 【解答】 解： （1）由 x ，得 x+ 2 ， 又 cos=，sin= ； cosx=cos=coscos+sinsin= ， 从而 sinx= ，tanx=7； 第 17 页（共 21 页） 故原式 =； （2）f（x）=2sinxcosx
26、+2cos 2x1 =sin2x+cos2x =2sin （2x+） ， 当 f（x0）=时， sin （2x0+）=， 又 x0，2x0+， cos （2x0+） = ， cos2x0=cos （2x0+）= += 21 （12 分）已知函数f（ x）=4sin 2（ +） ?sinx+ （cosx+sinx） （cosx sinx ） 1 （1）化简 f（x） ； （2）常数 0，若函数 y=f （x）在区间上是增函数，求 的取值范 围； （3）若函数 g（x）=在的最大值为2， 求实数 a 的值 【解答】 解： （1）f（x）=21 cos（+x ）?sinx+cos 2xsin2x1=
27、（2+2sinx ）?sinx+1 2sin 2x1=2sinx （ 2）f （ x） =2sin x ，由x，解得+x +， f（x）的递增区间为+，+，kZf（x）在 ， 上是增函数， 第 18 页（共 21 页） 当k=0时 ， 有， ， 解 得 ， 的取值范围是（0， （3）g（x）=sin2x+asinxacosx a1，令 sinx cosx=t ，则 sin2x=1 t 2， y=1 t 2+at a1= （ t） 2+ ，t=sinx cosx=sin （x） ， x，x， 当，即 a 2时， ymax= （） 2+ = a2 令a2=2 ，解得 a= （舍） 当1， 即 2a
28、2 时，ymax=，令， 解得 a= 2 或 a=4 （舍） 当，即 a2 时，在 t=1 处，由得 a=6 因此， a= 2 或 a=6 22 （12 分）已知函数任取 tR，若函数f（x）在区间 t ，t+1 上的最大值为M （t） ，最小值为m（t） ，记 g（t）=M （t） m （t） （1）求函数f（ x）的最小正周期及对称轴方程； （2）当 t2， 0时，求函数g（ t）的解析式； （3）设函数h（x）=2 |x k|，H（x）=x|x k|+2k 8，其中实数 k 为参数，且满足关于t 的不等式有解， 若对任意x1 4，+） ，存在 x2（， 4，使得 h（x2） =H （x1
29、）成立，求实数k 的取值范围 第 19 页（共 21 页） 【解答】 解： （1）函数， 则 f（x）的最小正周期为； 令，解得 f（x）的对称轴方程为x=2k+1（xZ） ； （2）当时，在区间 t ，t+1 上， m（ t）=f （ 1） =1， ； 当时，在区间 t ，t+1 上， m（ t）=f （ 1） =1， ； 当 t1，0时，在区间 t， t+1 上， ， ； 当 t 2，0 时，函数； （3）的最小正周期T=4 ， M （t+4 ）=M （ t） ，m（t+4 ）=m （t） ， g（t+4 ）=M （t+4 ） m （t+4 ）=M （t） m （t）=g （t） ； g（
30、t）是周期为4 的函数，研究函数g（t）的性质，只须研究函数g（t）在 t2，2 时的性质即可； 第 20 页（共 21 页） 仿照（2），可得； 画出函数g（t）的部分图象，如图所示， 函数 g（ t）的值域为； 已知有解，即k4g （t）max=4， k4； 若对任意 x14， +） ，存在 x2（， 4 ，使得 h（x2）=H （x1）成立， 即 H （x）在 4，+ ）的值域是h（ x）在（， 4 的值域的子集 ， 当 k 4 时，h（x）在（， k）上单调递减，在k ，4上单调递增， h（x）min=h （k）=1 ， H（x）=x|x k|+2k 8 在4 ，+ ）上单调递增， H（x）min=H （4）=8 2k， 第 21 页（共 21 页） 82k 1，即； 综上，实数的取值范围是