2019高三一模难题.pdf

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1、公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 2019 年上海市高三一模数学考试客观题难题解析 2019.01 一. 崇明区 11. 设 f ( x) 是定义在R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间0,1 上单调递减，且满足 f ( ) 1 ， f (2 ) 2 1 x 2 的解集为，则不等式组 f ( x ) 2 1 1 x 2 的解集即图中实线【解析】 根据题意，画出草图，如图所示，满足不等式组 f ( x ) 2 1 部分横坐标的范围， f (2 ) f (24)f (82 ) 2 ， f ( )f (2) 1，并且 12 8 22 ， 数形结合可得解集为2,82 . 12. 已知数列

2、an 满足： a10； 对任意的n N * ，都有an 1 an成立 . 函数 f n ( x ) | sin 1 n ( x a n ) | ， x an , an 1 满足：对于任意的实数 m 0,1)， f n ( x ) m 总有两个不同的根，则an 的通项公式是 【解析】 x a n , an 1 ， x an0, a n 1 an ，设 xa nt ，即g ( t ) | sin n t | 在 t 0, an 1 an 上满足对任意m0,1)，g (t )m总有两个不同的根，结合函数g ( t )的图 像可知，周期为T n ，即a a n ， a a ( n 1) ，累加得a n

3、 ( n 1) . n 1 n n n 1 n 2 16. 函数 f ( x ) x ， g ( x ) x 2 x 2 ，若存在 x1 , x2 , , xn 0, 9 2 ，使得 f ( x1 ) f ( x 2 )f ( xn 1 ) g ( xn ) g ( x1 ) g ( x2 )g ( x n 1 ) f ( xn ) ，则n 的最大值 是（） A. 11B. 13C. 14D. 18 【解析】 即 g ( x n ) f ( xn ) g ( x1 )f ( x1 ) g ( x2 ) f ( x2 ) g ( xn 1 )f ( xn 1 )，设 h ( x ) g ( x

4、) f ( x ) x 2 2 x 2 ，即h ( x n ) h ( x1 ) h ( x2 )h ( xn 1 ) 恒成立， 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 当 x0, 9 2时， h ( x ) maxh( 9 2 ) 13 1 4 ，h ( x )minh(1)1 ，而13 1 4 1 13 1 4 ， n 1 的最大值为13，即n 的最大值为14. 故选 C. 本题与 2018 浦东二模第 12 题类似，可类比思考 （2018 浦东二模 12 ）已知函数f ( x ) x 2 5 x 7，若对于任意正整数n，在区间1, n 5 n 上存在m

5、1个实数a0、a1、a2、 、am，使得 f ( a0) f ( a1) f ( a2) f ( am)成立， 则m 的最大值为 【解析】 对于任意正整数n 成立，取 ( n 5 n )min 9 2 ， 在区间 1, 9 2 上函数最大值为 f ( 9 2 ) 19 4 ，最小值为 f ( 5 2 ) 3 4 ， 19 4 3 4 6 1 4 ，即 m 的最大值为 6. 二. 虹口区 11. 如图，已知半圆O 的直径 AB 4 ， OAC 是等边三角形，若点P 是边 AC（包含端点A、 C）上的动点，点Q在弧BC上，且满足OQOP ，则OP BQ的最小值为 【解析】 OQ OP ，OP OQ

6、0 ，BOOA ，OP BQOP ( BO OQ) OP BO OP OQ OP OA ，结合向量数量积几何意义，OC OAOP OAOA OA ， 即OP OA 2, 4 ，OP BQ 的最小值为2 . 12. 若直线 y kx 与曲线 y 2 |log 2 ( x2)| | x 1 | 恰有两个公共点，则实数k取值范围 为【解析】 分段讨论曲线，当 2 x 1 ，y x 1 2 x 1，当 1 x 1 ，y 2 x 1，当 x1 ， y3 . 综上画出曲线图像如图所示，直线 ykx 与曲线有两个交点，数形结合 可得k( , 01 . 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (s

7、h-maths) 1, x 1 15. 2 x 1 ，g ( x ) 1 x 1 ，若函数y f ( x ) g ( x)恰有两个 已知函数 f ( x ) ax x , 1, x 1 零点，则实数a 的取值范围为（） A. (0, )B. ( , 0) (0,1) C. ( , 1 ) (1, )D. ( , 0) (0, 2) 2 【解析】 即函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图像有两个不同交点，结合图像，分类讨论，当a0 ， f ( x ) 开口向下，过定点(0,1) ，两个函数图像恒有两个交点；当a 0 ，只有一个交点；当 a0 ，开口向上，对称轴 x 2 1 a 0 ，过定

8、点 (0,1) ，要满足有两个交点，ax 2 x1x ， 4 4 a 0 ，0 a 1 ，综上所述，a ( , 0) (0,1) ，故选 B. 16. 已知点E 是抛物线C : y 2 2 px ( p 0)的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点， 点 P 在抛物线C上，在EFP中，若sinEFPsin FEP ，则的最大值为（） 2 3 A. B. C. 2 D. 3 2 2 【解析】 根据题意，作出图像，sinEFPsinFEP ， 由正弦定理，即PEPF ，再由抛物线定义，PF PH ， 1 PF PE PH PE sin PEH ， 要取最大值，即PEH 取最小值， PE 与抛物线

9、相切时，可求的最大值 . 设x my 2 p ，联立y 2 2 px，得y 2 2 pmy p 2 0， 4 p 2 m 2 4 p 2 0 ，m1，即PEH 4 ， max 2 . 故选 C. 三. 宝山区 11. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在 ABC 中，a 、b、c 分别是角 A 、 B 、C的对边，已知b 22 ，A 45，求边c . 显然缺少条件，若他打算 补充a 的大小，并使得c 只有一解，那么a 的可能取值是（只需填写一个合适的答 案） 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 【解析】 由正弦定理， sin a Asi

10、n b B sin B a 2 ，c只有一解，即ysinB ，B 0, 3 4 ) 与 y a 2 仅有一解， a 2 1 (0, 2 2 ，即a2 22,) ，a 在此范围内即 可. 或数形结合，根据题意，如图所示，以 C 为圆心的圆与射线AB仅有一个交点，观察可得， a 2 22, ) . 12. 如果等差数列an 、bn 的公差都为d（d0），若满足对于任意nN * ，都有 b a kd ，其中k 为常数，k N * ，则称它们互为“ 同宗 ” 数列，已知等差数列a 中， n n n 首项a1 1，公差d 2，数列bn 为数列an 的“ 同宗 ” 数列，若 lim( 1 1 1 ) 1

11、，则 k a b a b a b 3 n 1 1 2 2 n n 【解析】 由题知an 2 n 1 ，又bn 为an 的 “ 同宗 ” 数列，所以 bn an 2k ， 则bn 2 k 2 n 1. 1 1 1 ( 1 1 ) (2 n 1)(2 n 1 2 k ) 2 k 2 n 1 2 k a n bn 2 n 1 1 1 1 1 (1 1 ) ( 1 1 )( 1 1 ) a b a b a b 2 k 2 k 1 2 k 3 2 n 1 2 k 2 n 1 3 1 1 2 2 n n lim( 1 1 1 ) 1 (1 1 1 ) 1 ， a b a b a b 2 k 2 k 1 n

12、 3 3 1 1 2 2 n n 设 c k21k (11 3 2 k 1 1 ) ， 则 c k c k 121k (11 3 2 k 1 1 ) 2 k 1 2 (11 3 2 k 1 1 2 k 1 1 ) ( 1 1 )(1 1 1 ) 1 1 2 k 2 3 2 k 1 2 k 2 2 k 1 2 k 2 1 1 2 ( 1 1 ) 2 k (2 k 2) 2 k 2 2 k 1 2 k (2 k 2) 2 k 1 3 1 2 ( 1 1 ) 0 ，即c 单调递减， c 1 ， 2 k (2 k 1) 2 k (2 k 2) 3 2 k 1 k 2 3 当且仅当k 2 时，lim(

13、1 1 1 ) 1 ，故 k 2 . a b a b a b n 3 1 1 2 2 n n 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 16. 设点M 、N均在双曲线C : x 2 y2 1上运动，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，则 4 3 | MF1 MF2 2 MN | 的最小值为（） A. 2 3 B. 4 C. 2 7 D. 以上都不对 【解析】 O 为F1、F2的中点， 则| MF 1 MF2 2 MN | | 2 MO 2 MN | 2 | NO | ， | NO | 2 ，| MF1 MF2 2 MN | 4 ，故选 B. 四. 松江区 10.

14、已知 A 、B 、C是单位圆上三个互不相同的点，若| AB | = | AC |，则 AB AC 的最小值 是 【解析】 法一：由题意，作OD AB ，OE AC ，设 AD x ， OAD ，cos x ，cos BAC cos 2 2 x 2 1 ， AB AC 2x ，AB AC 2 x 2 x cos 2 8 x 4 4x 2 8( x 2 1 4 ) 2 1 2 1 2 ，即AB AC的最小值为 1 2 . 法二：建系，设 A(0,1) ，B(cos ,sin ) ，C( cos ,sin ) ， AB(cos ,sin 1) ， AC ( cos ,sin 1) ， AB AC c

15、os 2 (sin 1) 2 2sin 2 2sin 2(sin 1 2 ) 2 1 2 1 2 ，即AB AC的最小值为 1 2 . 11. 已知向量e1，e2是平面内的一组基向量，O为 内的定点，对于内任意一点P ， 当OP xe 1 ye2时，则称有序实数对( x , y) 为点 P 的广义坐标，若点 A 、B 的广义坐标 分别为( x1 , y1 ) 、( x2 , y 2 ) ，对于下列命题： 线段 A 、 B 的中点的广义坐标为( x1 2 x 2 , y1 2 y2 ) ； A、B两点间的距离为( x1 x2 ) 2 ( y 1 y2 ) 2 ； 向量OA平行于向量OB 的充要条

16、件是x1y 2 x2 y1； 向量OA垂直于向量OB 的充要条件是x1x2 y1 y20 . 其中的真命题是（请写出所有真命题的序号） 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 【解析】 由题知OA x1 e1 y1 e2，OB x 2 e1 y 2 e2，设向量e1、e2的夹角为， 1 x1 x2 y1 y2 若线段 AB 的中点为C，则 OC (OA OB ) e1 e2， 2 2 2 则 C( x 1x2 , y 1 y 2 ) ，正确； 22 由 AB OB OA( x 2x1 ) e1( y 2 y1 )e2，两边平方得： | AB | ( x1x2

17、) 2 ( y1y 2 ) 2 2( x2x1 )( y 2y1 ) cos，若 2 ，则不成立； 若OAOB存在非零实数 k ，有 OA kOB，则x1e1y1e2k ( x2e1y 2 e2) ， 即( x1 kx 2 ) e1 ( y1 ky 2 ) e2 0 x1 kx2 ， x1 y 2 x2 y 1成立；， ky2 y 1 若OA OB OA OB0 ，OA OB( x1 e1y1 e2 )( x2 e1y 2 e2 ) x1 x2 y 2 y 2 2( x1 y 2 x2 y1 ) cos ，若 2 ，则不成立 . 真命题为 . 12. 已知函数 f ( x) 的定义域为R ，且

18、 f ( x ) f ( x ) 1 和 f (1 x ) f (1 x) 4 对任意的 x R 都成立，若当 x 0,1 时，f ( x)的值域为1, 2 ，则当 x 100,100 时，函数f ( x)的值域为 【解析】 由 f (1 x ) f (1 x)4 可得 f ( x )f (2 x)4 ，当 x0,1 时，f ( x)1, 2 ； 当 x 1, 0 时，则 x 0,1 ， f ( x ) 1 1 ,1 ； f ( x) 2 当 x 1, 2 时，则2 x 0,1 ， f ( x ) 4 2, 4 ； f (2 x) 当 x 2, 1 时，则 x 1, 2 ， f ( x) 1

19、1 , 1 ； f ( x) 4 2 当 x 2,3 时，则2 x 1,0 ， f ( x) 4 4,8 ；f (2 x) 当 x 3, 2 时，则 x 2,3 ， f ( x ) 1 1 , 1 ； f ( x) 4 8 当x n , n 1 时， f ( x) 2 n , 2 n 1 ； 当 x ( n 1), n 时，f ( x) 1 , 1 ； 2 n 1 2n 当 x 100,100 时， f ( x) 的值域为 21100 , 2 1 99 2 1 99 , 2198 1 2 ,1 1, 2 2 98 , 2 99 2 99 , 2 100 2 1 100 , 2 100 . 资料

20、整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 15. 将函数 f ( x ) 2sin(3 x 4 ) 的图像向下平移 1个单位，得到g ( x)的图像，若 x g ( x1 ) g ( x2 )9 ，其中 x1 , x20, 4 ，则 x 1 的最大值为（ ） 2 A. 9 B. 37 C. 3 D. 1 5 【解析】g( x ) 2sin(3 x ) 1 3,1 ，g ( x ) g ( x ) 9， g ( x )g ( x ) 3， 4 1 2 1 2 g( x ) 2sin(3 x 4 ) 1 3 x 2 k 3 12 5 ， 2 k 3 12 5 0, 4

21、，k 8 5 , 43 8 ， k Z ，k 0 时， xmin 5 ，k 5 时， xmax 15 ， x1xmax 9 ，故选 A. 124x2 xmin 16. 对于平面上点P 和曲线C，任取C上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则 称该值为点P 到曲线C的距离，记作d ( P , C)，若曲线C是边长为6的等边三角形， 则点集 D P | d ( P , C) 1 所表示的图形的面积为（） 36 3 36 D. 36 3 A. 36 B. 3 C. 3 【解析】 由题意可知，满足条件的区域为以正三角形边 上的点为圆心，1 为半径的圆扫过的区域，如图面积为 3 6 2 3 6 1

22、3 (6 2 36 3 ，3) 2 3 4 4 故选 D. 五. 杨浦区 11. 当0x a时，不等式 1 1 2 恒成立，则实数a 的最大值为 x 2 ( a x) 2 【解析】 1 1 2 2( 2 ) 2 8 ，当且仅当 x a x 时等号成立， x 2 ( a x ) 2 x ( a x ) x a x a2 x 1 2 ( a 1 x)2 的最小值为 a 8 2，题中不等式恒成立，即 a 8 2 2 ，a 2 ，即最大值为2. 12. 设d 为等差数列an 的公差，数列bn 的前n 项和Tn，满足Tn 2 1 n( 1) n bn（n N * ），且d a5 b2，若实数m Pk x

23、 | a k 2 x ak 3（k N * ，k 3），则称m 具有性质Pk， 若 Hn是数列Tn 的前n 项和，对任意的n N * ，H2 n 1都具有性质Pk，则所有满足条件的 k 的值为 【解析】 由关系式Tn 2 1 n ( 1) n bn（nN * ），可得b1 1 2 b1，b1b22 1 2 b2， 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) b b b 1 b ，b b b b 1 b ，b 1 ，b b b 1 ， 2 3 2 4 4 16 1 2 3 3 1 2 3 4 4 1 1 2 3 b 1 ，b 1 ，d a 1 ，可求得a n 1 .

24、 3 16 2 4 5 4 n 4 当n 2k ，k N * ，T2 k 2 1 2k b2 k T2 k T2 k 1，T2 k 1 2 1 2k ； 当n 2 k 1，k N * ，T 1 b T T ，T 0 ； 22 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 2 2 k 1 2 k 2 即n 为奇数时，Tn 1 ；n为偶数时，Tn 0. 2n 1 H2 n 1 1 4 16 1 4 1 n 1 3 (1 4 1 n ) ，而ak 2 H 2 n 1 ak 3（k N * ，k 3），即 k 4 6 1 3 (1 4 1 n ) k 4 1 ，整理得 3 4 1 n 1 1 3 k 14

25、3 3 4 1 n 1，3 k 14 3 ， k N * ， k 3或 4. 16. 已知函数f ( x ) m 2 x x 2 nx，记集合A x | f ( x ) 0, x R，集合 B x | f f ( x ) 0, xR ，若 AB ，且都不是空集，则m n 的取值范围是（） A. 0, 4)B. 1, 4)C. 3,5D. 0,7) 【解析】 设 x0 A ， f ( x0 )0 ， AB ， x0B ， f f ( x0 )0 ，即 f (0)0 ， m 0 ， f ( x ) x 2 nx . 当n 0 ，A B0，符合题意 . 当n 0 ，A 0,n， B x | f (

26、x ) 0, f ( x )n, x R ， A B ， f ( x ) n 无解，即 x 2 nx n 0 无解， n 2 4 n 0 0 n 4 ，m0，综上所述，m n 0, 4) ，故选A. 本题与 2018 虹口一模 12 题类似，可对比思考 （2018 虹口一模 12 ）设f ( x )x 2 2 a xb 2 x ，其中a , b N ，xR ，如果函数 y f ( x) 与函数 y f ( f ( x) 都有零点且它们的零点完全相同，则( a , b) 为 【解析】 设零点 x0， f ( x 0 ) 0 ， f ( f ( x0 ) 0 f (0) 0 ，b 0， f ( x

27、 ) x 2 2ax ，当 a 0 ，f ( x ) x 2 ，f ( f ( x ) x 4 ，有唯一零点 x 0 ，符合；当a 0 ，f ( x ) x ( x 2 a) ，有 两个零点 x1 0 和 x2 2a ，f ( f ( x ) f ( x ) f ( x ) 2 a 0 f ( x) 0 和 f ( x ) 2a ， f ( x ) 0 已满足有两个相同的零点 x1 0 和 x 2 2a ， 方程 f ( x ) 2a 无解， 即 x 2 2 ax 2 a 0 无解， 4 a 2 8 a 0 0 a 2 ，a 1； 综上，( a , b) 为(0,0) 或(1,0) . 六.

28、徐汇区 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) x 4 x 11. 已知 R ，函数 f ( x) 2 4 x 3 x ，若函数 f ( x) 恰有 2 个零点，则的取 x 值范围是 【解析】 y x 4 的零点为x 4， y x 2 4 x 3 的零点为x 1或x 3，若函数恰有两个零 点，结合图像可得， (1,3 (4, ) . 12. 已知圆M : x 2 ( y 1) 2 1 ，圆 N : x 2 ( y 1) 2 1 ，直线 l1、l2分别过圆心M 、 N ， 且l1与圆 M 相交于 A 、 B 两点，l2与圆N相交于C、 D 两点，点P 是椭圆 x

29、 2 y2 1 上 9 4 任意一点，则PA PB PC PD 的最小值为 【解析】 设P ( x , y) ，其中 x 2 y 2 1 ，M (0,1) ， N (0, 1) ， 94 PA PB( PMMA) ( PM MB) ( PM MA) ( PM MA) | PM | 2 1 ，同 理，PC PD | PN | 2 1 ， PA PB PC PD | PM | 2 | PN |2 2 x 2 ( y 1) 2 x 2 ( y 1) 2 2 2( x 2 y 2 ) ， 点P 在椭圆 x 2y2 1 上， 94 PO x 2 y 2 2 ，即2( x 2 y 2 ) 8 ，( PA

30、PB PC PD) min8. 15. 对于函数 y f ( x) ，如果其图像上的任意一点都在平面区域( x , y ) | ( y x )( y x) 0 内，则称函数 f ( x) 为“ 蝶型函数 ” ，已知函数： y sin x ； y x 2 1 ；下列结论正确 的是（） A. 、均不是 “ 蝶型函数 ” B. 、均是 “ 蝶型函数 ” C. 是“ 蝶型函数 ” ，不是 “ 蝶型函数 ” D. 不是 “ 蝶型函数 ” ，是“ 蝶型函数 ” 【解析】 平面区域( x , y ) | ( yx )( y x)0 为图中 红色阴影部分，| sin x | | x | 对xR 恒成立， 符合

31、 “ 蝶型函数 ” 的条件； 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) y x 2 1 为等轴双曲线 x 2 y2 1 的 y 0 的部分，由双曲线渐近线的几何意义可知， 也符合 “ 蝶型函数 ” 的条件 . 故选 B. 16. 已知数列an 是公差不为0 的等差数列，前n 项和为Sn，若对任意的n N * ，都有 S S ，则 a6 的值不可能为（ ） n 3 a5 A. 2 B. 5 C. 3 D. 4 3 2 3 a 0, d 0 a 0, d 0 1 1 a 【解析】 法一：S n S 3 a3 0 a1 2 d 0 3 1 2 ， a 4 0 a 3d

32、 0 d 1 a6 a1 5d 1 d 1 1 3 , 2 ，由于4 3 , 2 ，选 D. a a 4 d a 4 d a1 4 2 3 2 5 1 1 d 2 ，a5 1，a4 0 ，a31 ，符合题意； B 选项，同理， 法二： A 选项，不妨设 a6 设a6 5 ，a5 3 ，a41，a3 1 ，符合题意；C 选项，设 a6 3 ，a5 2 ，a41， a3 0 ， 符合题意； D 选项，设a6 4 ，a5 3 ，a42，a3 1，不符题意，故选D. 七. 长宁（嘉定）区 11. 已知数列an 的前n 项和为Sn，且a n an 1 2 1 n，若数列Sn 收敛于常数 A ，则首项 a

33、1取值的集合为 【解析】lim S ( a a ) ( a a ) 1 1 a1 a2 2 ， 2 1 q k 2 k 1 2 3 4 8 3 lim S 2 k 1 a ( a a ) ( a a )a 1 1 a a2 a3 a 1 ， 16 3 k 1 2 3 4 5 1 4 1 1 q 1 由题意，lim S A ， A a 12 a 1 ，即首项a 取值的集合为 1 . n n 1 3 3 1 3 1 3 12. 已知a1、a2、a3与b1、b2、b3是6个不同的实数，若关于 x 的方程 | x a1 | | x a2 | | x a3 | | x b1 | | x b2 | | x

34、 b3 | 的解集 A 是有限集， 则集合 A 中最多有个元素 【解析】 转化为 f ( x )| xa1 | | x a2 | xa3 | 和 g ( x ) | xb1 | | xb2 | | xb3 | 图像交点，由此类函 数的图像可知，如图最多可有 3 个交点，即集合A中最 多有 3 个元素 . 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数 y f ( x) 的定义域为D ， x1 , x2D ， 若当 f ( x 1 ) f ( x2 ) 0 时，都有 x1x20 ，则函数 yf

35、( x) 是 D 上的奇函数； 若当 f ( x 1 ) f ( x2 ) 时，都有 x1x2，则函数 y f ( x) 是 D 上的增函数 . 下列判断正确的是（） A. 和都是真命题B. 是真命题， 是假命题 C. 和都是假命题D. 是假命题， 是真命题 【解析】 对于命题 ，首先定义域关于原点对称没有说明，其次不能表示任意性，即存在 f ( x1 ) f ( x 2 ) 0 ，有 x1 x2 0 ，不符合奇函数的定义；对于命题 ，同样也不能表示任 意性，即存在 f ( x 1 ) f ( x2 ) ，有 x1 x2 ，也不符合单调增函数的定义. 故选 C. 八. 普陀区 11. 已知点

36、A( 2, 0) ，设B 、C是圆O : x 2 y2 1 上的两个不同的动点，且向量 OB tOA(1 t )OC （其中t 为实数），则 AB AC 【解析】 根据题意， A、B、C三点共线， 作OD BC ， BD CD ， AB AC AB AC ( AD BD )( AD CD) AD 2 BD 2 AD 2 ( OB 2 OD2 ) AD 2 OD 2 OB 2 OA 2 OB 2 4 1 3 ，即 AB AC 3 12. 记a 为常数，记函数f ( x) 1 2 loga a x x （a 0且a 1，0x a）的反函数为 f 1 ( x ) ，则f 1 ( 1 ) f 1 (

37、2 ) f 1 ( 3 )f 1 ( 2a ) 2 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1 【解析】 f ( a x) 1 log a x 1 log x ， f ( a x ) f ( x) 1， 2 a x 2 a a x f 1 ( x ) f 1 (1 x ) a ，（原函数关于点( a2 , 1 2) 对称，反函数关于点 ( 1 2 , a 2) 对称） 倒序相加可得 f 1 ( 1 ) f 1 ( 2 ) f 1 ( 3 )f 1 ( 2a ) a 2a a 2 2 a 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1 2 sin 2 x 0 x 1 16. 设f ( x)是定义在 R上

38、的周期为 4 的函数，且f ( x) 1 x 4 ，记 2log 2 x g ( x ) f ( x ) a ，若0 a 1 ，则函数 g ( x) 在区间 4,5 上零点的个数是（） 2 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 【解析】 数形结合，转化为 y f ( x) ( x 4,5) 与 y a (0 a 1 2) 的交点个数问题，画出图像， 观察可得，交点个数为 8 个，即g ( x)在区间 4,5 上有 8 个零点，故选D. 九. 青浦区 11. 已知函数f ( x) 2 2 ，当 x (0,1 时， f (

39、 x ) x 2 ，若在区间 1,1 内 f ( x 1) g ( x ) f ( x ) t ( x1) 有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 【解析】 当 x( 1,0 ，x1 (0,1 ， f (x 1)x1， f ( x ) x 2 1 2 ，作出 f ( x)图像如图所示，根据题意，即 y f ( x) 与 y t ( x 1) 有两个不同交点，t 即直线 y t ( x 1) 的斜率，数形结合，观察图像可得t (0, 1 2 . 12. 已知平面向量a 、b 、c 满足| a | 1，| b | | c | 2，且b c 0 ，则当01时， | a b (1 ) c | 的取值

40、范围是 【解析】 如图所示，OB b ，OC c ，OAa ，| a | 1， 点 A 在以 O 为圆心， 1 为半径的圆上. b (1 )c表示 OD （ (1 ) 1，0 1，D 在线段 BC 上）， | a b (1 ) c | | a ( b (1 ) c ) | | OA OD | | AD | ， 即求 AD 的取值范围 . OD 2, 2 ， 结合图像可得， ODminOA AD ODmaxOA ，即AD 21,3 ， | a b (1 ) c | 的取值范围为2 1,3 . 16. 记号 x 表示不超过实数 x 的最大整数，若 f ( x ) x 2 30 x ，则 30 f

41、(1) f (2) f (3)f (29) f (30) 的值为（） A. 899 B. 900 C. 901 D. 902 【解析】 令 g ( x) x 2 ，h( x )30x ，则 f ( x ) g ( x ) h ( x ) ， 30 f (1) f (2)f (30) g (1) g (2) g (30) h (1) h (2) h(30) ， 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 其中： g ( x) 对应函数值表示落在 g ( x) x2 图像下方的整点个数，如 g(10) 3（如图1）； 30 则 g (1) g (2) g(30) 表示

42、落在函数g ( x) x2 （0x30 ）图像上以及图像的下 30 方的整点个数（如图 2），同理， h (1) h (2) h(30)表示落在函数h ( x ) 30x （0 x 30 ）图像上以及图像的下方的整点个数（如图 3）， 这里，我们观察到 g ( x) x2 ，h ( x )30x 互为反函数， 两者函数关于 yx 对称， 30 那么函数h ( x )30x （0x30 ）下方的整点个数（如图3）可等价为落在 g ( x) x2 图 30 像上及左侧的整点个数（0y30 ），如图 4；结合图 2 及图 4， 则f (1) f (2)f (30) g (1) g (2) g (30

43、) h (1) h (2) h(30) ， 可等价为 y g ( x)（ 0x 30 ，0 y 30 ）图像下方及左方的整点个数（有两个相同的点 (30,30) ），即：落点0x30 ，0y30 内所有的整点个数再加上(30,30) 这个唯一重复 的点（如图 5），则 f (1)f (2) f (3)f (29) f (30)30 2 1 901. 故选 C. 十. 浦东新区 10. 已知函数 f ( x ) 2 x | x a | 1有三个不同的零点，则实数a 的取值范围 为【解析】 本题可分类讨论，亦可转化为 y | x a | 与y 2 1 x 的交点个数问题，结合函数图像可得，要有三个

44、不同的交点， 即y x a 与y 2 1 x 必须有两个交点，x a 2 1 x ， 即2 x 2 2 ax 1 0 ，4 a 2 8 0 ， a 0明显成立， a ( , 2 ) 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 本题与 2018 松江一模第 10 题类似，可类比思考. （2018 松江一模 10 ）已知函数f ( x )x | 2 x a | 1有三个零点，则实数a 的范围为 【解析】 分类讨论，设 g ( x ) x | 2 x a | ，可以看作 g ( x) 与 y 1 有三个交点， 当a 0 ，g ( x)图像如图所示，易知与 y 1 只有

45、1 个交点，不符； 当a 0 ，g ( x)图像如图所示，要与 y 1 有 3 个交点，需满足 f ( a 4) 1 ，即a 22 . 解法二：根据题意，可以看作 g ( x ) | 2 x a | 与h ( x) 1 x 有三个交点，结合图像可知，当x a 2 时，g ( x) 与h ( x)恒有一个交点，当 x a 2 时，g ( x)与h ( x) 有两个不同交点，即a 2x 1 x 在 x (0, ) 有两个解， 2 x 2 ax1 0 ，a 2 8 0 ，且a0 ，a 22 11. 已知数列an满足： nan21007( n1) an 12018(n1)an ( n N * ) ，a

46、11， a22 ， 若 lim a n 1 A ，则 A na n 【解析】由nan 2 1007( n 1) a n 1 2018( n 1)an两边同除nan 1得： a n 2 1007(1 1 ) 2018(1 1 ) a n lim a n 2 lim1007(1 1 ) 2018(1 1 ) an ， a n 1 n n a n 1 n a n 1 n n n a n 1 lim a n 1 A ， A 1007 2018 ，解得： A 1009 或 A 2 ，a 0 ，A 1009. na A n n x x 2 4 x 2 16 ，若对任意的 x1 2, ) ，都存在唯一的 1

47、2. 已知函数 f ( x ) 1 | x a| x 2 ( ) 2 x2 ( , 2) ，满足 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则实数a的取值范围为 【解析】 当 x 2 ， f ( x ) x 1 ， y 4x 16 在 x 2, )的值域为 4 x 2 16 4x 16 x x 资料整理sh-maths 公众号 :上海初高中数学 (sh-maths) 16, ) ，且单调递增， f ( x) 在 x 2, ) 的值域为(0, 1 ，且单调递减 . 16 数形结合，分析 f ( x ) ( 1 | x a| ( x 2) 与f ( x) x ( x 2) 的图像关系) 2 4 x 2 16 由题意，当a2 ，需满足( 1 2 ) 2a 16 1 ，即a2 ，a 2, 2) ； 当a2 ，需满足( 1 2 ) a2 16 1 ，即 a6 ，a2,6)；综上所述， a 2, 6). （图中函数图像为了视觉效果，已按比例更改，非真实情况，但不妨碍解题理解） 16. 已知点 A(1, 2) ，B(2,0) ， P 为曲线 y 3 3 4 x 2 上任意一点，则AP AB的取值范 围