《九章算术》与高考数学.pdf

《《九章算术》与高考数学.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《九章算术》与高考数学.pdf（52页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、 专题十四九章算术与高考数学 若把“ 原本” 比“ 算术 ” ，此中翘楚是九章这是对代表 东方数学最高成就的巨著九章算术的赞誉九章算术 是勤劳勇敢的中华民族的智慧结晶，是中华文化和中华文明 传承的经典之作，尊为古代数学群经之首九章算术所创 立的机械算法体系显示出比欧几里得几何学更高的水准并 将其扩展到其他领域，其算法体系至今仍推动着计算机的发 展与应用 专题十四九章算术与高考数学 为更好的传承这一举世无双的经典之魁宏扬中华传统文化 和中华文明，近年来在全国高考数学试题中，从九章算术 中选取与当今高中数学教学相映的题材背景，经命题专家精 细加工，再渗透现代数学思想和方法编制出精妙绝伦的当 今数学

2、高考试题体现出九章算术与现代高考的优美结 合体现了中华古代文明与现代文明的相映 专题十四九章算术与高考数学 九章算术与高考真题案例展示 1(2015 高考全国卷 ，5 分)九章算 术是我国古代内容极为丰富的数学名 著，书中有如下问题：“ 今有委米依垣 内角，下周八尺，高五尺问：积及为 米几何？ ” 其意思为： “ 在屋内墙角处 堆放米 (如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长 为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多 少？” 已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3， 估算出堆放的米约有 () 专题十四九章算术与高考数学 A14 斛B22 斛 C36

3、 斛D66 斛 此题源于九章算术卷第五商功之二五 ，将古代文化 “ 依垣” 和现代教育元素 “ 圆锥” 结合，对培养学生的爱国 情操和认识中华古典文化有着深刻的教育意义 专题十四九章算术与高考数学 2(2015 高考全国卷 ，5 分)下边程序框图的算法思路源于 我国古代数学名著九章算术中的“ 更相减损术 ” 执行该 程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a() A0 B2 C4 D14 专题十四九章算术与高考数学 此题源于九章算术卷第一方田之六：“ 又有九十一 分之四十九问约之得几何？”“可半者半之，不可半者， 副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也以等 数约之 ”

4、 ，后人称之为 “ 更相减损木 ” ，它是求最大公约数 的伟大创举 专题十四九章算术与高考数学 3(2015 高考湖北卷 )九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱 与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四个面都为直角三角形的四面体 称之为鳖臑，如图，在阳马 P-ABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCD，过棱 PC 的 中点 E，作 EF PB 交 PB 于点 F，连接 DE，DF，BD，BE. (1)证明： PB平面 DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑， 若是，写出其每个面的直角(只需写出结论 )；若不是，说明理 由 专题十四九章算术与高考数学 DC (2)若面 DEF 与面

5、 ABCD 所成二面角的大小为 3 ，求 BC 的 值 此题背景源于九章算术卷第五商功之一五今有阳 马，广五尺，袤七尺，高八尺问积几何；之一六 今有鳖臑， 下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺问积几何考 题将“ 阳马” ，“ 鳖臑 ” 相结合，以选修21P109例 4 为 源进行有机整合巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼 之即出让数学教育者与高考学子为之赞叹！ 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 九章算术

6、与现代高考典例展示 高考数学试题由九章算术中，典型的数学问题结合现代 数学教育命制而成然而九章算术中，精典的数学问题 十分丰富，现以九章算术中部分精典的问题与现代数学 相结合，编制如下几道高考数学试题模型 专题十四九章算术与高考数学 选择型 1九章算术是我国古代数学名著，在其中有道“ 竹九问 题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问 中间二节欲均容各多少？” 意思为：今有竹九节，下三节容 量和为 4 升，上四节容量之和为 3 升，且每一节容量变化均 匀(即每节容量成等差数列)问每节容量各为多少？在这个问 题中，中间一节的容量为( C ) 7 37 A. B. 2 33 67 10 C

7、. D. 66 11 专题十四九章算术与高考数学 解析 设从最下节往上的容量构成等差数列an， 公差为 d. a1 a 2 a 3 4 3a1 3d 4 则 a a a ，即， a 3 4a 26d3 9 8 7 6 1 解得 a 1 95 ，d 7 . 66 66 中间为第五节，即 a5a14d 95 4 ( 7 )67 .故选 C. 66 66 66 专题十四九章算术与高考数学 2.九章算术是我国古代著名数学经 典其中对勾股定理的论术比西方早一 千多年，其中有这样一个问题：“ 今有 圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺问径几何？” 其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不

8、知其大小，用锯 去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺问这块圆柱形木料 的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中， 截面图如图所示 (阴影部分为镶嵌在墙体内的部分) 专题十四九章算术与高考数学 已知弦 AB1 尺，弓形高 CD1 寸，估算该木材镶嵌在墙 中的体积约为 ( D ) (注： 1 丈10 尺100 寸， 3.14，sin 22.5 5 ) 13 A600 立方寸B610 立方寸 C620 立方寸D633 立方寸 解析 连接 OA、OB，OD，设 的半径为 R， 则(R1)25 2R2，R13. AD5 sinAOD AO 13. 专题十四九章算术与高考数学 AOD2

9、2.5 ， 即 AOB45 . S 弓形ACBS 扇形OACBSOAB 45 13 2 1 360 2 10 12 6.33 平方 寸 该木材镶嵌在墙中的体积为 VS 弓形ACB 100 633 立方寸选 D. 专题十四九章算术与高考数学 3我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求 一边的算法，其方法的前两步为： 1 1 11 第一步：构造数列 1， 2，3，4，,，n. 第二步：将数列 的各项乘以 n，得数列 (记为)a1，a2，a3，,， an. 则 a1a2a2a3,an1an等于( C ) An2 B(n1)2 Cn(n1) Dn(n1) 专题十四九章算术与高考数学 解析 a1a

10、2a2a3, an1an n n n n n n ,1 2 2 3 n 1 n n 2 1 1 , 1 1 2 2 3 （n1）n 1 1 1 1 1 n21 , 2 2 3 n 1 n n2 n1 n n(n1)选 C. 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 专题十四九章算术与高考数学 填空型 4中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商 鞅督造一种标准量器 商鞅铜方升，其三视图如图所示(单 位：寸 ) 1.6 若取 3，其体

11、积为 12.6(立方寸 )，则图中的 x 为_ 专题十四九章算术与高考数学 解析 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而 成由题意得： (5.4x) 3 1 ( 1 2) 2x12.6， 解得 x1.6. 专题十四九章算术与高考数学 5中国古代数学名著九章算术中的“ 引葭赴岸 ”是一 道名题，其内容为： “ 今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与齐问水深葭长各几何” 意为：今有边 长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部 分 为 1 尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇 的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面 图为 ABCD，芦苇根

12、部 O 为 AB 的中点，顶端为 P(注芦苇与 水面垂直 )在牵引顶端P 向水岸边中点D 的过程中，当芦苇 36 经过 DF 的中点 E 时，芦苇的顶端离水面的距离约为49 尺 尺(注：1 丈10 尺，601 24.5) 专题十四九章算术与高考数学 解析 设水深为x， 则 x252(x1)2， 解得： x12. 水深 12 尺，芦苇长 13 尺， 以 AB 所在的直线为 x 轴， 芦苇所在的直线为 y 轴，建立直角坐标系， 在牵引过程中， P 的轨迹是以 O 为圆心，半径为13 的圆， 其方程为 x2y 2169，(5 x 5，12 y 13)， 专题十四九章算术与高考数学 5 E 点的坐标为

13、 ( ，12)，2 24 OE 所在的直线方程为 yx，5 169576 1324 624 由联解得 y. 601 24.5 49 则此时芦苇的顶端到水面的距离为 62436 49 1249. 专题十四九章算术与高考数学 解答型 6九章算术是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体 如图，在堑堵 ABC-A1B1C1中，ACBC. 专题十四九章算术与高考数学 (1)求证：四棱锥B-A1ACC1为阳马，并判断四面体A1CBC1 是否为鳖臑，

14、若是写出各个面的直角(只写出结论 )； (2)若 A1AAB2，当阳马 B-A1ACC1体积最大时； 求堑堵 ABC-A1B1C1的体积； 求 C 到平面 A1BC1的距离； 求二面角 C-A1B- C1的余弦值 专题十四九章算术与高考数学 解 (1)证明：由堑堵 ABC-A1B1C1的性质知： 四边形 A1ACC1为矩形 A1A底面 ABC，BC? 平面 ABC， BCA1A，又 BC AC，A1AACA. A1A，AC? 平面 A1ACC1. BC平面 A1ACC1， 四棱锥 B-A1ACC1为阳马， 且四面体 A1CBC1为鳖臑，四个面的直角分别是A1CB， A1C1C，BCC1，A1C

15、1B. 专题十四九章算术与高考数学 (2)A1AAB2. 由(1)知阳马 B-A1ACC1的体积 1 V 3S 矩形 A1ACC1 BC 1 3 A1A AC BC 2 3AC BC 1 3(AC 2BC2) 1 3 AB 243. 当且仅当 ACBC2 时， 4 V max 3，此时 专题十四九章算术与高考数学 堑堵 ABC-A1B1C1的体积 1 V SABC AA1222 22. 由题意与题图知， V 三棱锥 B-A1ACV 三棱锥 B-A1C1C 12 2V 阳马 B-A1ACC1 3. 又 A1C12，BC1BC2C1C26， 设 C 到平面 A1BC1的距离为 d. 12 则 3S

16、A1BC1 d3. 专题十四九章算术与高考数学 1 1 2 即 26 d，3 2 3 4 2 d3. 3 26 法一： 设 C 在平面 A1BC1上的射影为 D(事实上 DBC1)在 A1B 上的射影为 E. 连接 DE，易知 A1BED. CED 即为二面角 C-A1B- C1的平面角 2 由知 CDd 3 3. 专题十四九章算术与高考数学 由直角三角形 A1BC 得 CEA1C BC A1B A1A2AC2 BC 6 2 6 ，2 2 2 2 2 A1A AB DECE 2CD2 6 4 4 3 16 66 . 专题十四九章算术与高考数学 6 DE61 cos CED CE 63. 2 1

17、 即二面角 C-A1B-C1的余弦值为 3. 法二：以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz. 则 A1(0，2，2)，B( 2，0，0)，C1(0，0，2) (0， CA 1 2，2)，CB( 2，0，0)， C1A1(0， 2，0)， C1B( 2，0， 2)， 专题十四九章算术与高考数学 设平面 CA1B 的法向量为 n1(x1，y1，z1)平面 C1A1B 的 法向量为 n2(x2，y2，z2)， 0， n1 CA1 n2 C1A10 则. n1 CB0，n2 C1B0 2y12z10 2y20 . 2x10. 2x22z20 取 x10，y12，z1 1；x22，y2

18、0，z21. 专题十四九章算术与高考数学 则 n1(0，2，1)，n2( 2，0，1) n1 n21 cos n1，n2 |n1| |n2| 3 3 1 3. 1 结合图形知二面角 C-A1B-C1的余弦值为 3. 专题十四九章算术与高考数学 7.九章算术中的邪田意为直角梯形， 上、下底称为畔，高称为正广，非高腰 边称为邪 (如图)已知在邪田 ABCD 中，以 正广为直径的半圆与邪相切于 E，EFBC，垂足为 F，AC 与 EF 相交于 M. (1)求证 MEMF ； 11 (2)若 EF1，求 ABDC 的值 专题十四九章算术与高考数学 解 (1)证明： 邪田 ABCD 的邪与以 BC 为直径的圆相切， AB，DC 都与半圆相切， ABAE，DCDE. 又 EFBC，ABDCEF. ME AE MF CM DE CD AD ， AB CA DA AEAB ME AD CDADDE， 专题十四九章算术与高考数学 DE MF AD AB. MEMF . ABDC (2)由(1)知 EF2ME2AD ， 2AB DCADAEDEABDC. ABDC 2，即 1 1 2. AB DC AB DC 专题十四九章算术与高考数学