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1、1 第一类与三角形的边相关的范围问题 1在中，角的对边分别是，. (1) 求 的值； (2) 若，求的最大值 . 【解析】 （2）由（1）知 于是， 解得， 当且仅时，取等号 . 所以的最大值为 6. 2设函数 2 4 cos 22cos 3 fxxx. (1) 求fx的对称轴方程； (2) 已知 ABC中，角,A B C的对边分别是, ,a b c，若 1 22 A f， 2bc，求a的最 小值. 【解析】 2 解：(1) 2 4 cos 22coscos 21 33 fxxxx， 由2 3 xk得fx的对称轴方程为 26 k xkZ. (2) 由 1 cos 21 2232 AA f，可得
2、 1 cos 32 A. 由0,A，可得 3 A. 在 ABC中，由余弦定理，得 2 222 2cos3 3 abcbcbcbc， 由 2bc知 2 1 2 bc bc，当 1bc时bc取最大值，此时 a取最小值 1 3.在ABC中 ， 角,A B C所 对的 边 分 别 是, ,a b c， 已 知 函 数 22 2 3sin cossincosfxxxxx，当xA时，fx取得最大值 . (1) 求角A的大小； (2) 若 2a，求BC边的中线AD长度的最大值 . 【解析】 解：(1) 3sin2cos22sin 2 6 fxxxx， 若xA时fx取得最大值，因为0,A，所以 11 2, 6
3、66 A， 则2 62 A，即 3 A. 4在 ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c，且2 cos2cBab. 3 （1）求角C； （2）若ABC的面积为 3 2 Sc，求ab的最小值 . 【解析】 解：(1) .2sincos2sinsin, sinsinsin abc CBAB ABC 由已知可得， 2sin cos2sin)sin .2sin cossin0,CBBCBBCB则有（ sin0.BB为三角形的内角 1 cos. 2 C 2 ,. 3 CC又为三角形的内角 （2） 131 sin,. 222 SabCccab 22222 2cos,cababCabab又 22
4、 22 3. 4 a b ababab 12.ab 故ab的最小值为 12. 5. 设函数 22 cos 22cos 3 fxxx . （1）求fx的最大值，并写出使fx取最大值时x的集合； （2）已知 ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c，若 3 2 fA，2bc，求a的 最小值 . 【解析】 4 （2）由题意得 3 cos 21 32 fAA， 1 cos 2 32 A， 0,A 7 2, 333 A， 5 2 33 A， 2 3 A 在 ABC中，2bc， 1 cos 2 A， 由余弦定理得 2 22222 2cosabcbcAbcbcbcbc 又 2 1 2 bc bc
5、， 2 2 413abcbc，当且仅当1bc时取等号， a的最小值为3. 点睛：和余弦定理有关的最值问题，常与三角形的面积结合在一起考查，解题时 要注意对所得式子进行适当的变形，如 2 22 2ababab，以构造出ab和ab的 形式，为运用基本不等式创造条件另外，在应用基本不等式的过程中，要注意 等号成立的条件 6. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是原点， 始边与x轴的正半轴重合， 终边 5 交单位圆于点 D，且0,，点E的坐标为 1,3. （1）若OEOD，求点 D的坐标； （2）若(0)OEtOD t，且在 ABC中，角A，B，C的对边分别为 a， b， c， 2 =B，3b，求a
6、c的最大值 . 【解析】 （2）由(0)OEtOD t知，向量OE，OD同向平行， 易知直线 OE的倾斜角为 2 3 ，所以 2 =2 3 B，即 3 B. 由正弦定理得2 sinsinsin abc ABC 2sinaA2sincC =2sinsin 3 acAA 33 sincos2 3sin 226 AAA 0,A当 = 3 A时， max 2 3ac. 7. 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知coscos cos3sin cosCABAB （）求 cosB的值； （）若1ac，求b的取值范围 6 【解析】 （）由余弦定理，有 222 2 cosbacaB 因为
7、1 1 cos 2 acB，有 2 2 11 3 24 ba 又01a，于是有 2 1 1 4 b，即有 1 1 2 b 8.中，内角的对边分别是，且. （1）求角 ； （2）若，求的最大值 . 【解析】 解： （1）由正弦定理得 ， 化简得： （2）由余弦定理得 ( 等号当且仅当时成立） 的最大值为 4. 9. 在 ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，满足：ABC的外心在三角形内 部（不包括边）； 7 222 sin3cosbacBCacAC. （1）求A的大小； （2）求代数式 bc a 的取值范围 . 【解析】 （2）由正弦定理得： sinsin sin bcBC a
8、A , 因为ABC，且 3 A， 所以 2 3 CB代入上式化简得： 2 33 sinsin3sin sincos 36 22 2sin sinsinsin6 BBB BB bc B aAAA ， 又ABC为锐角三角形，则有 00 22 262 00 322 BB B BC , 所以 2 363 B，则有 3 sin1 26 B，即 32 bc a . 10. 在中，内角 、 、 的对边分别为、 、 ，且 （）求角的大小； （）若点满足，且，求的取值范围 8 【解析】 （）在中，根据余弦定理得 即 又 又 , 11. 在 ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c，且 2sin tantan cos C AB A . （1）求角B的大小； （2）若 4ac，求b的取值范围 . 【解析】 解： （1） 2sin tantan cos C AB A sinsin2sin coscoscos ABC ABA sin cos +sin cos2sin cos coscos ABBAC ABA sin sin2sin cos coscos coscos AB CC ABABA 1 cos 2 B 0,B= 3 B