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1、中考中的一次函数应用题求解策略 1 试题概述 一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、 二元一次方程组等内容， 能实现数与形有机地结合， 能体现分类讨论、 对应、极端值等数学思想与方法， 并且容易与现实生活中的重大事件 联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此 外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合 的压轴题形式出现， 而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因 此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。 一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：学生对数 形结合的认识和理解； 将实际问题转化为一次函数的能力，即数学 建模
2、能力；分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法 的考查。对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。 一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大 致归为以下几类：方案设计问题（物资调运、方案比较）；分段 函数问题（分段价格、几何动点）；由形求式（单个函数图象、多 个函数图象）。一次函数多种变量及其最值问题。 2 试题例析 2. 1 方案设计问题 物资调运 例 1.（2008 年重庆第 27 题）为支持四川抗震救灾， 重庆市 A、B、 C 三地现在分别有赈灾物资100 吨，、100 吨、80 吨，需要全部运往 四川重灾地区的 D、E 两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往
3、D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨。 （1）求这批赈灾物资运往D、E 两县的数量各是多少？ （2）若要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为60 吨，A 地运往 D 的赈 灾物资为 x 吨（x 为整数），B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于A 地 运往 D 县的赈灾物资数量的2 倍。其余的赈灾物资全部运往E 县， 且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过25 吨。则 A、B 两地的赈灾 物资运往 D、E 两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案； （3）已知 A、B、C 三地的赈灾物资运往D、E 两县的费用如下表： A 地B 地C 地 运往 D 县的费用（元 /吨）220 2
4、00 200 运往 E 县的费用（元 /吨）250 220 210 为即使将这批赈灾物资运往D、E 两县，某公司主动承担运送这批赈 灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物 资的总费用最多是多少？ 解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并 结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。 直接用一元一次方程求解。 运往 D 县的数量比运往E 县的数量 的 2 倍少 20 吨，设运往 E 县 m 吨，则运往 D 县（2m-20）吨，则 m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程组 求解） 由中结论，并结合题设条件，由A 地运往
5、 D 的赈灾物资为 x 吨，可将相应数量关系列表如下： A 地（100 吨）B（100 吨）C（80 吨） D 县 （180 吨） x（220 元/吨）180-60-x =120-x （200 元/吨） 60 （200元/吨） E 县（100 吨） 100-x （250/吨元） 100-20-（100-x） =x-20（220 元/吨） 20 （210元/吨） 表格说明： A、B、C、D、E 各地后括号中的数字为调运量或需求 量； 表格中含 x 的式子或数字，表示对应地点调运数量； 表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。 确定调运方案，需看问题中的限制条件：B 地运往 D 县的赈灾 物资
6、数量小于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的2 倍。B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过25吨。故： 解得40x45 x 为整数 x 的取值为 41，42，43，44，45 则这批救灾物资的运送方案 有五种。 方案一： A 县救灾物资运往 D 县 41 吨，运往 E 县 59 吨； B 县救灾物资运往D 县 79 吨，运往 E 县 21 吨。（其余方 案略） 设运送这批赈灾物资的总费用为y，由中表格可知： y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+20060+210 20 =-10x+60800 y 随 x 增大而减小，且 40x45，x 为整数， 当 x
7、=41 时，y 有最大值。 该 公 司 承 担 运 送 这 批 赈 灾 物 资 的 总 费 用 最 多 是 ： y=-10 41+60800=60390 （元） 求解物资调运问题的一般策略： 用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量； 根据表格中量的关系写函数式； 依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式 组确定）； 根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题 设要求确定调运方案。 物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种 类型。 方案比较 例 2.（2008 年盐城）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为 x（张），总费用为y（元）。现有两种购买方
8、案： 方案一：若单位赞助广告费10000 元，则该单位所购买门票的价 格为每张 60 元；（总费用 =广告赞助费 +门票费） 方案二：购买方式如图2 所示。 解答下列问题： 方案一中，y与x的函数关系式 为；方案二中，当 0x100 时，y 与 x 的函数关系式为，当 x100 时，y 与 x 的函数关系式为。 如果购买本场足球赛门票超过100 张，你将选择哪一种方案， 使总费用最省？请说明理由。 甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700张， 花去总费用计 58000元， 求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联 系紧密。
9、比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区 间。 中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y1=60x+10000 （x 0）；方案二的函数关系由图象给出，用待定系数法求解。当0x 100时，图象为过原点的线段， 函数式为正比例函数， 可求得 y2=100x （0x100）；当 x100时，图象为不过原点的射线，函数式为一 次函数，过（ 100，10000），（ 150，14000），可求得y2=80x+2000 （x100）。 购买门票超过 100张，比较那种方案最省，了先使y1=y2，求出 此时 x 的值。然后利用不等式确定方案。 当 y1=y2时，60x+10000=80x+20
10、00 ，解得 x=400，即购买 400 张门 票，两种方案费用相同。 当 y1y2时，解得 x400，则当 100x400 时，选择方案二， 总费用最省； 当 y1y2时，解得 x400，则当 x400时，选择方案一，总费用 最省。 分两种情况讨论：（用方程求解） 甲单位按方案购买的门票少于100 张时，设甲买m （m 100） 张，则乙买 700-m张。 100m+60 （700-m）+10000=58000 解得 m=150 （不合题意， 舍去） 甲单位按方案购买的门票少于100 张时，设甲买m （m 100） 张，则乙买 700-m张 80m+2000+60 （700-m ）+1000
11、0=58000 解得 m=200 ，700-m=500 求解方案比较问题的一般策略： 在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需 设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定 系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。 方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比 较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、 不等式 问题。 方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。 方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。 2.2 分段函数问题 分段价格 例 3. （2008 年襄樊第 23 题）我国是世界上严重缺水的国家之 一
12、为了增强居民节水意识， 某市自来水公司对居民用水采用以户为 单位分段计费办法收费 即一月用水 10 吨以内（包括 10 吨）的用户， 每吨收水费元；一月用水超过 10 吨的用户，10 吨水仍按每吨元收 费，超过 10 吨的部分，按每吨元（ba）收费设一户居民月用水 吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13 所示 （1）求的值；某户居民上月用水8 吨，应收水费多少元？ （2）求的值，并写出当 x10 时，与之间的函数关系式； （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4 吨，两家共收水费46 元， 求他们上月分别用水多少吨？ 解析：（ 1）当时，有将，代入，得 用 8 吨水应收水费（元） （2）当 x10 时，有 将，代入， 得故当 x10 时，