高一数学重要知识点总结之集合与函数概念.pdf

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1、1 / 17 高一数学重要知识点总结之集合与函数概念 集合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散 的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的。3、 口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集 合论。康托 ，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素( 或简称为元 。 元素与集合的关系 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集

2、，含有无限个元素叫无限集， 空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子 集。子集，真子集都具有传递性。说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是 B的 子集，写作A？B。若 A是 B的子集，且A不等于 B，则 A称作是 B的真子集，一般写作A？B。中学教材课本里 将？符号下加了一个符号例如： A=a，b， c ，B=b，d ，则 A？B=a，c，d 对称差运算的另一种定义是：A？B=无限集：定义： 集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n=1，2，3， n ，如果存在 一个正整数n，使得集

3、合A与 N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合 称为 A与 B的差 C=A (BC(ABC=A (BC 集合分配律 A(BC=(A B(ACA (BC=(A B(AC 集合德. 摩根律集合 Cu(AB=CuA CuBCu(A B=CuA CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问 题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A 。例如 A=a，b，c ，则 card(A=3card(A B=card(A+card(B- card(A Bcard(ABC=card(A+card(B+card(C- card(A B- card(B C-

4、 card(CA+card(ABC1885 年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律 A(AB=AA (AB=A 集合求补律ACuA=UA CuA= 设 A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集 德摩根律A-(BUC=(A -CA-(BC=U(A-C=BC =BUC=EE= 特殊集合的表 示复数集C实数集 R正实数集R+ 负实数集R-整数集 Z 正整数集Z+负整数集 Z-有理数集Q正有理数集Q+ 负有理数 集 Q-不含 0 的有理数集Q* 高一数学重要知识点总结之一次函数 一、定义与定义式： 自变量 x 和因变量y 有如下关系： y=k

5、x+b 则此时称y 是 x 的一次函数。 特别地，当b=0 时， y 是 x 的正比例函数。 即： y=kx，与 x 轴总是交于 /(x1-x2 2. 求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3. 求与 y 轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4. 求任意线段的长： (x1-x22+(y1-y22 与 的平方和）b5E2RGbCAP 高一数学重要知识点总结之二次函数 I. 定义与定义表达式 一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c 6 / 17 0 时，开口方向向上，a2+k抛物线的顶点P(x-x ？ 仅限于与 x 轴有交点A/4ax？， x？=(- b

6、b 2-4ac/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x=-b/2a 。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。 特别地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴 /4a 当-b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 =b2-4ac=0 时， P在 x 轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口。 |a| 越大，则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称

7、轴的位置。 当 a 与 b 同号时 2 ，y=a(x-h2+k ，y=ax2+bx+c( 各式中， a0的图象形状相同，只是位置 不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解读式 顶点坐标 对称轴 y=ax2 (0 ，0 x=0 y=a(x-h2 (h ，0 x=h y=a(x-h2+k (h ，k x=h y=ax2+bx+c (-b/2a ，4ac-b2/4a 9 / 17 x=-b/2a 当 h0 时， y=a(x-h2的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动h 个单位得到， 当 h0，k0 时，将抛物线y=ax2 向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h2+k

8、 的图象； 当 h0，k2+k的图 象； 当 h0 时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h2+k的图象； 当 h2+k的图象； 因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a0的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h2+k的形式，可确定其顶 点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 2抛物线y=ax2+bx+c(a0的图象：当a0 时，开口向上，当a 3抛物线y=ax2+bx+c(a0，若a0，当 x-b/2a时， y 随 x 的增大而减小；当x-b/2a 时， y 随 x 的增 大而增大若a图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0

9、，c； (2当=b2 -4ac0 ，图象与x 轴交于两点A(x ？， 0和 B(x ？， 0，其中的x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0的两根这两点间的距离AB=|x？-x ？| 当=0图象与x 轴只有一个交点； 10 / 17 当0 时，图象落在x 轴的上方， x 为任何实数时，都有y0；当 a0(a，则当 x=-b/2a时， y 最小 ( 大值=(4ac-b2/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解读式 (1当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y 的三对对应值时，可设解读式为一般形式： y=ax2+b

10、x+c(a0 (2当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解读式为顶点式：y=a(x- h2+k(a0 (3当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时，可设解读式为两根式：y=a(x-x ？(x-x ？(a0 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综 合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现p1EanqFDPw 高一数学重要知识点总结之反比例函数 反比例函数 形如 ykx(k 为常数且k0的函数，叫做反比例函数。 自变量 x 的取值范围是不等于0 的一切实数。 反比例函数图像性质： 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于

11、奇函数，有f(-x=-f(x，图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解读式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两 个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为k。 11 / 17 如图，上面给出了k 分别为正和负，就相当于将双曲线图象 向左或右平移一个单位。 13 / 17 = f(x ，那么函数f(x 就叫做奇函数。 =f(x，那么函数f(x 就叫做偶函数。 =-f(x与 f(-x=f(x同时成立，那么函数f(x 既是奇函数又 是偶函数，称为既奇又偶函数。 =-f(x与 f(-x=f(x都不能成立，那么函数f(x 既不是奇函 数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明

12、：奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇 比较得出结论） 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2奇偶函数图像的特征： 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y 轴或轴对称图形。 f(x 为奇函数f(x 的图像关于原点对称 点. 两个偶函数相加所得的和为偶函数. 14 / 17 (2. 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5. 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6.

13、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 5PCzVD7HxA 高一数学重要知识点总结之函数的定义域 定义域 和它对应，那么就称f ：A-B 为集合 A到集合 B的一个函数，记作 y=f(x ，x 属于集合A。其中， x 叫作自变量，x 的取值范围A叫作函数的定义域； 值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集 合 常用的求值域的方法 的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当 a 为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a 为任意实数，则函数的定义域为大于0的所 有实数

14、；如果a 为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根 据 q 的奇偶性来确定，即如果同时 q 为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0 的所有实数；如果同时q 为奇数，则函数的定义域为不等 于 0 的所有实数。当x 为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x 大于 0 时，函数的值域总是大于0 的实数。在x 小于 0 时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a 为正数， 0 才进入函数的值域 性质： 对于 a 的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q ，q 和 p 都是整数，则x(p/q=q次根号 (x

15、的 p 次方 ，如果 q 是奇数，函数的定义 域是 R，如果 q 是偶数，函数的定义域是0 ，+。当指数n 是负整数时，设a=-k ，则 x=1/(xk ，显然 x0， 函数的定义域是(- ，0(0，+. 因此可以看到x 所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是 0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0 与负数两种可能，即对于x0，则 a 可以是任意实数； 排除了为0 这种可能，即对于x0 的所有实数， q 不能是偶数； 16 / 17 排除了为负数这种可能，即对于x 为大于且等于0 的所有实数， a 就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同

16、的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果 a 为任意实数，则函数的定义域为大于0 的所有实数； 如果 a 为负数，则x 肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q 的奇偶性来确定，即如果同时q 为偶 数，则 x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q 为奇数，则函数的定义域为不等于0 的 所有实数。 在 x 大于 0 时，函数的值域总是大于0 的实数。 在 x 小于 0 时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有 a 为正数， 0 才进入函数的值域。 由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1所有的图形都通过(1，1这点。 (2当 a 大于 0 时，幂函数为单调递增的，而a 小于 0 时，幂函数为单调递减函数。 (3当 a 大于 1 时，幂函数图形下凹；当a 小于 1 大于 0 时，幂函数图形上凸。 (4当 a 小于 0 时， a 越小，图形倾斜程度越大。 (5a 大于 0，函数过 (0 ，0； a 小于 0，函数不过 (0 ，0点。 (6显然幂函数无界。xHAQX74J0X 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。 17 / 17