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1、第 6 节圆的切线与弦长问题 【基础知识】 1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； 2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即dr； 3.代数法：0，方程组有两组不同的解. 【规律技巧】 1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在Rt AOB中，利用勾股定理，得半径 弦长及弦心距之间的关系式. BA O 2.弦长的计算： 方法一、 设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d，则弦长 22 2lRd. 方法二、设直线的斜率为 k，直线与圆的交点坐标为 1122 (,),(,)P x yQ xy，则弦长 2 12122 1 11PQxxkyy k . 【典例讲解】 【例 1】 已知点M(3， 1
2、)，直线axy 40 及圆 (x1) 2(y2)24. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线axy40 与圆相切，求a的值； (3)若直线axy40 与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为 23，求a的值 【变式探究】(1)过点 (3 ，1)作圆 (x2) 2(y 2) 2 4 的弦，其中最短弦的长为 _ (2)过原点O作圆x2y26x8y200 的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段 PQ的长为 _ 答案(1)22 (2)4 【针对训练】 1、圆 22 4460xyxy截直线50xy所得弦长为（) A、6B、 52 2 C、1 D、 5 【答案】 A 2、直线经过点(5,5)P，且与圆
3、 22 :25Cxy相交，截得弦长为4 5，求的方程 【答案】250xy或250xy 【解析】 3、已知圆 C：4)2()( 22 yax（0a） ，有直线：03yx，当直线被圆C 截得弦长为32时，a等于（） A.12B.2-2C.2D.12 【答案】 A 【解析】由题意得：圆心到直线的距离 2 431d.又由点到直线的距离公式得 23 121 2 a a.又因为0a，所以21a选 A. 4、已知 2 ( , ) |9,0Mx yyxy，( , ) |Nx yyxb，若MN， 则b的取值范围是 【答案】33 2b 【综合点评】 1.确定直线方程， 往往依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到
4、直线的距离求直线的斜 率； 2.利用圆心到直线的距离可列方程求解； 3.利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，是解答此类问题的常用方法 4.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果. 【练习巩固】 1圆x2y24x 0 在点P(1，3)处的切线方程为( ) Ax3y20 Bx3y40 Cx3y40 Dx3y20 2圆 (x3) 2(y3)29 上到直线 3x4y110 的距离等于1 的点有 ( ) A 1 个B 2 个C3 个D4 个 3直线y2x1 被圆x2y 21 截得的弦长为 _ 4已知直线l：ykx1，圆C：(x1) 2(y1)2 12. (1)试证明：不论k为
5、何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长 5如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x 4.设圆C的半径为 1，圆心在l上 (1) 若圆心C也在直线yx1 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使 |MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围 解(1)由题设， 圆心C是直线y2x4 和yx1 的交点，解得点C(3，2)，于是切 线的斜率必存在 设过A(0，3)的圆C的切线方程为ykx3， 由题意，得 |3k1| k21 1，解得k0 或 3 4 ， 6已知圆O：x2y2 4 和点M(1，a) (1)若过点M有且只有
6、一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程 (2)若a2，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|BD|的最大值 7、直线l1和l2是圆x2y22 的两条切线若l1与l2的交点为 (1，3)，则l1与l2的夹 角的正切值等于_ 8、在平面直角坐标系xOy中，以点)0, 1(为圆心且与直线)(012Rmmymx相切 的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 9、平行于直线012yx且与圆5 22 yx相切的直线的方程是（） A052yx或052yxB.052yx或 052yx C.052yx或052yxD. 052yx或052yx 10 、一条光线从点2, 3射出，经y轴反射后与圆
7、22 321xy相切，则反射 光线所在直线的斜率为（） （A） 5 3 或 3 5 （B） 3 2 或 2 3 （ C） 5 4 或 4 5 （D） 4 3 或 3 4 11 、已知直线l：x+ay-1=0 （aR）是圆C： 22 4210xyxy的对称轴 .过点 A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则 |AB|= （） A、 2 B、4 2C、6 D、2 10 12 、若圆心在x 轴上、 半径为5的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线x2y 0 相切，则圆O 的方程是 ( ) A(x5) 2y2 5 B(x5)2y 25 C(x5) 2y25 D(x5) 2 y 25 【答案】 D 13 、 已知直线l：x+ay-1=0（aR） 是圆C： 22 4210xyxy的对称轴 .过点A （-4 ， a）作圆C的一条切线，切点为B，则 |AB|= （） A、2 B、4 2C、6 D、2 10 【答案】C 【解析】圆 C标准方程为 22 (2)(1)4xy，圆心为(2,1)C，半径为2r，因此 21 10a，1a，即( 4, 1)A， 2 222 ( 42)( 1 1)46ABACr.选C.