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1、1 / 9 空间几何体的表面积与体积 【2018年高考会这样考】 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视 图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大 b5E2RGbCAP 【复习指导】 本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公 式解决一些简单的问题 基础梳理 1柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积体积 圆柱S侧2 rh VSh r2h 圆锥S侧 rl V错误 !Sh错误 ! r 2h 错误 ! r2错误 ! 圆台S侧(r1r2l V错误 !(S上S下 错误 !h错误 ! (r错误 !r 错误 !r1r2h 直棱柱S侧Ch VSh 正棱锥
2、S侧错误 !ChV错误 !Sh 正棱台 S侧错误 ! (CCh V错误 !(S上S下错误 !h 球S球面4 R2V错误 ! R3 2.几何体的表面积 (1棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和 (2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积 等于侧面积与底面面积之和 两种方法 (1解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接解题时要认真 分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适 2 / 9 的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等 于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线 长等
3、于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多 面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点 ”、“接点 ”作出截面 图p1EanqFDPw (2等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几 何体的面积 (或体积 通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图 形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了 具体通过作图得到三 角形 (或 三棱 锥 的高 ，而通过直接计算得到高的数 值DXDiTa9E3d 双基自测 1(人教A版教材习题改 编 圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积 是(RTCrpUDG
4、iT A4 SB2 S C SD.错误 ! S 解读设圆柱底面圆的半径为r，高为 h，则 r错误 !， 又 h2 r2错误 !，S圆柱侧(2错误 !24 S. 答案A 2(2018 东北三校联 考设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为 (5PCzVD7HxA A3 a 2B6 a2C12 a2 D24 a2 解读由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为 错误 !错误 !a.又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，2R错误 !a. S球4 R26 a2.jLBHrnAILg 答案B 3 / 9 3(2018 北 京某四面体
5、的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 ( A8 B6错误 ! C10 D8错误 ! 解读由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6错误 !， 8,10，所以面积最大的是10，故选择 C.xHAQX74J0X 答案C 4(2018 湖南设 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( A.错误 ! 12B.错误 ! 18 C9 42D36 18 解读该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方 体的底面是边长为3 的正方形，高为2，故所求体积为232错误 !错误 ! 3 错误 ! 18.LDAYtRyKfE 答案B 5若一个球的体积为 4错误 !
6、 ，则它的表面积为 _ 解读V错误 !R34错误 ! ，R错误 !，S4 R24312. Zzz6ZB2Ltk 答案12 4 / 9 考向一几何体的表面积 【例1】?(2018安 徽一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( A48 B328错误 ! C488错误 !D80 审题视点 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面 积 解读换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4 的直棱 柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为 4，故腰长为错误 !，所以该几何体的表 面积为 488错误 !.dvzfvkwMI1 答案C 以三视图为载体考查几何体的表面积
7、，关键是能够对给出的三视图进 行恰当的分析，从三 视图中 发 现几何 体中各元素间的位 置关系及数量关 系rqyn14ZNXI 【训练 1】若一 个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( A.错误 !B2 C2错误 !D6 解读由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2 的正三角形、侧棱为1 的直 三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2136.EmxvxOtOco 答案D 考向二几何体的体积 5 / 9 【例2】?(2018广 东 如图，某几何体的正视图 (主视图是平行四边形，侧视图 (左视图 和俯视图 都是矩形，则该几何体的体积为(SixE2yXPq5 A18错误 !B12错误 !C9
8、错误 ! D6错误 !6ewMyirQFL 审题视点 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公 式求解 解读该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是 边长为 3的正方形，高为错误 !，故 V33错误 !9错误 !.kavU42VRUs 答案C 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原 几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关 系，然后在直观图中求解y6v3ALoS89 【训练 2】(2018东莞模 拟某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ( A.错误 !B.错误 ! C.错误 ! 8 D12 解读
9、由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为 2 的圆柱和半径为1 的球的组合体，则该几何体的体积为 2 22 错误 ! 错误 !.M2ub6vSTnP 答案A 6 / 9 考向三几何体的展开与折叠 【例3】?(2018 广州模拟 如图1，在直角梯形 ABCD中， ADC90 ，CD AB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面 ADC 平面ABC，得到几何体 DABC，如图 2所示0YujCfmUCw (1求证： BC平面 ACD； (2求几何体 DABC的体积 审题视点 (1利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直于平面 ACD 内的两条相 交线即可； (2利用体积公式及等体积法证明eU
10、ts8ZQVRd (1证明在图中，可得 ACBC2错误 !， 从而AC2BC2AB2，故ACBC， 取AC的中点 O，连接 DO， 则DO AC，又平面 ADC 平面ABC，平面ADC平面 ABCAC，DO ? 平面ADC，从而 DO平面 ABC，DOBC，sQsAEJkW5T 又ACBC，ACDOO，BC平面 ACD. (2 解由(1可知， BC为三棱锥 BACD的高， BC2错误 !，SACD2， VBACDGMsIasNXkA 错误 !SACD BC错误 !22错误 !错误 !，TIrRGchYzg 由等体积性可知，几何体DABC的体积为错误 !. (1有关折叠问题，一定要分清折叠前后两
11、图形(折前的平面图形和折 叠后的空间图形 各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变7EqZcWLZNX (2研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化 为平面上两点间的最短距离问题 lzq7IGf02E 【训练 3】已知 7 / 9 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为直角三角形， ACB90 ，AC6，BCCC1 错误 ! ，P是BC1上一动点，如图所示，则 CPPA1的最小值为 _zvpgeqJ1h k 解读PA1在平面 A1BC1内，PC 在平面 BCC1内，将其铺平后转化为平面上的 问题解决计算A1BAB1错误 !，BC12，又 A1C16，故 A1BC1
12、是A1C1B 90 的直角三角形铺平平面A1BC1、平面 BCC1，如图所示NrpoJac3v1 CPPA1A1C. 在AC1C中，由余弦定理得 A1C错误 !错误 !5错误 !，故(CPPA1min5错误 !.1nowfTG4KI 答案5错误 ! 难点突破 17空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先 要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧 ，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一 个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程 组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键fjnFLDa5Zo 【示例 1】?(2018 安徽一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 ( 8 / 9 A280 B292 C360 D372 【示例2】?(2018全国新课 标已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的 错误 !，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_ tfnNhnE6e5 9 / 9 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。