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1、专题对点练 20统计与概率 1. 为了检验学习情况,某培训机构于近期举办一场竞赛活动,分别从甲、乙两班各抽取10 名学员的成绩 进行统计分析 ,其成绩的茎叶图如图所示(单位 :分),假设成绩不低于90 分者被命名为 “ 优秀学员 ” . (1)分别求甲、乙两班学员成绩的平均分(结果保留一位小数); (2)从甲班 4 名优秀学员中抽取2人 ,从乙班 2名 80 分以下的学员中抽取1 人,求三人平均分不低于 90 分的概率 . 2.某旅游爱好者计划从3 个亚洲国家A1,A2,A3和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3中选择 2 个国家去旅游 . (1)若从这 6 个国家中任选2 个,求这 2 个国家
2、都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1 个,求这 2 个国家包括A1但不包括 B1的概率 . 3.(2018 北京 ,文 17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 好评率是指 :一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影 ,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,
3、这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中 只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使 得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 4. 近年来 ,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召n 名义务宣传志 愿者 ,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5 组:第 1组 20,25),第 2组 25,30),第 3组 30,35),第 4 组35,40), 第 5 组40,45, 得到的频率分布直方图如图所示,已知第 2 组有 35 人. (1)求该组织的人数; (2
4、)若在第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取6 名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第 3,4,5组各抽 取多少名志愿者? (3)在(2)的条件下 ,该组织决定在这6 名志愿者中随机抽取2 名志愿者介绍宣传经验,求第 3 组至少有 1 名志愿者被抽中的概率. 5.某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度,从 500 名高一学生和400 名高二学生中按分层 抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查,结果可以分成以下三类:支持、反对、无所谓,调查结果 统计如下 : 支持无所谓反对 高一年级18x2 高二年级106y (1)求出表中的x,y 的值 ; 从反对的同学中随机选取2 人进一步了解情况,求
5、恰好抽取高一、高二各1人的概率 ; (2)根据表格统计的数据,完成下面的2 2列联表 ,并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有 关.(不支持包括无所谓和反对) 高一年级高二年级总计 支持 不支持 总计 附:K2= ,其中 n=a+b+c+d. P(K 2k 0)0.100.050.01 k02.7063.8416.635 专题对点练 20答案 1.解 (1)甲班学员的平均分为88.1;乙班学员的平均分为89.0. (2)所有抽取情况为:92,94,78;92,94,79;92,106, 78;92,106,79;92,108,78;92,108,79;94,106,78;94,106,
6、79;94,108,78;94,108,79;106,108,78;106,108,79.总共 有 12 种. 这 12 种情况中 ,平均分不低于90 分的情况有10 种.所以三人平均分不低于90 分的概率为. 2.解 (1)由题意知 ,从 6 个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有: A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3, B1,B2,B1,B3,B2,B3, 共 15 个 . 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有: A1,A2,A1,A3,A2,A3,共 3
7、 个,则所求事件的概率为P=. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有: A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共 9 个. 包括 A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有: A1,B2,A1,B3,共 2 个, 则所求事件的概率为P=. 3.解 (1)由题意知 ,样本中电影的总部数是140+ 50+ 300+ 200+800+ 510= 2 000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200 0.25=50,故所求概率为=0.025. (2)(方法一 )由题意知 ,样本中获得好评的电影部数是
8、 140 0.4+50 0.2+ 300 0.15+200 0.25+ 800 0.2+510 0.1= 56+ 10+ 45+50+ 160+51=372. 故估计所求概率为1-= 0.814. (方法二 )设“ 随机选取1 部电影 ,这部电影没有获得好评” 为事件 B. 没有获得好评的电影共有140 0.6+50 0.8+300 0.85+200 0.75+ 800 0.8+510 0.9=1 628(部). 由古典概型概率公式,得 P(B)=0.814. (3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中 的电影总部数的比值达到最大. 4.
9、解 (1)由题意 ,得第 2 组的人数为35= 5 0.07n ,得到 n=100,故该组织有100 人. (2)第 3 组的人数为0.06 5 100=30,第 4 组的人数为0.04 5 100= 20,第 5 组的人数为 0.02 5 100= 10, 所以第 3,4,5 组共有 60 名志愿者 ,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6 名志愿者 ,每组抽 取的人数分别为:第 3 组 6=3;第 4 组 6=2;第 5 组 6= 1. 所以应从第3,4,5 组中分别抽取3 人,2 人,1 人. (3)记第 3 组的 3名志愿者为A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为B1,B
10、2,第 5 组的 1 名志愿者为C1, 则从 6 名志愿者中抽取2 名志愿者有 (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),( B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. 其中第 3 组的 3 名志愿者A1,A2,A3至少有一名志愿者被抽中的有 (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2, B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,
11、C1),共有 12 种. 则第 3 组至少有1名志愿者被抽中的概率为. 5.解 (1)由题可得x=5,y=4. 假设高一持反对的编号为A1,A2,高二持反对的编号为 B1,B2,B3,B4, 则选取两人的所有结果为(A 1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2, B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4). 恰好抽取高一、高二各1 人包含 8 个事件 ,所求概率P=. (2)列联表如图 : 高一年级高二年级总计 支持181028 不支持71017 总计252045 K 2= =2.288 2.706. 故没有 90%的把握认为持支持与就读年级有关.