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1、高考数学解题技巧（方法类） 8分离变量法 一、题型与方法介绍 分离变量法是高考数学中一种十分常用的方法，高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方 程的根与零点等基本思想方法相联系 分离变量法： 是通过将两个变量构成的不等式( 方程 ) 变形到不等号 ( 等号 ) 两端，使两端变量各自相同, 解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法两个变量，其中一 个范围已知，另一个范围未知 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题分离变量后，对于不同问 题我们有不同的理论依据可以遵循以下定理均为已知x的范围，求a的范围： 定理 1不等式( )(
2、 )f xg a恒成立 min ( )( )f xg a（求解( )f x的最小值）； 不等式( )( )f xg a 恒成立 max ( )( )f xg a（求解( )f x的最大值） 定理 2不等式( )( )f xg a存在解 max ( )( )f xg a（求解( )f x的最大值）； 不等式( )( )f xg a 存在解 min ( )( )f xg a（即求解( )f x的最小值） 定理 3方程( )( )f xg a有解( )g a的范围( )f x的值域（求解( )f x的值域） 解决问题时需要注意： （1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（ 2）确定是求最大
3、值、 最小值还是值域 二、方法技巧与例题解析 例 1 已知函数 2 1,(0,1fxxaxx, 且| 3fx恒成立 , 求a的取值范围 【解析】 方法一 ( 利用二次函数): 问题转化为不等式组 2 2 13 ,(0,1 13 xax x xax 恒成立 2 ( )1f xxax在(0,1x上的最大值与最小值，利用以对称轴与定义域端点进行比较分类, 研究 单调性，此方法比较复杂，此处略 方法二 ( 分离变量法 ): 问题转化为 22 42xx a xx 在(0,1x上恒成立 ( 除x时注意符号 ) 由定理 1 得 22 maxmin 42xx a xx 以下过程略 例 2已知函数.ln)(),
4、0(2 2 1 )( 2 xxgaxaxxf若)()()(xgxfxh存在单调递增区间，求a的 取值范围 【分析】问题转化为 2 21 ( )0 axx h x x 在0x上有解 , 即 2 210axx在0x上有解 解：问题转化为 2 12x a x 在0x上有 ( 存在 ) 解由定理 12 得 2 min 12x a x 由 2 2 121 (1)11 x xx ，所以1a 例 3已知函数 3 ( )31f xxax的导函数为 / ( )fx， / ( )( )3g xfxax （1）若 / ( )60x gx对一切 2x 恒成立，求实数a的取值范围； （2）若对满足01a的一切a的值，都
5、有( )0g x，求实数x的取值范围 解： （ 1） /22 ( )33( )333fxxag xxaax / ( )6g xxa 即 2 660xax对一切2x恒成立即 6 6ax x 对一切2x恒成立 记 6 ( )6h xx x ，则在2x上( )ah x恒成立， / 2 6 ( )6hx x 在2x上恒大于0， 6 ( )6h xx x 在2x上单调递增， min ( )(2)15h xh15a （2）即 2 ( )333g xxaax对一切01a恒成立 若3x，则 2 ( )333240g xxaax不满足x 若3x，则 2 33 3 x a x 对一切01a恒成立 2 331 10
6、 33 x x x 若3x，则 2 33 3 x a x 对一切01a恒成立 2 2 33 0330 3 x x x 11xx 综上所述： 1 0 3 x 【巩固练习1】 1、已知函数lg2 a fxx x ，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。 2、已知,1x时，不等式 2 1240 xx aa恒成立，求 a的取值范围。 3、已知函数 32 ( )24f xxxx, 2 ( )7g xxax若对任意的0,)x都有( )( )fxg x，求 实数a的取值范围 4、设函数 321 ( )(1)424 3 f xxa xaxa，其中常数aR （1）当1a时，求函数( )f x的单调区间；
7、 （2）若3x时，( )0fx恒成立，求实数a的取值范围。 5、在ABC中，已知2|)(|,2cos) 24 (sinsin4)( 2 mBfB B BBf且 恒成立，求实数m的范 围。 6、求使不等式 3 sincos ,(,) 44 axx x恒成立的实数a 的范围。 7、设 124 ( )lg, 3 xx a f x 其中aR，如果(.1)x时，( )f x恒有意义，求a的取值范围。 8、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式 2 (1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒 成立，求实数a的取值范围。 【巩固练习2】 1、已知当xR 时，不等式a+cos2x(4sinx+cos2x)，设f(x)= 4sinx+cos2x则 22 f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx1) +3 a+53a0)，则 2 1 210221tatata t 5、解： 2 10yxax在(0,)上恒成立 1 ax x 在(0,)上恒成立 2a 6、 解：由于函 4 3 , 4 4 ), 4 sin(2cossinxxxxa， 显 然函 数有 最大 值2， 2a。