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1、正弦定理和余弦定理 A组基础达标 ( 建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1(2018兰州模拟) 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos B asin A，则ABC的形状为 ( ) A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D不确定 B 由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos B sin 2 A， sin(BC) sin 2A ， 即 sin( A) sin 2A ，sin Asin 2A A(0 ， ) ， sin A0， sin A1，即A 2 . 2在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是( ) A有一解B有两解 C无解D
2、有解但解的个数不确定 C 由正弦定理得 b sin B c sin C ， sin Bbsin C c 40 3 2 20 3 1. 角B不存在，即满足条件的三角形不存在 3(2016天津高考) 在ABC中，若AB13，BC3，C120，则AC( ) A1 B 2 C3 D 4 A 由余弦定理得AB 2 AC 2BC22AC BCcos C， 即 13AC 29 2AC 3cos 120， 化简得AC 23AC 40，解得AC1 或AC 4( 舍去 ) 故选 A 4(2018石家庄模拟) ABC中，AB3，AC1，B30， 则ABC的面积等于 ( ) 【导学号： 00090111】 A 3 2
3、 B 3 4 C 3 2 或3 D 3 2 或 3 4 D 由余弦定理得AC 2AB2 BC 2 2AB BCcos B， 即 13BC 23BC ，解得BC 1或BC2， 当BC1 时，ABC的面积S1 2AB BCsin B 1 2 31 1 2 3 4 . 当BC2 时，ABC的面积S1 2AB BCsin B 1 2 32 1 2 3 2 . 总上之，ABC的面积等于 3 4 或 3 2 . 5(2016全国卷) 在ABC中，B 4 ，BC边上的高等于 1 3BC ，则 sin A( ) A 3 10 B 10 10 C 5 5 D 310 10 D 过A作ADBC于D，设BCa，由已
4、知得AD a 3. B 4 ，ADBD，BDAD a 3， DC 2 3a， AC a 3 2 2 3a 2 5 3 a，在ABC中，由正弦定理得 a sin BAC 5 3 a sin 45 ， sin BAC 310 10 ，故选 D 二、填空题 6(2018青岛模拟) 如图 3-6-1 所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sin BAC 22 3 ，AB32，AD3，则BD的长为 _ 【导学号： 00090112】 图 3-6-1 3 sin BACsin(90 BAD) cosBAD 22 3 ， 在ABD中，有BD 2AB2 AD2ABADcosBAD， BD 21892
5、3 23 22 3 3， BD3. 7已知ABC中，AB3，BC1，sin C3cos C，则ABC的面积为 _ 3 2 由 sin C3cos C得 tan C30，所以C 3 . 根据正弦定理可得 BC sin A AB sin C ，即 1 sin A 3 3 2 2， 所以 sin A1 2. 因为 ABBC，所以AC，所以A 6 ，所以B 2 ，即三角形为直角三 角形， 故S ABC1 2 31 3 2 . 8(2017 全国卷 ) ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2bcos Bacos C ccos A，则B_. 3 由 2bcos Bacos Cccos A及正
6、弦定理， 得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A 2sin Bcos Bsin(AC) 又ABC，ACB 2sin Bcos Bsin( B) sin B 又 sin B0， cos B 1 2. B 3 . 三、解答题 9(2018陕西八校联考) 已知ABC内接于单位圆，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2acos Accos Bbcos C (1) 求 cos A的值； (2) 若b 2 c 2 4，求 ABC的面积 解(1) 2acos Accos Bbcos C， 2sin Acos Asin Ccos Bsin Bcos C， 即 2sin Acos
7、 Asin(BC) sin A4 分 又 0A， sin A0. 2cos A1，cos A 1 2. 6 分 (2) 由(1) 知 cos A1 2， sin A 3 2 . ABC内接于单位圆， a sin A 2R2，a 2sin A3. 8 分 由a 2 b 2 c 22bccos A，得bcb 2c2 a 2431， 10 分 SABC 1 2bcsin A1 21 3 2 3 4 . 12 分 10(2017云南二次统一检测) ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m (sin B,5sin A5sin C) 与n(5sin B6sin C，sin Csin A) 垂直 (
8、1) 求 sin A的值； (2) 若a22，求ABC的面积S的最大值 【导学号： 00090113】 解(1) m(sin B,5sin A5sin C) 与n(5sin B6sin C，sin Csin A) 垂直， mn5sin 2B 6sin Bsin C5sin 2C 5sin 2A 0， 即 sin 2B sin 2 Csin 2A 6sin Bsin C 5 . 3 分 根据正弦定理得b 2 c 2a26bc 5 ， 由余弦定理得cos A b 2 c 2 a 2 2bc 3 5. A是ABC的内角， sin A1cos 2A 4 5. 6 分 (2) 由(1) 知b 2 c 2
9、 a 26bc 5 ， 6bc 5 b 2 c 2 a 22bca2. 8 分 又a22，bc10. ABC的面积S1 2bcsin A 2bc 5 4， ABC的面积S的最大值为4. 12 分 B组能力提升 ( 建议用时： 15 分钟 ) 1(2016山东高考) ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知bc，a 22b2(1 sin A)，则A( ) A 3 4 B 3 C 4 D 6 C bc，BC 又由ABC 得B 2 A 2. 由正弦定理及a 22b2(1 sin A) 得 sin 2A 2sin 2B (1sin A) ， 即 sin 2A 2sin 2 2 A 2 (1si
10、n A) ， 即 sin 2A 2cos 2A 2(1 sin A) ， 即 4sin 2A 2cos 2A 2 2cos 2A 2(1 sin A) ， 整理得 cos 2A 2 1sin A2sin 2A 2 0， 即 cos 2A 2(cos Asin A) 0. 0A， 0A 2 2 ， cos A 20， cos Asin A又 0A，A 4 . 2如图 3-6-2 ，在ABC中，B45，D是BC边上的点，AD5，AC7，DC3，则AB 的长为 _ 图 3-6-2 56 2 在ADC中，AD5，AC7，DC3， 由余弦定理得cos ADC AD 2 DC 2 AC 2 2ADDC 1
11、 2， 所以ADC120，ADB60. 在ABD中，AD5，B45，ADB60， 由正弦定理得 AB sin ADB AD sin B ， 所以AB5 6 2 . 3( 2018昆明模拟 ) 如图 3-6-3 ，在四边形ABCD中，DAB 3 ，ADAB23，BD7， ABBC 图 3-6-3 (1) 求 sin ABD的值； (2) 若BCD 2 3 ，求CD的长 . 【导学号： 00090114】 解(1) ADAB23，可设AD 2k，AB3k. 又BD7，DAB 3 ， 由余弦定理，得(7) 2 (3 k) 2(2 k) 223 k2kcos 3 ， 解得k 1，AD2，AB3， sin ABDAD sin DAB BD 2 3 2 7 21 7 . (2) ABBC， cosDBCsin ABD 21 7 ， sin DBC 27 7 ， BD sin BCD CD sin DBC ， CD 7 27 7 3 2 43 3 .