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1、导数与函数的极值、最值 A组基础达标 ( 建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1函数yln xx在x(0 ，e 上的最大值为( ) Ae B 1 C 1 D e C 函数yln xx的定义域为 (0 ， ) 又y 1 x1 1x x ，令y 0 得x1， 当x(0,1) 时，y 0，函数单调递增； 当x(1 ，e 时，y 0，函数单调递减 当x1 时，函数取得最大值1. 2已知函数f(x) x 3 ax 2( a6)x1 有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 ( ) A( 1,2) B ( ， 3)(6 ，) C( 3,6) D ( ， 1)(2 ，) B f(x) 3x 22ax( a
2、6) ， 由已知可得f(x) 0 有两个不相等的实根， 4a 243( a6)0，即a 23a180， a6 或a 3. 3(2018太原模拟) 函数yf(x) 导函数的图像如图2-12-3所示，则下列说法错误的是 ( ) 图 2-12-3 A函数yf(x) 在区间 ( 1,3) 上是增加的 B函数yf(x) 在区间 (3,5) 上是减少的 C函数yf(x) 在x0 处取得极大值 D函数yf(x) 在x5 处取得极小值 C 由函数yf(x) 导函数的图像可知： 当x 1及 3x5 时，f(x) 0，f(x) 单调递减； 当 1x3 及x5 时，f(x) 0，f(x) 单调递增 所以f(x)的单
3、调减区间为( ， 1)， (3,5)；单调增区间为( 1,3) ，(5 ， ) ， f(x) 在x 1,5 处取得极小值，在x3 处取得极大值， 故选项 C错误，故选C 4(2018重庆模拟) 已知函数f(x) x 3 ax 2 bxa 2 在x1 处有极值10，则f(2) 等于 ( ) 【导学号： 00090075】 A11 或 18 B 11 C18 D 17 或 18 Cf(x) 3x 22ax b， 3 2ab 0 1aba 210? b 32a a 2 a12 0 ? a4 b 11 或 a 3 b 3 . 当 a 3 b3 时，f(x) 3(x1) 20，在 x 1处不存在极值；
4、当 a4 b 11 时，f(x) 3x 28x 11(3 x11)(x1) x 11 3 ，1 ，f(x) 0，x(1 ， ) ， f(x) 0，符合题意 a 4 b 11 ，f(2) 81622 1618. 5(2018武汉模拟) 已知aR，若f(x) 1 x ae x 在区间 (0,1)上有且只有一个极值点， 则a的取值范围是 ( ) Aa0 Ba0 Ca1Da0 Bf(x) e x x 2(ax 2 x1) ， 若f(x) 在(0,1) 上有且只有一个极值点， 则f(x)0 在(0,1) 上有且只有一个零点， 显然 e x x 2 0，问题转化为g(x) ax 2 x1 在(0,1)上有
5、且只有一个零点， 故g(0) g(1) 0，即 1 0 a110 ，解得：a0，故选 B 二、填空题 6(2018包头模拟) 设函数f(x) x 33x1， x 2,2 的最大值为M，最小值为m，则 Mm_. 2 由f(x)x 33x1，得 f(x) 3x 233( x1)(x1)， 当x( 2， 1) (1,2)时，f(x) 0，当x( 1,1) 时，f(x) 0. 函数f(x) 的增区间为 ( 2， 1) ，(1,2) ；减区间为 ( 1,1) 当x 1 时，f(x) 有极大值3；当x1 时，f(x) 有极小值 1. 又f( 2) 1，f(2) 3. 最大值为M3，最小值为m 1， 则Mm
6、31 2. 7设aR，若函数ye x ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_ ( ， 1) ye x ax，y e xA 函数ye x ax有大于零的极值点， 则方程y e x a 0有大于零的解， x0 时， e x 1， a e x 1. 8某商场从生产厂家以每件20 元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位： 件 ) 与零售价p( 单位：元 ) 有如下关系：Q 8 300 170pp 2 ，则该商品零售价定为 _元时利润最大，利润的最大值为_元 【导学号： 00090076】 30 23 000 设该商品的利润为y元，由题意知， yQ(p20) p 3150p2 11 7
7、00 p166 000 ， 则y 3p 2300p11 700 ， 令y 0得p 30 或p 130( 舍) ， 当p(0,30) 时，y 0，当p(30 ， ) 时，y 0， 因此当p30 时，y有最大值，ymax23 000. 三、解答题 9已知函数f(x) x 3 ax 2 b(a，bR) (1) 要使f(x) 在(0,2) 上单调递增，试求a的取值范围； (2) 当a0)现已知相距18 km 的A，B两家化工厂 ( 污染源 ) 的污染强 度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数 之和设ACx(km) (1) 试将y表示为x的函数； (2) 若a1，
8、且x6 时，y取得最小值，试求b的值 解(1) 设点C受A污染源污染程度为 ka x 2，点C受B污染源污染程度为 kb x 2，其 中k为比例系数，且k0，从而点C处受污染程度y ka x 2 kb x 2. 5 分 (2) 因为a1，所以y k x 2 kb x 2， yk 2 x 3 2b x 3，8 分 令y 0，得x 18 1 3 b ， 又此时x6，解得b8，经验证符合题意， 所以，污染源B的污染强度b的值为 8. 12 分 B组能力提升 ( 建议用时： 15 分钟 ) 1(2018石家庄模拟) 已知函数f(x) 1 2x 2 aln x1 在(0,1)内有最小值，则a的取值范 围
9、是 ( ) A0a1 B 1a1 C0a1 D 0a 1 2 C 函数f(x) 1 2x 2 aln x1，(aR) ，f(x) x a x， 函数f(x) 在(0,1) 内有最小值， f(x) 0 在(0,1) 上有解函数有极小值也为最小值 x a x0， x(0,1) ?a1，a(0,1) 并且x (0，a) ，f(x) 0，x(a，1)，f(x) 0， 即xa时函数取得最小值，也是极小值 0a1. 2(2018郴州模拟) 已知奇函数f(x) e x x x， hxx， 则函数h(x) 的最大值为 _ 1e 先求出x0 时，f(x) e x x 1 的最小值当x0 时，f(x) e x x
10、 x 2，x (0,1) 时，f(x) 0，函数单调递减，x(1 ， ) 时，f(x) 0，函数单调递增， x1 时，函数取得极小值即最小值，为 e1， 由已知条件得h(x) 的最大值为1e. 3已知函数f(x) ax 3 bxc在点x2 处取得极值c16. (1) 求a，b的值； (2) 若f(x) 有极大值28，求f(x) 在 3,3 上的最小值 【导学号： 00090077】 解(1) 因为f(x)ax 3 bxc， 故f(x)3ax 2 B2 分 由于f(x)在点x2 处取得极值c16， 故有 f0， fc16， 即 12ab 0， 8a2bcc16， 化简得 12ab0， 4ab 8
11、， 解得 a1， b 12. 5 分 (2) 由(1) 知f(x) x 312x c， f(x) 3x 2123( x 2)(x2) ， 令f(x)0，得x1 2，x22. 当x( ， 2) 时，f(x) 0， 故f(x) 在( ， 2) 上是增加的；7 分 当x( 2,2) 时，f(x) 0， 故f(x) 在( 2,2) 上是减少的；8 分 当x(2 ， ) 时，f(x) 0， 故f(x) 在(2， ) 上是增加的 由此可知f(x) 在x 2 处取得极大值， f( 2) 16c， f(x) 在x2 处取得极小值f(2) c16. 由题设条件知16c28，解得c12. 10 分 此时f( 3)9c21，f(3) 9c3， f(2) 16c 4， 因此f(x)在 3,3 上的最小值为f(2) 4. 12 分