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1、专业文档 珍贵文档 23函数的奇偶性与周期性 1奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数 (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数 2奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称 3具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于， 即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的 条件 4周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数 f(x)， 如果存在一个T， 使得当 x取定义域内的值时，都有， 那么函数f(x)就叫做周期函数T 叫做
2、这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 5函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数 f(x)为奇函数，且在a， b上为增 (减)函数，则f(x)在b， a上为； (2)若函数 f(x)为偶函数，且在a， b上为增 (减)函数，则f(x)在b， a上为 6奇、偶函数的 “运算 ”(共同定义域上) 奇 奇，偶 偶，奇奇，偶偶，奇 偶. 7函数的对称性 如果函数f(x)，xD，满足 ? xD，恒有 f(a x)f(bx)，那么函数的图象有对称轴x ab 2 ；如果函数f(x)， xD，满足 ? xD，恒有 f
3、(ax) f(bx)，那么函数的图象有对称中心 ab 2 ，0 . 8函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数f(x)(x D)在定义域内有两条对称轴xa， xb(alog24.122 0.8，结合函数的单调性有： f(log25)f(log24.1)f(2 0.8)， 即 c0 且 a1) 专业文档 珍贵文档 解： (1)定义域要求 1x 1x0，所以 1x1， 所以 f(x)的定义域不关于原点对称， 所以 f(x)不具有奇偶性 (2)解法一 (定义法 )：当 x0 时， f(x) x 22x1， x0， f(x)(x)22(x)1x22x 1 f(x)； 当 x0 时， f(x)x22x
4、1， x 0， f(x)(x) 22(x)1x22x1f(x) 所以 f(x)为奇函数 解法二 (图象法 )：作出函数f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数 (3)由 4x 20 ， |x 3|30得 2 x2 且 x 0. 所以 f(x)的定义域为 2，0)(0，2，关于原点对称 所以 f(x) 4x 2 （x3） 3 4x 2 x . 所以 f(x) f(x)，所以 f(x)是奇函数 (4)由 9x 20 ， x 290 得 x 3. 所以 f(x)的定义域为 3，3，关于原点对称 又 f(3)f(3)0， f(3)f(3)0. 所以 f(x) f( x) 所以 f
5、(x)既是奇函数，又是偶函数 (5)因为函数的定义域为R， 又因为 f(x)f(x) logax （ x） 21log a(xx 21) loga( x 21x)log a(x 21x) loga( x 21x)( x21x) loga(x21x2)loga10. 即 f(x) f(x)，所以 f(x)为奇函数 【点拨】 (1)判断函数奇偶性的步骤是：求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是 奇函数，也不是偶函数； 验证 f(x)是否等于 f(x)， 或验证其等价形式f(x)f(x) 0 或f（ x） f（x） 1(f(x)0) 是否成立 (2)对于分段函数的奇偶性应分段验证
6、，但比较繁琐， 且容易判断错误，通常是用图象法来判断(3) 对于含有x 的对数式或指数式的函数常用“ f(x)f(x)0”来判断 (1)(2015 安徽模拟 )若函数 f(x) k2 x 1k 2 x在定义域上为奇函数，则实数 k_. 解： 因为 f(x) k2 x 1k 2 x k2 x 1 2 xk ，所以 f( x)f(x) 专业文档 珍贵文档 （k2x）（ 2xk）（ k 2x1）（ 1k 2x） （1k 2 x）（ 2xk） （k 21）（ 22x 1） （1k 2 x）（ 2xk）. 由 f(x)f(x)0 对定义域中的x 均成立可得k21，所以 k 1.故填 1. (2)已知函数
7、f(x)ln 1x 1x.判断函数的奇偶性 解： 由 1x 1x0，得 1x1，即 f(x)ln 1x 1x的定义域为 (1，1)又 f(x)ln 1x 1x ln 1x 1x 1 ln 1x 1x f(x)，故 f(x)为奇函数 (3)已知函数f(x)ln(1 9x 23x)1.判断函数的奇偶性 解： 令19x23x 0，得 xR，故函数f(x)的定义域为R. f(x) f(x)ln(19x 23x)1ln( 19x23x)12，故 f(x)不是奇函数； f(x) f(x)ln(19x 23x)1ln( 19x23x)1ln(19x2 3x)2，不恒为0，故 f(x)不是偶函数 综上得 f(
8、x)不具有奇偶性 (4)已知函数f(x) lg（4x 2） |x 2| |x4|.判断函数的奇偶性 解： 由 4x 20， |x 2| |x4|0， 得 2 x2，即函数f(x)的定义域是 x| 2x2 又 f(x) lg（4x 2） |x2|x4| lg（ 4x 2） 2xx4 1 6lg(4x 2)， 所以 f(x) 1 6lg4(x) 21 6lg(4x 2)f(x)，故函数 f(x)是偶函数 (5)已知函数f(x) x 2x，x 0， x2x，x0. 判断函数的奇偶性 解： 当 x0 时， f(x)x 2x， x 0， f( x) (x) 2x x2 x f(x)； 当 x0 时， f
9、(x) x 2x， x0， f( x)(x) 2 xx2x f(x)所以 f(x)是奇函数 另解 ：作图 类型二利用函数性质求解析式 已知函数 f(x)满足 f(x) f(x2)13. (1)求证： f(x)是周期函数； (2)若 f(1)2，求 f(99)的值； (3)若当 x0，2时， f(x)x，试求 x4，8时函数 f(x)的解析式 解： (1)证明：由题意知f(x)0，则 f(x2) 13 f（x） .用 x2 代替 x 得 f(x4) 13 f（x2）f(x)，故 f(x)为周期 函数，且4 为 f(x)的周期 (2)若 f(1)2，则 f(99)f(244 3)f(3) 13 f
10、（1） 13 2 . 专业文档 珍贵文档 (3)当 x4，6时， x40，2，则 f(x4)x 4，又周期为4，所以 f(x)f(x 4)x4. 当 x(6，8时， x6(0， 2，则 f(x 6) x6，根据周期为4，则 f(x 2)f(x6)x6. 又 f(x) f(x2) 13， 所以 f(x) 13 f（ x2） 13 x6. 所以解析式为f(x) x4，4x6， 13 x6，6x8. 【点拨】 本题存在规律性：若f(xa) f(x)b(常数 )，则 2a 为 f(x)的周期 (a0)；同理， f(x a) f(x)或 f(x a) 1 f（x） 或 f(xa) 1 f（ x），均可推
11、得 2a 为 f(x)的周期 (a0) 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x1 对称 (1)求证： f(x)是周期为4 的周期函数； (2)若 f(x)x(0bcBcbaCcabDacb 解： 由已知得， f(x)在 0， )上为增函数， bf(2)f(2)，而 1ba.故选 B. 6已知 g(x)是 R 上的奇函数，当xf(x)，则 实数 x 的取值范围是() A(， 1)(2， ) B (， 2)(1， ) C (1，2) D(2，1) 解： 设 x0，则 xf(x)，得 2x2x，解得 2f(2x1)成立的 x 的取值范围是 _ 解： f(x) f(x)，故 f(
12、x)是奇函数，且x0 时， f(x) x 1x1 1 1x，故 f(x)单调递增，又 f(0)0，从而 f(x) 是 R 上的增函数，故f(x)f(2x1)? x2x1，得 x1.故填 (， 1) 9函数 f(x) axb 1 x 2是定义在 (1，1)上的奇函数，且f 1 2 2 5. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数； (3)解不等式f(t1)f(t)0. 解： (1)因为在 x(1，1)上 f(x)为奇函数， 所以 f(0)0，即 b0.所以 f(x) ax 1x 2. 又因为 f 1 2 2 5，所以 a 2 1 1 4 2 5.解得 a
13、1. 所以 f(x) x 1x 2，经检验适合题意 (2)证明：设 1 x1 x2 1，则 f(x1)f(x2) x1 1x 2 1 x2 1 x 2 2 （x1x21）（ x2 x1） （1x2 1）（ 1x 2 2） ，x1x2 1，则 x1x21 0， x2x10，故 f(x1)f(x2)0.所以 f(x)在(1，1)上是增函数 (3)由 f(t1)f(t)0， 得 f(t1) f(t)，即 f(t1)f(t) 专业文档 珍贵文档 所以 1 t11， 1 t1， t1 t， 得 0t1 2. 故 t 的取值范围为0， 1 2 . 10设 f(x)是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，
14、且 f(1x)f(1x)，当 1x0 时， f(x) x. (1)判定 f(x)的奇偶性； (2)试求出函数f(x)在区间 1，2上的表达式 解： (1)因为 f(1x)f(1x)，所以 f(x)f(2x) 又 f(x 2) f(x)，所以 f(x)f(x)又 f(x)的定义域为R，所以 f(x)是偶函数 (2)当 x0，1时， x1， 0，则 f(x)f(x)x； 进而当 1x2 时， 1x 20，f(x)f(x2) (x2) x2. 故 f(x) x，x1，0， x，x（ 0，1）， x2，x1，2. (2017 江苏 )已知函数f(x)x 32xex1 e x，其中 e是自然对数的底数若
15、 f(a1) f(2a 2)0，则实数 a 的取值范围是_ 解： 因为f(x) x32x 1 e xe x f(x)，所以函数 f(x)是奇函数，因为f(x)3x22exe x3x2 2 2e xex3x20，所以数 f(x)在 R 上单调递增，又f(a1)f(2a 2)0，即 f(2a2) f(1a)，所以 2a21a， 即 2a2a 10，解得 1a 1 2，故实数 a 的取值范围为1，1 2 .故填 1， 1 2 . 1(2017 肇庆三模 )在函数 yxcosx， ye xx2，ylg x22，yxsinx 中，偶函数的个数是() A3 B2 C1 D0 解： yxcosx 为奇函数，
16、 ye xx2 为非奇非偶函数，ylgx22与 yxsinx 为偶函数 故选 B. 2下列函数不是周期函数的是() AysinxB y|sinx| C ysin|x| Dysin(x1) 解： ysinx 与 ysin(x1)的周期 T2， y|sinx|的周期 T， C 项 y sin|x|是偶函数，其图由ysinx 去 掉 y 轴左侧图象，再将y 轴右侧图象对折到左侧得到，故不是周期函数故选 C. 3(2016 成都检测 )设 f(x)是定义在R 上的周期为3 的周期函数，如图表示该函数在区间(2， 1上的图象， 则 f(2 016)f(2 017)() A3 B2 C1 D0 解： f(
17、2 016)f(3672) f(0)0，f(2 017)f(36721)f(1)1，所以 f(2 016)f(2 017)1.故选 C. 4若函数 f(x)xln(xax 2)为偶函数，则实数 a() 专业文档 珍贵文档 A 1 B0 C1 D2 解： 因为函数f(x)是偶函数，所以f(x) f(x)， 即 xln(xax2) xln(x ax 2)， 所以 xax2 1 xax2，得 a1.故选 C. 5已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数， 若对于 x0，都有 f(x2) 1 f（x） ，且当 x0，2)时，f(x) log2(x 1)，则 f(2 017)f(2 019)的值为 ()
18、A0 B 4 C 2 D2 解：当 x0 时，f(x2) 1 f（x） ，所以 f(x4)f(x)，即 4 是 f(x)(x0)的一个周期 所以 f(2 017) f(2 017) f(1)log221，f(2 019)f(3) 1 f（1） 1，所以 f(2 017)f(2 019)0.故选 A. 6(2016 广西五市二联 )设定义在R 上的偶函数f(x)满足对任意xR，都有 f(x)f(2x)，且当 x(0， 1时， f(x) x e x.若 af 2015 3 ， bf 2016 5 ，cf 2017 7 ，则 () AbcaBabc C cabDbac 解： 因为函数f(x)是偶函数
19、，所以f(x) f(x)f(2x)，即 f(x)是以 2为周期的周期函数 因为对任意xR，都有 f(x)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1 对称当 x(0，1时， f (x) 1x e x 0，即函数 f(x)在(0，1上单调递增又af 2015 3 f 671 2 3 f 5 3 f 1 3 ，b f 2016 5 f 4031 5 f 6 5 f 4 5 ，cf 2017 7 f 288 1 7 f 1 7 ，且 1 7 1 3 4 5，所以 cab.故选 C. 7函数 f(x)ax 2bsinx 是定义在 a，a2上的偶函数，则 ab_. 解： aa 2? a 1.f(x)
20、x2bsinx，由 f(x)f( x)? 2bsinx0 对任意 x1，1恒成立，则b0.故 ab 1.故填 1. 8 (2017 合 肥 质 检 ) 若 函 数f(x)(xR) 是 周 期 为4的 奇 函 数 ， 且 在 0 ， 2 上 的 解 析 式 为f(x) x（1 x）， 0x1， sinx，1x2， 则 f 29 4 f 41 6 _. 解： 由于函数f(x)是周期为4 的奇函数，所以f 29 4 f 41 6 f 3 4 f 7 6 f 3 4 f 7 6 3 16sin 6 5 16. 故填 5 16. 9函数 yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0， )时是增函数，若f(1)
21、0，求不等式f x x 1 2 0 的解集 解： 因为 yf(x)是奇函数，所以f(1) f(1)0. 又因为 yf(x)在(0， )上是增函数，所以yf(x)在(，0)上是增函数， 所以 0x x 1 2 1 或x x 1 2 1， 解得1 17 4 x0 或 1 2x 117 4 .解得 ?. 所以原不等式的解集是 x|1 17 4 x0或1 2x 117 4 . 10函数 f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； 专业文档 珍贵文档 (3)如果 f(4)1，f(
22、x1) 2，且 f(x)在 (0， )上是增函数，求x 的取值范围 解： (1)因为对于任意x1， x2 D， 有 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 所以令 x1x2 1，得 f(1) 2f(1)，所以 f(1)0. (2)令 x1 x2 1，有 f(1)f( 1) f(1)， 所以 f(1) 1 2f(1) 0. 令 x1 1，x2x，有 f(x)f(1)f(x)， 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数 (3)依题意有f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知， f(x)是偶函数，所以f(x1)2? f(|x1|) f(16) 又 f(x)在(0， )上是增函数 所以 0|x1
23、|16，解得 15x 17 且 x1. 所以 x 的取值范围是x|15x17 且 x1 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间 0，2上是增函数，则() Af(25)f(11) f(80) B f(80)f(11)f(25) C f(11)f(80)f(25) Df(25)f(80) f(11) 解： f(x8) f(x4)f(x)，所以 T8，又 f(x)是 R 上的奇函数，所以f(0)0. 因为 f(x)在0，2上是增函数，且f(x)0， 所以 f(x)在 2，0上也是增函数，且f(x)0， 又 x2，4时， f(x) f(x4) 0，且 f(x)为减函数 同理 f(x)在4，6上为减函数且f(x)0， 从而可得yf(x)的大致图象如图所示 因为 f(25)f(1)0， f(11)f(3)0，f(80)f(0) 0.所以 f(25) f(80)f(11)，故选 D