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1、初中数学竞赛专题培训第十二讲平行四边形 平行四边形是一种极重要的几何图形这不仅是因为它是研究更 特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它 的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行 线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用 由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： (1) 平行四边形对角相等； (2) 平行四边形对边相等； (3) 平行四边形对角线互相平分 除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： (1) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4
2、) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例 1 如图 2-32所示 在ABCD 中， AEBC ， CF AD ， DN=BM 求 证： EF与 MN互相平分 分析只要证明 ENFM 是平行四边形即可，由已知，提供的等 量要素很多，可从全等三角形下手 证 因为 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC ，ABCD ， B=D 又 AEBC ，CFAD ，所以 AECF是矩形，从而 AE=CF 所以 RtABE RtCDF(HL ，或 AAS)，BE=DF 又由已知BM=DN ， 所以 BEM DFN(SAS)， ME=NF 又因为 AF=CE ，AM=CN ， MAF= NCE ，所以 MA
3、F NCE(SAS) ， 所以 MF=NF 由，四边形ENFM 是平行四边形，从而对角线EF与 MN 互相平分 例 2 如图 2-33 所示RtABC中，BAC=90 ，AD BC于 D， BG平分 ABC ，EFBC且交 AC于 F求证： AE=CF 分析 AE 与 CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两 者发生联系若作GH BC于 H，由于 BG是 ABC的平分线，故 AG=GH ，易知 ABG HBG 又连接 EH ，可证 ABE HBE ，从 而 AE=HE 这样，将AE “转移”到EH位置设法证明EHCF 为平 行四边形，问题即可获解 证 作 GH BC于 H，连接 EH 因为
4、 BG是 ABH的平分线， GA BA ，所以 GA=GH ，从而 ABG HBG(AAS) ， 所以 AB=HB 在 ABE及 HBE 中， ABE= CBE ，BE=BE ， 所以ABE HBE(SAS) ， 所以 AE=EH ， BEA= BEH 下面证明四边形EHCF 是平行四边形 因为 AD GH ，所以 AEG= BGH( 内错角相等 ) 又 AEG= GEH( 因为 BEA= BEH ， 等角的补角相等 ) ， AGB= BGH( 全等三角形对应角相等) ，所以 AGB= GEH 从而 EH AC(内错角相等，两直线平行) 由已知 EFHC ，所以 EHCF是平行四边形，所以 F
5、C=EH=AE 说明本题添加辅助线GH BC的想法是由BG为 ABC的平分 线的信息萌生的( 角平分线上的点到角的两边距离相等) ，从而构 造出全等三角形ABG与 HBG 继而发现 ABE HBE ，完成了 AE的位置到 HE位置的过渡这样，证明EHCF 是平行四边形就是 顺理成章的了 人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们 探索新的问题是十分有益的 例 3 如图 2-34 所示ABCD 中，DE AB于 E， BM=MC=DC 求 证： EMC=3 BEM 分析由于 EMC 是BEM的外角， 因此 EMC= B+BEM 从 而，应该有 B=2BEM ，这个论断在 BEM内很难发
6、现，因此， 应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以 解决利用平行四边形及M为 BC中点的条件， 延长 EM与 DC延长 线交于 F，这样 B=MCF及 BEM= F， 因此， 只要证明 MCF=2 F 即可不难发现， EDF为直角三角形 ( EDF=90 ) 及 M为斜 边中点，我们的证明可从这里展开 证 延长 EM交 DC的延长线于F，连接 DM 由于 CM=BM，F= BEM ， MCF= B，所以 MCF MBE(AAS) ， 所以 M是 EF的中点由于 ABCD及 DE AB，所以，DE FD ， 三角形 DEF是直角三角形， DM 为斜边的中线，由直角三角形斜边 中
7、线的性质知 F=MDC ， 又由已知 MC=CD ，所以 MDC= CMD ， 则 MCF= MDC+ CMD=2 F 从而 EMC= F+MCF=3 F=3BEM 例 4 如图 2-35 所示矩形 ABCD 中，CE BD于 E，AF平分 BAD交 EC延长线于 F求证： CA=CF 分析只要证明 CAF是等腰三角形， 即 CAF= CFA即可由 于 CAF=45 -CAD ，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个 与 CAD相等的角 a，使得 CFA=45 -a为此，延长DC交 AF于 H，并设 AF与 BC交于 G ，我们不难证明FCH= CAD 证 延长 DC交 AF于 H，显然 FCH
8、= DCE 又在 RtBCD 中， 由于 CE BD ，故 DCE= DBC 因为矩形对角线相等，所以DCB CDA ，从而 DBC= CAD ，因此， FCH= CAD 又 AG平分 BAD=90 ，所以 ABG是等腰直角三角形，从而 易证 HCG 也是等腰直角三角形，所以CHG=45 由于 CHG 是 CHF的外角，所以 CHG= CFH+ FCH=45 ， 所以CFH=45 -FCH 由， CFH=45 -CAD= CAF ， 于是在三角形CAF中，有 CA=CF 例 5 设正方形 ABCD 的边 CD的中点为 E，F 是 CE的中点 ( 图 2-36)求证： 分析作 BAF的平分线，
9、将角分为 1 与 2 相等的两部分， 设法证明 DAE= 1 或 2 证 如图作 BAF的平分线 AH交 DC的延长线于H，则 1= 2=3，所以 FA=FH 设正方形边长为a，在 RtADF中， 从而 所以 Rt ABG RtHCG(AAS) ， 从而 RtABG RtADE(SAS) ， 例 6 如图 2-37 所示正方形 ABCD 中，在 AD的延长线上取点 E，F，使 DE=AD ，DF=BD ，连接 BF分别交 CD ，CE于 H，G 求证： GHD 是等腰三角形 分析准确地画图可启示我们证明GDH= GHD 证 因为 DEBC ，所以四边形BCED 为平行四边形，所以 1=4又 B
10、D=FD ，所以 所以 BC=GC=CD 因此， DCG 为等腰三角形，且顶角DCG=45 ，所以 又 所以HDG= GHD ， 从而 GH=GD ，即 GHD 是等腰三角形 练习十二 1 如图 2-38 所示DE AC ，BF AC ，DE=BF ， ADB= DBC 求 证：四边形ABCD是平行四边形 2如图 2-39 所示在平行四边形ABCD 中， ABE和 BCF 都是等边三角形求证：DEF是等边三角形 3如图 2-40 所示ABCD 中， AF平分 BAD交 BC于 F， DE AF交 CB于 E求证： BE=CF 4如图 2-41 所示 矩形 ABCD 中，F 在 CB延长线上， AE=EF ， CF=CA 求证： BEDE 5如图 2-42 所示在正方形ABCD 中，CE垂直于 CAB的平 分