完全平方数及应用(一).教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 1.学习完全平方数的性质； 2.整理完全平方数的一些推论及推论过程 3.掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1， 4，5，6，9。不可能是2，3，7， 8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2 a ，则 p 能被 a 整除。 2.性质 性质 1：完全平方数的末位数字只可能是0， 1，4，5，6，9 性质 2：完全平方数被3，4，5，8， 16除的余数一定是完全平方数 性质 3：自然数 N为完全

2、平方数自然数 N约数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数， n是自然数， N是完全平方数，且 21 | n pN，则 2 | n pN 性质 4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数 性质 5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个 位是 5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个 性质 6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4 整除；任何奇数的平方被4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定

3、 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3 除的余数是0或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56， 76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5， 9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6 时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5 但末两位数字不是25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“ 0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为1

4、，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 22 ()()abab ab 模块一、完全平方数计算及判断 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4. 完全平方数及应用 （一） 专业文档 珍贵文档 【例1】已知： 1234567654321 49 是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 2 星【题型】解答 【解析】我们不易直接求解， 但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律 )的方法来求解： 121 2 11 ； 12321 2 111 ； 1234321 2 1111 ， 于 是 ， 我 们 归 纳 为1234n

5、4321= 2 (1111) n个1 ， 所 以 ， 1234567654321：11111112；则， 1234567654321 49=11111112 72=77777772所以，题中原式乘积 为 7777777 的平方 【答案】 7777777 【例2】1234567654321(1234567654321) 是的平方 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 2 12345676543211111111 ， 2 12345676543217 ， 原式 22 (1111111 7)7777777 【答案】 7777777 【例3】已知自然数

6、n满足： 12! 除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第9 题 【解析】 （法 1）先将12！分解质因数： 1052 12!235711 ，由于 12! 除以n得到一个完全平方数，那么 这 个 完 全 平 方 数 是 12! 的 约 数 ， 那 么 最 大 可 以 为 1042 235， 所 以n最 小 为 1042 12!2353711231。 （法2） 12! 除以n得到一个完全平方数，12! 的质因数分解式中3、 7 、11的幂次是奇数，所以n的 最小值是 3711231。 【答案】 231

7、【例4】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】解答 【解析】平方数的末尾只能是0， 1，4，5，6，9，因为 111， 444，555，666，999 都不是完全平方数，所以 所求的数最小是4 位数考察1111，1444 可以知道 14443838，所以满足条件的最小正整数 是1444 【答案】 1444 【例5】A 是由 2002 个“4”组成的多位数，即 20024 4444 个 ，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B； 如果不是，请说明理由 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3

8、星【题型】解答 【解析】略 【答案】 2 200242002 444421111A 个个1 如果 A 是某个自然数的平方，则 2002 1111 个1 也应是某个自然数的平方， 并且是某个奇数的平方由奇数的平方除以4 的余数是1 知，奇数的平方减1 应是 4 的倍数， 而 20022001 1111111110 个1个 1 不是4的倍数，矛盾，所以A 不是某个自然数的平方 【巩固】A是由 2008 个“ 4” 组成的多位数，即444 2008个4 ，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如 果不是，请说明理由 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】

9、不是 2 4442111A 2008个1 2008个4 假设A是某个自然数的平方，则111 2008个 1 也应是某个自然数的平方，并且 是某个奇数的平方由奇数的平方除以4 的余数是1 知，奇数的平方减1 应是4 的倍数，而 专业文档 珍贵文档 111 11110 2008个12007个1 不是 4 的倍数，与假设矛盾所以A不是某个自然数的平方 【例6】计算 1111 2004个1 2222 1002个 2 =A A，求 A 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 4 星【题型】解答 【解析】此题的显著特征是式子都含有1111 n个1 ，从而找出突破口. 1111 2004个1 2222 100

10、2个2 =1111 1002个1 0000 1002个0 1111 1002个1 =1111 1002个1 （ 10000 1002个0 -1） =1111 1002个1 （ 9999 1002个9 ） =1111 1002个1 （ 1111 1002个1 3 3）= 2 A 所以， A 3333 1002个3 . 【答案】 3333 1002个3 【例7】 2 2004420038 444488889A 个个 ，求 A 为多少 ? 求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？ 【考点】完全平方数计算及判断【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律

11、，于是我们采用递推(找规律 )的方法来求解： 注意到有 2004420038 444488889 个个 可以看成 48 444488889 n个n-1 个 ，其中 n2004； 寻找规律：当n=1 时，有 2 497 ； 当 n=2 时，有 2 448967 ； 当 n=3 时，有 2 444889667 于是，类推有 2004420038 444488889 个个 = 2 20036 66667 个 方法二：下面给出严格计算： 20044 20038 444488889 个 个 = 4 44440000 2004个2004个0 + 2004 8888 个8 +1； 则 4 44440000

12、2004个2004个0 + 2004 8888 个8 +1 1111 2004个1 （4 0 10000 2004个 +8）+1 1111 2004个1 4 （ 9 9999 2004个 +1）+8+1 1111 2004个1 4 （ 9 9999 2004个 ）+12+1 2 (1111) 2004个1 36+12 1111 2004个1 +1 2 (1111) 2004个1 36+2 （6 1111 2004个1 ）+1 22 (666661)(66667) 2004个 62003个6 由知 4 444488889 n个 n-1个8 2 66667 n-1 个6 ，于是数字和为(4n+8n

13、-8+9)=12 n+1；令 12n+1=2005 解得 n=167，所以 4 444488889 167个166个8 = 2 66667 166个6 。所以存在这样的数，是 4 444488889 167 个166个8 【答案】（1） 2 20036 66667 个 ,（2） 4 444488889 167个 166个8 = 2 66667 166个6 专业文档 珍贵文档 模块二、平方数特征 （1） 平方数的尾数特征 【例8】下面是一个算式：112123123412345123456 ，这个算式的得数 能否是某个数的平方？ 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 3 星【题型】解答 【

14、关键词】华杯赛 【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少平方数的个位数只能是0，1，4， 5，6，9，而 2，3，7，8 不可能是平方数的个位数这个算式的前二项之和为3，中间二项之和 的个位数为0，后面二项中每项都有因子2 和 5，个位数一定是0，因此，这个0 算式得数的个位数 是 3，不可能是某个数的平方 【答案】不是 【例9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49 的四位 数共有 _个 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第10 题 【解析】 4914925 ， 1,

15、2,3,5 全排列共有24个。 【答案】24 【例10】 用 19 这 9 个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方 数那么，其中的四位完全平方数最小是 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复试，11 题 【解析】四位完全平方数1234 35 21225，所以至少是 36 21296当四位完全平方数是 1296 时，另两个 平方数的个位只能分别为4,5，个位为 5 的平方数的十位只能是2，但数字 2 在 1296 中已经使用 当 四位完全平方数是37 21369 时，另两个平方数的个位只能分别为 4,5，

16、个位为 5 的平方数的十位一 样只能是2，还剩下7,8，而 784 恰好为 28 2所以，其中的四位完全平方数最小是 1369 【答案】 1369 【例11】 称能表示成1+2+3+ +K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全 平方数， N= 。 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14 题 【解析】N=k(1+k)/2=m2 ，4 位数的话 2000=k (k+1)20000, 45=k=140，k=2n n*(2n+1)=N 。 n 与 2n+1 互质， 所以要均为平方数。 平方数末尾149650。 满

17、足要求的是4950。 23=n=70 发现没有： k=2n-1 ， n(2n-1)=N 同上，满足要求是1650 找到 25 所以 k=49 ， N=1225， m=35。 【答案】 1225 （2） 奇数个约数 指数是偶数 【例12】 在224，339，4416 ，5525，6636 ， 等这些算是中， 4， 9，16，25， 36， 叫做完全平方数。那么，不超过2007 的最大的完全平方数是_。 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4 题， 5 分 【解析】 45 45=2025；44 44=1936，所以最大的是1936. 【答案

18、】 1936 【例13】 写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 2 星【题型】解答 【解析】一 个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数 )加 1 后所得的乘积. 如:1400 严格分解质因数后为23 52 7,所以它的约数有(3+1) (2+1) (1+1)=4 3 2=24 个.(包括 1 和它 自身 ) 专业文档 珍贵文档 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1 后均是奇 数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除 0

19、外) 有奇数个约数,反过来 ,有奇数个约数的数一定是完全平方数 由以上分析知,我们所求的为360630 之间有多少个完全平方数? 18 18=324,19 19=361,25 25=625,26 26=676, 所 以 在360 630之 间 的 完 全 平 方 数 为 192,202,212,222,232,242,252 即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625 【答案】 361,400,441,484,529,576,625 【例14】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是 _ 【考点】平方数特征之

20、奇数个约数【难度】 2 星【题型】填空 【解析】先将 1016 分解质因数： 3 10162127，由于 1016a 是一个完全平方数，所以至少为 42 2127 ，故 a 最小为 2127 254 【答案】 254 【巩固】已知 3528a 恰是自然数b 的平方数， a 的最小值是。 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 2 星【题型】填空 【解析】 322 3528237 ，要使 3528a 是某个自然数的平方，必须使3528a 各个不同质因数的个数为偶数， 由于其中质因子3和 7 各有 2 个，质因子 2 有 3 个，所以a为 2 可以使 3528a 是完全平方数， 故a至 少为 2

21、【答案】 2 【例15】 从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以72 后是完全平方数的数共有多少个？ 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 3 星【题型】解答 【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现 而 32 7223266，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2 倍， 由于 23131 19222008232322048，所以 2 21 、 2 22 、 、 2 231 都满足题意，即 所求的满足条件的数共有31 个 【答案】 31 【例16】 已知自然数n满足： 12! 除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 3 星【题型】填空 【关

22、键词】学而思杯，6 年级 【解析】（法 1）先将12！分解质因数： 1052 12!235711 ，由于 12! 除以n得到一个完全平方数，那么 这 个 完 全 平 方 数 是 1 2 !的 约 数 ， 那 么 最 大 可 以 为 104 235， 所 以n最 小 为 1042 1 2 !235371 1231。 （法2） 12! 除以n得到一个完全平方数，12! 的质因数分解式中3、 7 、11的幂次是奇数，所以n的 最小值是 3711231。 【答案】 231 【例17】 有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最 小值为 【考点】平方数特征之

23、奇数个约数【难度】 4 星【题型】填空 【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧： 一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的 设中间数是x,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x 5x 是平方数，设 22 55xa ,则 2 5xa ， 22 31535xaa 是立方数，所以 2 a 至少含有3 和 5 的质因数各 2 个, 即 2 a 至少是 225,中间的数 至少是 1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123 【答案】 1123 【例18】 求一个最小的自然数，它乘以2 后是完全平方数，乘以3 后是完全立方数，乘以5 后

24、是 5 次方数 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 4 星【题型】解答 【解析】为使所求的数最小， 这个数不能有除2、3、5 之外的质因子 设这个数分解质因数之后为235 abc ， 专业文档 珍贵文档 由于它乘以2 以后是完全平方数，即 1 235 abc 是完全平方数，则(1)a、 b 、c都是 2 的倍数； 同理可知a、 (1)b、c是 3 的倍数，a、 b 、 (1)c是 5 的倍数 所以，a是 3 和 5 的倍数，且除以2 余 1； b 是 2 和 5 的倍数，且除以3 余 2；c是 2 和 3 的倍数， 且除以 5 余 4 可以求得a、b 、c的最小值分别为15、 20、 24

25、， 所以这样的自然数最小为 152024 235 【答案】 152024 235 【例19】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“ 美妙数 ” 问：所 有小于 2008 的美妙数的最大公约数是多少？ 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 60345 是一个美妙数， 因此美妙数的最大公约数不会大于60任何三个连续正整数，必有一个 能为3 整除，所以，任何美妙数必有因子3若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4 整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4另外，由于完 全平方数的个

26、位数字只能是0，1，4， 5，6，9，若其个位是0 和 5，则中间的数能被5 整除；若其 个位是 1 和 6，则第一个数能被5 整除；若其个位是4 和 9，则第三个数能被5 整除所以，任何美 妙数必有因子5由于 3，4，5 的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的 最大公约数至少是60综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所 以，只能是60 【答案】 60 【例20】 考虑下列32 个数： 1!， 2! ， 3!， ， 32! ，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一 个完全平方数，划去的那个数是 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】

27、4 星【题型】填空 【解析】设这 32 个数的乘积为A 222 1! 2! 3!32!(1!)2(3!)4(31!)32A 2216 (1! 3!31!)(2432)(1! 3!31!)216! ， 所以，只要划去16! 这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数 另外，由于 16!16 15! ，而 16 也是完全平方数，所以划去15! 也满足题意 【答案】 16! 或 15! ，答案不唯一 【例21】 一个数的完全平方有39 个约数，求该数的约数个数是多少？ 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 4 星【题型】解答 【解析】设该数为 12 12 n aaa n ppp，那么它的平方就

28、是 12 222 12 n aaa n ppp， 因此 12 21212139 n aaa 由于 39139313， 所以， 1 213a， 2 2113a，可得 1 1a， 2 6a； 故该数的约数个数为116114 个； 或者， 1 2139a，可得 1 19a，那么该数的约数个数为19120 个 所以这个数的约数个数为14 个或者 20 个 【答案】 14 个或者 20 个 【例22】 有 一个不等于0 的自然数，它的 1 2 是一个立方数，它的 1 3 是一个平方数，则这个数最小 是 【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第9 题，

29、 5 分 【解析】设为 2 3 ab c（ c为不含质因子2，3 的整数），则它的 1 2 是 1 23 a c 是立方数，所以1a是 3 的倍数， b 是 3 的倍数， 另外它的 1 3 即 1 2 3 ab c是一个平方数，所以 a是偶数， b 是奇数，符合以上两个条件的a 的最小值为4， b 的最小值为3，这个数最小为432 专业文档 珍贵文档 【答案】 432 （3） 平方数的整除特性 【例23】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“ 美妙数 ” 。问所有 的小于 2008 的“ 美妙数 ” 的最大公约数是多少？ 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【

30、难度】 2 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第11 题， 10 分 【解析】 任何三个连续正整数，必有一个能为3 整除所以，任何“ 美妙数 ” 必有因子3 若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4 整除；若中间的数是奇数， 则第一和第三个数是偶数，所以任何“ 美妙数 ” 必有因子4 完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9 和 0，若其个位是 5 和 0，则中间的数必能被5 整除， 若其个位是1 和 6，则第一个数必能被5 整除， 若其个位是4 和 9， 则第三个数必能被5 整除所以， 任何 “ 美妙数 ” 必有因子 5 上述说明 “ 美妙数 ” 都有因子3、4、和

31、5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是 6060=3 45是一个 “ 美妙数 ” ，美妙数的最大公约至多是60所有的美妙数的最大公约数既不能大 于 60，又至少是60，只能是60。 【答案】 60 【例24】 证明：形如11，111，1111，11111，的数中没有完全平方数。 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】 2 星【题型】解答 【解析】略 【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4 余 1，偶数的平方能被4 整除现 在这些数都是奇数，它们除以4 的余数都是3，所以不可能为完全平方数 【例25】 记(1 23)(43)Snk，这里3n当 k

32、在 1 至 100 之间取正整数值时，有个不 同的 k，使得 S是一个正整数的平方 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】少年数学智力冬令营 【解析】一个平方数除以4 的余数是 0 或 1当4n时， S除以 4 余 3，所以 S不是平方数；当3n时， 49Sk，当 k 在 1 至 100 之间时， S在 13 至 409 之间，其中只有8 个平方数是奇数： 2 5 ， 2 7 ， 2 9 ， 2 11 ， 2 13 ， 2 15 ， 2 17 ， 2 19 ，其中每1个平方数对应 1 个 k，所以答案为8 【答案】 8 【例26】 能够找到这样的四个正整数

33、，使得它们中任意两个数的积与2002 的和都是完全平方数吗？若能够， 请举出一例；若不能够，请说明理由 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】 4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】因为偶数的平方能被4 整除，奇数的平方被4 除余 1，因此任一正整数的平方 2 n 被 4 除余 0 或 1 假设存在四个正整数 1234 nnnn、，使得 2 2002(12 3 4) ijn nmijij， ， ，又 2002 被 4 除余 2， 故 ijn n 被 4 除余 2 或 3 若 1234nnnn、中有两个偶数，如12nn、是偶数，那么12n n 是 4 的倍数，2002ijn n被 4 除

34、余 2， ， 所以不可能是完全平方数； 因此 1234 nnnn、中至多只有一个偶数，至少有三个奇数设 123 nnn、为奇数， 4 n 为偶数，那么 123 nnn、被 4 除余 1 或 3，所以 123 nnn、中至少有两个数余数相同如 12 nn、被 4 除余数相同，同 为 1 或 3，那么 12 n n 被 4 除余 1，所以 12 2002n n被 4 除余 3，不是完全平方数； 综上，2002 ij n n不可能全是完全平方数 【例27】 1351991的末三位数是多少？ 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】 5 星【题型】解答 【解析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相

35、当于1 35991的平方再乘以993995997999 的 专业文档 珍贵文档 末三位而993995997999993999995997 99300099399500099539930009939950002985 ， 其末三位为715105；然后来看前者它是一个奇数的平方，设其为 2 5k(k 为奇数 )，由于 2 22 52525251kkk， 而奇数的平方除以8 余 1， 所以 2 1k是 8 的倍数，则 2 251k是 200 的 倍 数 ， 设 2 251200km， 则 2 2 52525125200kkm， 所 以 它 与105的 乘 积 2 510525200105210002

36、625kmm，所以不论m 的值是多少，所求的末三位都是625 【答案】 625 【例 28 】 求所有的质数P，使得 2 41p与 2 61p也是质数 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】 5 星【题型】解答 【解析】如果5p，则 2 41101p， 2 61151p都是质数，所以5 符合题意如果P 不等于 5，那么 P 除 以 5 的余数为 1、2、3 或者 4， 2 p 除以 5 的余数即等于 2 1 、 2 2 、 2 3 或者 2 4 除以 5 的余数，即1、4、 9 或者 16 除以 5 的余数， 只有 1 和 4 两种情况 如果 2 p 除以 5 的余数为1，那么 2 41

37、p除以 5 的余 数等于 4 115 除以 5 的余数， 为 0，即此时 2 41p被 5 整除， 而 2 41p大于 5，所以此时 2 41p 不是质数； 如果 2 p 除以 5 的余数为4， 同理可知 2 61p不是质数， 所以 P 不等于 5， 2 41p与 2 61p 至少有一个不是质数，所以只有5p满足条件 【答案】 5 【例 29 】 古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他 们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10 文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结 果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第

38、二个人_ 文钱。 【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第15 题 【解析】 根据题意，设每头牛的价钱为10a+b（a、b 不同为 0，a、b 为自然数），因为题目中明显给出“每头 牛卖的钱数正好等于牛的头数”可知买牛人所得到钱数为： 2 22 10a+b10020aabb，由题意得 这个总数的十位数字必为奇数否则不会达到“平分这些羊，并且一个人得到一只大羊，第二个人得 到了那只小羊” ，而 2 10020aab 的十位必为偶数，所以只要看 2 b 的值，尝试得到只有16 和 36 满足 条件，所以小羊的价格应该为6，那么第一个人应该补给第二个人：1062=2 （文） 【答案】2文钱