数的整除之四大判断法综合运用(一).教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 1.了解整除的性质； 2.运用整除的性质解题； 3.整除性质的综合运用. 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2 或 5 整除，这个数就能被2 或 5 整除； 一个数的末两位能被4 或 25 整除，这个数就能被4 或 25 整除； 一个数的末三位能被8 或 125 整除，这个数就能被8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被3 整除，这个数就能被3 整除； 一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除，那么这个数能被11 整除 . 4. 如果一个整数的末三位与末三位以

2、前的数字组成的数之差能被7、11 或 13 整除，那么这个数能被7、11 或 13 整除 . 5.如果一个数能被99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个 数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除即如果c a， cb，那么 c(a b) 性质 2 如果数 a 能被数 b 整除， b 又能被数c 整除，那么a 也能被 c 整除即如果ba， cb，那

3、么 ca 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么a 也能被 b 或 c 整除即如果bca，那 么 ba，ca 性质 4如果数 a 能被数 b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数 c 互质，那么a 一定能被b 与 c 的乘积整除即如果ba， ca，且 (b，c)=1，那么 bca 例如：如果312，412，且 (3，4)=1，那么 (3 4) 12 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么am 也能被 bm 整除如果ba，那么 bmam（m 为非 0 整数） ； 性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数c 能被数 d 整除，那么ac 也能

4、被 bd 整除如果ba ，且 d c ，那 么 bdac； 模块一、 2、5 系列 【例 1 】975935972 ，要使这个连乘积的最后4 个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？ 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-2-1. 数的整除之四大判断法 综合运用（一） 专业文档 珍贵文档 【考点】整除之2、5 系列【难度】 2 星【题型】填空 【解析】积的最后 4 个数字都是0， 说明乘数里至少有4 个因数 2 和 4 个因数 5 9755539 ， 9355 187 ， 97222243，共有 3 个 5，2 个 2，所以方框内至少是22520 【答案】 22520 【例 2 】从 50 到

5、100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？ 【考点】整除之2、5 系列【难度】 4 星【题型】解答 【解析】首先， 50、60、70、80、90、100 中共有7 个 0其次， 55、65、85、95 和任意偶数相乘都可以产 生一个 0，而 75 乘以偶数可以产生2 个 0，50 中的因数5 乘以偶数又可以产生1 个 0，所以一共有 742114 个 0 【答案】 14 个连续的0 【例 3 】把若干个自然数1、2、3、 连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最 后出现的自然数最小应该是多少？ 【考点】整除之2、5 系列【难度】 4 星【题型】解答 【解析】乘

6、积末尾的零的个数是由乘数中因数2 和 5 的个数决定的，有一对2 和 5 乘积末尾就有一个零由 于相邻两个自然数中必定有一个是2 的倍数，而相邻5 个数中才有一个5 的倍数，所以我们只要观 察因数 5 的个数就可以了551，1052，1553，2054 ，2555，3056 ， ， 发现只有25、50、75、100、 这样的数中才会出现多个因数5，乘到 55 时共出现 11213 个因 数 5，所以至少应当写到55。 【答案】 55 【例 4 】11 个连续两位数的乘积能被343 整除，且乘积的末4 位都是 0，那么这11 个数的平均数是多少？ 【考点】整除之2、5 系列【难度】 4 星【题型

7、】解答 【解析】因为 3 3437 ，由于在11 个连续的两位数中，至多只能有2 个数是 7 的倍数，所以其中有一个必须 是 49 的倍数，那就只能是49 或 98又因为乘积的末4 位都是 0，所以这连续的11 个自然数至少应 该含有 4 个因数 5连续的11 个自然数中至多只能有3 个是 5 的倍数，至多只能有1 个是 25 的倍 数，所以其中有一个必须是25 的倍数，那么就只能是25、50 或 75所以这11 个数中应同时有49 和 50，且除 50 外还有两个是5 的倍数，只能是40，41，42， 43，44，45，46，47，48，49，50， 它们的平均数即为它们的中间项45 【答案

8、】 45 【例 5 】201202203300 的结果除以10 ，所得到的商再除以10 重复这样的操作，在第_ 次除以 10 时，首次出现余数. 【考点】整除之2、5 系列【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第7 题 【解析】 本题其实为求原式结果末尾有多少个连续的0 .0 由 5 和 2 相乘得到，最关键在于有多少个5. 能整除 1 次 5 的数有 205，210，215，220，230，235，240，245，255，260，265，270，280，285， 290，295 共 16 个，会乘出16 个连续的0； 能整除 2 次 5 的数有 225，275， 300

9、 共三个，会乘出6 个连续的0； 能整除 3 次 5 的数有 250，会乘出 3 个连续的0。 所以共有 166325 个连续的0，则能整除25 次 10，第 26 次首次出现余数。 【答案】 26 次 【例 6 】用 19 这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4 的倍数。这三个三位数中最 小的一个最大是。 【考点】整除之2、5 系列【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第8 题， 10 分 【解析】 三个数都是4 的倍数，个位必然都是偶数。当个位是2 或 6 时，十位是奇数，当个位是4 或 8 时， 十位是偶数。因为19 中只有 4 个偶数，

10、所以三个数中有两个的个位分别是2 和 6，另一个的后两 位是 84 或 48。因为三个数的百位都是奇数，所以最小的三位数的百位最大是5， (另两个分别是9 和 7)。9 已被百位占用，十位最大的是8，所以三个三位数中最小的一个最大是584。 注：另两个三位数可以是912，736 或 932，716 或 916，732 或 936，712。 专业文档 珍贵文档 【答案】 584 【例 7 】 若 4 232bcd，试问 abcd 能否被 8 整除 ?请说明理由 【考点】整除之2、5 系列【难度】 4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】由能被8 整除的特征知，只要后三位数能被8 整除即可 . 1

11、0010bcdbcd ，有 (42)9688(12)bcdbcdbcbc 能被 8整除，而 4 232bcd也能被 8 整除， 所以 abcd 能 被 8 整除 . 模块二、 3、9、99 系列 【例 8 】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 432 是 9 的倍数 . 请随便填出一种，并检查 自己填的是否正确。 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 1 星【题型】填空 【解析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是9 的倍数，即 4 32 是 9 的倍数，而 4329, 所以只需要两个方框中的数的和是9 的倍数依次填入3、6，因为 4332618 是 9 的倍数， 所以

12、43326 是 9 的倍数。 【答案】 43326（答案不唯一） 【巩固】若 9 位数 2008 2008 能够被 3 整除，则 里的数是 _ 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 1 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛， 2 题 【解析】 根据题目知 :20+ 是 3 的倍数 ,所以 里填 1 或 4 或 7. 【答案】1或4 或 7 【例 9 】一个六位数2727口口被 3 除余 l，被 9 除余 4，这个数最小是。 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第2 题， 8 分 【解析】 被 9 除余 4 的数被 3

13、除必余 1，所以只需考虑被9 除余 4 这个条件。这个数各个数位上的数字之和 除以 9 应余 4。所以框里面最小是04，六位数为： 204727. 【答案】 204727 【例 10 】 连续写出从1 开始的自然数，写到2008 时停止，得到一个多位数：123456789101120072008， 请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？ 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15 题 【解析】 因为连续 3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为2007 是 3的倍数，所以 1234567891011200

14、7 是 3的倍数，又因为 12345678910112007200812345678910112007000020071 ，所以 123456789101120072008 除以 3，得到的余数是1。 【答案】1 【例 11 】 试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差 一定能被9 整除 . 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 2 星【题型】解答 【解析】略 【答案】设原来的两位数为ab，则新的两位数为ba . ba ab(10)(10)9()baabba .因为 9()ba 能 被 9 整除，所以它们的差能被9 整除 . 【例 12 】 12

15、34567891011121314 20082009 除以 9，商的个位数字是_ 。 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第5 题 专业文档 珍贵文档 【解析】首先看这个多位数是否能为9 整除，如果不能，它除以9 的余数为多少。由于任意连续的9 个自 然数的和能被9 整除，所以它们的各位数字之和能被9 整除，那么把这9 个数连起来写，所得到 的数也能被9 整除。由于 200992232，所以 123456789101112131420082009 这个数除以 9 的余数等于20082009（或者 12）除以 9 的余数， 为 3. 那么

16、 123456789101112131420082009 除以 9 的商， 等于这个数减去3 后除以 9 的商， 即 123456789101112131420082006 除以 9 的商， 那么 很容易判断商的个位数字为4。 【答案】4 【例 13 】 证明 abcde 能被 6 整除，那么2()abcde 也能被 6 整除 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】 623 2|abcde 2|e 6|3e 3|abcde 3|a+b+c+d+e 6|2(a+b+c+d+e) 6|2(a+b+c+d+e)-3e 6|2（a+b+c+d）-e 【例 1

17、4 】 试说明一个5 位数，原序数与反序数的差一定是99 的倍数 (如： 12367 为原序数，那么它对应的反 序数为 76321，它们的差 6395499646是 99 的倍数 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】设原序数为abcde ，则反序数为edcba ，则 abcde edcba1000010001001010000100010010abcdeedcba()() 99999909909999abde 99 1011010101abde() 因为等式的右边能被99 整除，所以abcdeedcba 能被 99 整除 【例 15 】 1 至 9

18、 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和 逆时针次序形成两个九位数(例如，在 1 和 7 之间剪开， 得到两个数是193426857 和 758624391)如 果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少? 9 8 7 6 5 4 3 2 1 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 4 星【题型】解答 【解析】互为反序的两个九位数的差，一定能被99 整除而 396994，所以我们只用考察它能否能被4 整除于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4 整除，显然只有当剪开处两个数的 奇偶性相同时才有可能

19、注意图中的具体数字，有(3， 4)处、 （ 8，5)处的两个数字奇偶性均不相同， 所以一定不满足而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足进一步验证，有(9，3)处剪开的末两 位数字之差为431924，(4，2)，(2， 6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之 差为 62328 864244 ， 582632 ， 851768， 915734， 713932 所以从 (9， 3)，(4，2)， (2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396 的 倍数 (9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)， (5， 7)，(

20、1，9)处左右两个数的乘积为27，8， 12，48，35， 9 【答案】 27， 8，12， 48，35，9 专业文档 珍贵文档 【例 16 】 六位数 2008能被 99 整除， 是多少？ 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 3 星【题型】填空 【解析】方法一： 200008 被 99 除商 2020 余 28，所以0028能被 99 整除，商72 时， 99727128 ，末 两位是 28，所以为 71； 方法二： 99911 ， 2008能被 99 整除，所以各位数字之和为9 的倍数，所以方框中数字的和只 能为 8 或 17；又根据数被11 整除的性质，方框中两数字的差为6 或 5

21、，可得是 71. 方法三：根据一个数能被99 整除的特点知道：208=28是 99 倍数，所以=9928=71 【答案】 71 【巩固】六位2004 能被 99 整除，这个六位数是。 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第3 题， 10 分 【解析】 令整个六位数为2004ab ，则24ab必然是 99 的倍数，所以a=5,b=7。则这个六位数为520047。 【答案】 520047 【巩固】六位数 2003 能被 99 整除，它的最后两位数是。 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五

22、年级，复赛，第3 题， 4 分 【解析】 试除法 200399 99=202423，所以最后两位是99-23=76。 【答案】 76 【巩固】已知九位数 2007122既是 9 的倍数，又是11 的倍数；那么，这个九位数是多少？ 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】 2008 年，迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】方法一：设原数2007 12 2ab， 9| 2007 12 2ab4ab或者13ab， 11|2007 12 2ab 20a22 ( 0 71 b ) 0 或 者 ( 071 b ) (2202)a112ab或 者 9ba根据两数和差同奇偶，得

23、： 4 2 ab ab 3 1 a b 或者 13 9 ab ba 2 11 a b 不成立 .所以， 2007 12 2ab200731212. 方法二：根据一个数能被99 整除的特点知道若想2007122能被 99 整除，则207122 必能被 99 整除，列竖式分析得20731212才满足，所以答案为200731212 【答案】 200731212 【例 17 】 将自然数1，2， 3，4 依次写下去，若最终写到2000，成为 12319992000 ，那么这个自然数 除以 99 余几？ 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 由于 999 11 ，可以分

24、别求这个数除以9和 11 的余数，进而求出它除以99 的余数实际上求得这 个数除以9 和 11 的余数均为3，所以这个数减去3 后是 9 和 11 的倍数，那么也是99 的倍数，所以 这个数除以99 的余数为3 下面介绍另一种解法 由于 10099aaa ，所以 100a 除以 99 的余数等于a除以 99 的余数 同样， 10000a ，1000000a 等数除以99 的余数等于a除以 99 的余数可知，一个自然数a，如果在它后面加上偶数个0，那么 这个数除以99 的余数等于a除以 99 的余数 根据这一点， 可以把 12319992000 分成若干个后面带 有偶数个0 的数之和 由于 12

25、319992000 的位数是奇数， 那么对于组成12319992000 的一位数1， 2，3， ，9，可以分成10000 ， 230000， 450000， 670000 ， 890000 ；对于其中的 两位数 10，11，12， ，98，99，可以分成 100000，110000，120000 ， ， 980000， 990000； 对于其中的三位数100， 101， 102， 103， ， 998， 999， 两两一组，可以分成 1001010000 ， 1021030000，1041050000 ， ，9989990000 ；对于其中的四位数1000，1001， ，1999， 2000，

26、可以分成 10000000 ， 10010000 ， 10020000 ， ， 19990000 ，2000那么上面分成 专业文档 珍贵文档 的 所 有 数 中， 虽 然 每个数 后 面 的0 的 个 数互不相 同 ， 但都 是 偶 数个，且 它 们 的和 恰 好为 12319992000 ，那么 12319992000 除以 99 的余数就等于分成的这些数除以99 的余数的和由于 这些数除以99 的余数分别为1， 23，45，67，89；10，11，12， ，98，99；100101，102103， 104105， ，998999；1000，1001， ，1999，2000，而其中 1001

27、01，102103，104105， ， 998999 是公差为2002 的等差数列，共450 项，可知所有这些余数的和为： 12345678910111299100101102103998999100010012000 2 251 09 99 021 0 0 1 0 19 9 8 9 9 94 5 021 0 0 02 00 010 0 12 22549052472975001501500 248804130， 而 248804130 除以 99 的余数等于248804130201 除以 99 的余数，为 3 所以 12319992000 除以 99 的余数为3 【答案】 3 【例 18 】

28、一个五位数恰好等于它各位数字和的2007 倍，则这个五位数是 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第6题 【解析】 因为 2007 是 9 的倍数，所以，这个五位数一定是9 的倍数， 那么它的各位数字和一定是9 的倍数由 于五位数的各位数字之和最大为45，所以，可以从9、18、27、36、45 进行试值 如果数字和为9，那么这个五位数为9200718063 ，然而 18063 各位数字之和不为9，所以此时不 成立； 如果数字和为18，那么这个五位数为18200736126 ，36126 各位数字之和为18，所以此时成立； 如果数字和为2

29、7，那么这个五位数为27200754189 ， 54189 各位数字之和为27，所以此时成立； 如果数字和为36，那么这个五位数为36200772252 ，然而 72252 各位数字之和不为36，所以此 时不成立；如果数字和为45，那么这个五位数为45200790315 ，然而 90315 各位数字之和不为 45，所以此时不成立；综上可知，这个五位数为36126 或 54189 【答案】 36126 或 54189 【例 19 】 207 ， 2007 ， 20007 ，等首位是2，个位是7，中间数字全部是0 的数字中，能被27整除而不 被 81整除的最小数是。 【考点】整除之3、9、99 系

30、列【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第6 题， 10 分 【解析】 20 20007922223 nn个个 ，也就是要求出 2 22223 n个 能被 3整除但不能被9 整除的最小数是多少，该数 的各位数字之和为23n，当6n时，满足条件，也就是最小数是20000007 。 【答案】 20000007 【例 20 】 一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153 元，她知道实际收钱不会错，只能是记 账时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是_元。 【考点】整除之3、9、99 系列【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第18 题， 6 分 【解析】 说明账面比现金小数点右移了，若右移1 位，则增加9 位，恰好 153917 ，若右移了2 位，则增 加 99 倍，但 153不是 99的倍数，所以现金17 元。 【答案】 17