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1、 精品资料第十二章分式和分式方程1.了解分式的概念,掌握分式的基本性质,并能用其进行约分和通分.2.理解和掌握分式加、减、乘、除的运算法则,会进行简单的分式的加、减、乘、除的运算.3.了解分式方程的概念,会解一些简单的可化为一元一次方程的分式方程,懂得解分式方程可能产生增根,理解检验的必要性,并会进行检验.4.通过与分数的类比,学习分式的性质及其运算;能建立分式方程模型解决有关的实际问题.1.在判断分式的过程中,让学生会区分整式和分式.2.在了解分式的基本性质的基础上,掌握分式的约分和通分法则.3.能按照分式的四则运算法则进行分式的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧,会解分式方程并
2、进行检验.1.在认识分式的过程中,让学生体验知识之间的必然联系,体会类比思想的运用,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.培养学生养成认真仔细计算的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.本章主要内容是通过现实情境建立分式的概念,探索分式的基本性质,进行分式的加、减、乘、除运算,建立分式方程并解分式方程.分式的运算实质是转化为整式的运算来进行的,分式的通分与约分一般需要分解因式,因此,分式的运算是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步发展,也是学习分式方程、函数等内容的重
3、要基础.本章内容呈现方式及特点:(1)突出了模型的建立过程.教材通过用代数式表示现实问题中的数量关系,并对代数式进行分类、比较,建立起分式的概念;在与已学过的方程进行比较的过程中,抓住了知识的“生长点”,建立了分式方程的概念.本章突出了模型思想和建立模型的过程,降低了概念过分形式化的要求.(2)突出了“类比”过程,类比是合情推理的重要方式之一,是“发现”和“创新”的重要手段,也是解决问题的常用方法.本章让学生充分经历了与分数类比、提出猜想、获得分式的基本性质和运算法则的过程.(3)突出了“转化”过程,转化是解决问题常用的思想方法,教材在异分母分式的加减运算和解分式方程中都突出了转化的过程,进一
4、步使学生感悟数学思想,积累解决问题的经验.【重点】1.能用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的混合运算.2.能解可化为一元一次方程的分式方程.3.能用分式方程解决一般的实际问题.【难点】1.对分式概念及其基本性质的理解.2.能进行分式的约分、通分,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.1.让学生充分经历概念的形成过程,学生获得知识必须建立在数学思考的基础上,因此,对于分式、分式方程和分式方程的增根等概念,要创设情境,向学生提供充足的素材,促进数学思考的发展.教学中,还可以补充一些更具有现实性和挑战性的问题.2.分式的通分、约分和运算的教学,实际上是分式基本性质、运算法则的运用,应通
5、过适当的运算让学生进一步理解运算的意义,掌握算法,在理解算理的基础上选择适当的算法,不要追求训练的数量和技巧,不要增加繁难的计算题.3.解分式方程时,要理解去分母的目的和由此产生增根的原因,从而体会去分母的意义和对根进行检验的必要性.能解可化为一元一次方程的分式方程即可,不必增加难度和进行大量的训练.总之,本章的知识是传统的代数基本知识,但在知识的呈现方式上作了较大的改进,在教学要求上也有所不同.在教学过程中,不要认为知识太简单而不留给学生探索与思考的时间和空间,“一讲到底”.对每一个新知识的教学,要有与学生一起思考的活动,要有与学生一起探索的过程,要有与学生一起分享成功的喜悦.本教材内容严格
6、按照课程标准的要求,切实改变繁难偏旧的状况,教学时要把握教材的要求,不要随意增加例题和习题的难度,不要随意拔高要求,以免增加学生不必要的负担.12.1分式2课时12.2分式的乘除2课时12.3分式的加减2课时12.4分式方程1课时12.5分式方程的应用2课时回顾与思考1课时12.1分式1.了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分法则.经历与分数类比学习分式的过程,学会与他人合作,并获得代数学习的一些常用方法:类比转化、合情推理、抽象概括等.1.认识和体会特殊与一般的辩证关系,提高数学运用能力.2.通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分,推
7、测出分式、分式的基本性质及分式的约分,在学生已有数学经验的基础上,提高学生学数学的乐趣.【重点】分式的意义、分式的基本性质、最简分式和约分.【难点】分式的特点及要求;分子、分母是多项式的分式约分.第课时1.使学生了解分式的概念,明确整式和分式的区别,能用分式表示现实情境中的数量关系.2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.3.使学生能求出分式有意义的条件.4.使学生初步掌握分式的基本性质,并能用它进行分式的约分.启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.1.通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创新,体会分式的模型思想.2.通过分数与分式的
8、比较,培养学生良好的类比习惯和思想方法,并培养学生严谨的科学态度.【重点】1.分式的概念,分式有意义的条件.2.分式的基本性质.【难点】分式有意义的条件,分式的值为0的条件及分式的基本性质.【教师准备】相关课件.【学生准备】复习小学学过的分数和初中学习过的整式.导入一:某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品,现在比原来可多买多少盒?怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?盒.设计意图通过教材章前图,引导学生列出分式,感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.导入二:如果在一条公路上,同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的平均距离为d(米/辆),车辆
9、的平均速度为v(m/s),那么(辆/秒)叫做这条公路的同向行驶的车流量.问题:如果知道中两个字母所代表的数量,你能求出此时的车流量吗?设计意图通过教材中习题的车流量的情境,帮助学生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性和准确性.导入三:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.让学生讨论并填空:生:原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个
10、月.设计意图通过土地沙化问题,进一步丰富问题的实际背景,激发学生的求知欲望,让学生探索问题中的数量关系,并且体会保护人类生存环境的重要性.活动一:做一做感知分式过渡语(针对导入一)刚才我们列出的式子是不是整式呢?接下来我们就一起探究这个问题.(一)出示教材第2页做一做1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少?b(b0,分子与分母异号时,分式的值为负数,即x-20,x2.学生小组合作,并交流解析过程.故填2.设计意图尽管有一定的难度,但学生通过小组合作交流,没有畏惧感,发挥了
11、学生解决问题的主动性,使每个学生在探究中有所收获.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?,-,-,x2+y,解析区分整式与分式的标准就是看分母,分母中不含字母的是整式,分母中含有字母的是分式.解:整式有:,x2+y.分式有:,-,-.解题策略注意辨析一些特殊的代数式,如中是常数,故是整式;-容易看出是分式,是整式,类比“一个整数减去一个分数结果是分数”得出-是分式.x取什么值时,分式有意义?解:x-1且x-2时,分式有意义.解题策略要使分式有意义,应使分式的分母不为零,对(x+1)(x+2)0来说,欲使其成立,必须x-1,同时x-2,即x-1且x-2.方法提示只要分式中的分母不等于0,分式就有意
12、义.第课时1.类比分数的约分,理解分式约分的意义.2.会用分式的基本性质进行约分,掌握分式约分的方法与步骤.通过类比分数的约分,探索分式的约分法则,学会运用类比转化的思想研究数学问题.1.通过研究解决问题的过程,培养学生合作交流的意识与探究精神.2.通过对分式约分的探究,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣.【重点】运用分式的基本性质正确地进行分式的约分.【难点】约分时,最简公因式的确定.【教师准备】课件111.【学生准备】复习分数的约分和分式的基本性质.导入一:【课件1】怎样把分数,约分?你做这些题目的依据是什么?与相等吗?为什么?学生将,约分后,仿照分数约分的方法,根
13、据分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式2mn,得到.【教师点拨】分式化为,这样的分式变形过程就是分式的约分.导入二:【课件2】下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么?(1);(2).解:(1)式中的左边,分式的分子与分母都除以2a2b2,得到右式,这里a0,b0.(2)式中的左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)0.这种变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.【课件3】化简:(1),(2),并说出这是什么运算?运算的依据是什么?解:(1).(2).这种运算是分数的约分,运算的依据是分数
14、的基本性质.师:什么是分数的约分?约分的方法是什么?约分的目的是什么?生:把一个分数化为与它相等,但是分子、分母都比较小的分数,这种运算叫做分数的约分.对于一个分数进行约分的方法是:把分子、分母都除以它们的公约数(1除外).约分的目的是把一个分数化为最简分数.师:分式的约分和分数的约分类似,下面讨论分式的约分.导入三:同学们,想一想,对分数怎样化简?【课件4】思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的?(1)(y0);(2);(3).反过来,把一个分式的分子、分母都除以公因式之后,就完成了约分.下面我们先来看看分式的约分.(板书课题)设计意图按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容,为学习新知识做好
15、铺垫.在这个活动中,首先激活学生原有的知识,体现了学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.活动一:分式的约分和最简分式过渡语怎样进行分式的约分?分式的约分的依据是什么?思路一1.分式的约分分式能不能化简?如果能,那么化简的依据是什么?化简的结果又是什么?教师指导学生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分.展示【课件5】教师根据学生化简的过程进行讲解.归纳:(1)分式约分的依据是根据分式的基本性质.(2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分子、分母都是多项式时,又如何找公因式?生讨论回答后总结:约分的步骤:
16、先找分子与分母中的公因式.分子与分母同时除以公因式.公因式的确定方法:当分子与分母都是单项式时,所分离出的公因式的系数应是分子系数与分母系数的最大公约数,字母因式是分子、分母相同字母的最低次幂的乘积.当分子与分母都是多项式时,应先分别进行因式分解,再找出它们的公因式.进一步理解以上几句话【课件6】找出下列分式中分子与分母的公因式(口答):(1);(2);(3);(4);(5).2.最简分式学生思考并交流:如果几个分式约分后,分别得到了,这几个分式有什么特点?还能继续约分吗?生交流讨论后回答:不能再约分了.师总结:这几个分式的分子与分母,除1以外没有其他的公因式,不能继续约分了,这样的分式叫最简
17、分式.即分子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.【课件7】在化简分式时,小颖和小明的做法出现了分歧:小颖:;小明:.你对他们俩的解法有何看法?说说看!引导学生分析得出小颖在化简时,没有化成最简分式,她的做法是错误的.思路二【课件8】我们观察:(1)(b0);(2)(a+b0).这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论回答)生:(1)式分子与分母同乘3b,(2)式分子与分母同乘(a+b),根据的是分式的基本性质.师:将以上两个式子倒过来,又是怎样变形的?根据的是什么?生:(1)式分子与分母同除以3b,(2)式分子与分母同除以(a+b),根据的是分式的基本性质.我们把以上
18、两式由右到左的变形过程叫分式的约分.(1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式.由以上的学习过程,学生总结约分的定义(小组讨论回答):利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.强调:分式约分的依据:分式的基本性质.分子、分母(除1以外)没有公因式的分式,叫做最简分式.【课件9】是最简分式.这种说法对吗?为什么?解:不正确.因为分式的分子和分母还能约分,即分子与分母中含有公因式a,所以不是最简分式.知识拓展分式的化简,就是把复杂的分式化为整式或最简分式,分式的约分是根据分式的基本性质,约去分子、分母中的公因式,最终变为整式或最简分式.活动二:例题讲解过
19、渡语掌握了分式约分和最简分式的概念,明确了分式约分的目的就是把分式化成最简分式或整式.下面我们来做几道例题,共同来巩固一下约分的方法.【课件10】约分:(1);(2);(3).教师引导学生发现:确定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积;分式约分的最后结果应为最简分式或整式,即分子、分母(除1以外)没有公因式.学生先练,教师再根据情况指导.解:(1).(2).(3).方法归纳(1)如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子与分母的公因式;(2)如果分式的分子、分母是多项式,那么能因式分解的先因式分解,由此找出公因式,再进行约分.(3)约分后,分子与分母(除1
20、外)不能再有公因式.【课件11】教材第6页“做一做”指导学生分别用直接代入求值和化简后代入求值这两种方法解答,并比较哪种方法简单.【拓展延伸】约分,为了把上述分式约分,应该先确定分式的分子与分母的公因式,那么分式的分子与分母的公因式是什么?师:因为分式的分子与分母都是单项式,所以取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数,把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式.解:=-=-.师:分子或分母的系数是负数时,一般先把负号移到分式本身的前边,这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号,所以分式的值不变.设计意图通过具体实例让学生归纳出约分的具体步骤,明确在进行分式约分时,关键是
21、确定分子和分母的公因式.1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.(2)如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑把它分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.2.最简分式:判断一个分式是不是最简分式,关键是确定其分子和分母(除1以外)是否有公因式.3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式.分式约分时要注意正确运用乘方的符号法则,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.1.化简的结果是()A.B.C.D.解析:.故选A.2.下列约分正确的是()A.
22、=x3B.=0C.D.解析:A.=x4,故A选项错误;B.=1,故B选项错误;C.,故C选项正确;D.,故D选项错误.故选C.3.下列分式是最简分式的是()A.B.C.D.解析:A.不能约分,是最简分式,B.,C.,D.=-1.故选A.4.下列各式中,正确的是()A.=2B.=0C.=1D.=-1解析:A.=2,故此选项正确;B.,故此选项错误;C.=-1,故此选项错误;D.=1,故此选项错误.故选A.5.将下列分式约分.(1);(2);(3);(4).解析:(1)根据分式的基本性质,分子、分母同时除以5a2bc;(2)约去分子、分母的公因式(a+b)即可;(3)先把分子中的(a-x)2转变成
23、(x-a)2,再约分即可;(4)根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解,再约分即可.解:(1)=-.(2)=-.(3).(4).6.在给出的三个多项式:x2+4xy+4y2,x2-4y2,x2+2xy中,请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式,并进行化简运算.解析:任意选出两个多项式,一个作为分子,另一个作为分母,进行因式分解,再约分即可.解:(本题答案不唯一)选x2+4xy+4y2作分子,x2-4y2作分母,则.第2课时活动一:分式的约分和最简分式(1)把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.(2)分式的分子、分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.活动二:例题讲解例题一、
24、教材作业【必做题】1.教材第6页练习第1,2题.2.教材第6页习题第1题.【选做题】教材第6页习题第2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列式子是分式且不能再约分的是()A.B.C.D.2.下列各式不成立的是()A.=-bB.C.=2ab2D.=a+b3.化简的结果是()A.B.C.D.4.下列各分式变形正确的是()A.B.=a+bC.=1-aD.【能力提升】5.当x0时,的化简结果是()A.x2-1B.x2+1C.-x2-1D.-x2+16.约分.(1);(2);(3);(4).7.若,求2a-3b的值.【拓展探究】8.将分式约分,再讨论x取哪些整数时,能使分式的值是正整数?【答案与解析】
25、1.C(解析:A.=x,能约分;B.不是分式;C.分式的分母与分子中除1以外没有公因式,不能进行约分;D.=x+y,能约分.)2.A(解析:A.原式=a-b,此选项错误.)3.D(解析:.)4.C(解析:A.,故本选项错误;B.是最简分式,不能化简为a+b,故本选项错误;C.正确;D.=-,故本选项错误.)5.C(解析:因为x0,所以=-x2-1.)6.解:(1).(2).(3)=3a+b.(4).7.解:,即2a=3b,所以2a-3b=0.8.解:,当x=-1,0,3,8时,分式的值是正整数.本节课体现了学生是学习的主人,学习了类比的思想方法,培养了学生语言表达和概括知识的能力.在分数约分的
26、基础上,学习分式约分的方法.这一过程由学生自己学习、归纳,这样学生可以把新旧知识联系起来,学起来也不觉得困难,从而激起学生学习的积极性.高估了学生的基础,部分学生求最大公约数不会,造成约分时学生对公因式的确定还不够准确.针对一些对分数约分困难的学生,给予帮扶,为进一步学习分式的约分奠定基础,另外教师在讲分式约分前应先花一段时间复习因式分解,使得基础比较差的学生学习新知识时能较容易接受.练习(教材第6页)1.解:(1)正确.(2)不正确,应为.(3)不正确,应为.(4)正确.2.解:(1).(2).(3).习题(教材第6页)1.解:(1).(2)=-.(3)=x-3.(4).(5).(6).2.解:.当x=2,y=3时,原式=.3.解:=(3ab)(6ab)=12,所以小三角形与大三角形的面积比为12.化简.(1);(2).解:(1)原式=.(2)原式=.解题策略本题考