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1、- 1 - （空一行） 待定系数法在中学数学解题中的应用（三号黑体，居中） 副标题（若有）四号黑体，居中，副标题前面以破折号“”开头 广东石油化工学院高州师范学院302 数学（2）班苏奕婷 （空一行） 【摘要】待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数 学解题中广泛使用，特别是有些问题，用待定系数法更简捷明了。文章简 单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤，重点论述了待定系 数法在中学数学解题中的应用。 （四号楷体， 15 倍行距） 【关键词】待定系数法多项式恒等应用（四号楷体） （空两行） （注意：以下正文内容均为1.5 倍行距，除标题外均为小四宋体， ） 做任何事情都要讲
2、究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学 问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。波利亚说过： “解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。” 待定系数法是中学数学中的一种常用的解题方法，它在中学数学中起着至关重要的 作用，其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，因此，认真学好并掌 握待定系数法将大有裨益。下面就待定系数法在中学数学解题中的应用进行论述。 一、对“待定系数法”的概述（四号黑体） 1待定系数法的概念及其理论依据（小四仿宋） 待定系数法是指利用已知条件确定一个解析式或某一个数学表达式中的待定参数 的值，从而得
3、到预期结果的方法。更广泛地说，是要确定变量间的函数关系，设出某些 未知数，然后根据所给条件来确定这些未知数，使问题得到解决的方法。其理论依据是 多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x) 的充要条件：对于一个任意的a 值，都有 f(a)=g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 2待定系数法的解题步骤（小四仿宋） 利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，使用待定系数法， 四号黑体 四号黑体 四号楷体， 居中 - 2 - 就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数， 转化为方程组来解决， 要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题，是否
4、具有某种确 定 的 数 学 表 达 式 ， 如 果 具 有 ， 就 可 以 用 待 定 系 数 法 求 解 。 例 如 ： 分 解 因 式 x 2-2xy+y2+2x-2y-3。先看多项式中的二次项 x 2-2xy+y2，可以分解成（ x-y）(x-y)，则： 若多项式能分解成两个关于x、y 的一次因式的乘积，那么这两个因式必定是（x-y+m） (x-y+n)的形式，其中 m，n 为待定系数，根据两个多项式恒等，它们的对应项的系数就 对应相等，求出 m 和 n 的值，多项式便能分解。 所以，使用待定系数法解题的一般步骤可归纳为： （1）确定所求问题含待定系数的解析式； （2）根据恒等条件，列出
5、一组含待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 二、待定系数法在解题中的应用（四号黑体） 待定系数法在解题中的应用非常广泛，在使用待定系数法时，要注意所设的形式是 否正确或适合题意，还要注意设系数时，待定的系数要尽量少，以简化计算。 1在分解因式中的应用（小四仿宋） 因式分解是中学数学的一个重要的恒等变形问题。一般分解因式的方法有提取公因 式、应用公式法、十字相乘法等等，但遇到一些复杂的多项式，如：没有公因式的多项 式或提出公因式后所得的多项式，不能用一般方法分解时，这时，尝试用待定系数法， 问题就简单了。 例 1：分解因式 3x 2+5xy-2y2+x+9y-4 解
6、：由于 3x 2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y) 故可设 3x 2+5xy-2y2+x+9y-4 =(3x-y+a)(x+2y+b) =3x 2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab 比较两边系数，得 a+3b=1 (1) 2a-b=9 (2) ab=-4 (3) 由（1） ， （2）联立得 a=4，b=-1，代入（ 3）式适合。 - 3 - 所以，原式 =(3x-y+4)(x+2y-1) 在分解复杂的多项式时，主要是根据两多项式f(x)g(x)，则它们同次的对应项系 数一定相等，利用这个结论将因式分解的问题转化为解方程组，即求待定系数的问题来 解决。 2 在求数列通
7、项公式中的应用（小四仿宋） 数列问题的解决过程是问题的不断变换和数学思想方法灵活运用的过程，求数列通 项公式的方法灵活多样，对于特殊数列（等差或等比），可直接设出其通项公式，根据 已知条件，运用待定系数法，问题就变得简单了。 例2 ： 已 知 数 列 an 的 通 项an=n(n+1) 2 ， 是 否 存 在 等 差 数 列 bn, 使 an=1b1+2b2+3b3+nbn对一切自然数 n都成立，并说明理由。 分析：题目给出的条件是等式，等差数列bn 具有确定的形式，可设bn=a1+(n-1)d 或 bn=pn+q，这两者是等价的，可利用待定系数法，根据题目条件看参数a1,b 或 p,q 的
8、值是否存在。 解：假设等差数列 bn，使 an=1b1+2b2+3b3+nbn 对一切自然数 n 都成立。 设 bn=pn+q（p,q 为待定系数），则 n(n+1) 2=1 (p+q)+2 (2p+q)+n(np+q) 令 n=1,得 p+q=4 (1) 令 n=2,得 5p+3q=18 (2) 由（1） （2）联立，解得 p=3,q=1，故 bn=3n+1 但这样得到的 bn只是必要条件，也就是还必须证明其充分性，需要用数学归 纳法证明： 对一切自然数 n，等式： 14+2 7+3 10+n(3n+1)=n(n+1) 2 成立. 这样一道难题的成功解出，带给人无限的享受，简单而又巧妙的解法
9、更让人体会 到数学海洋中挖掘不尽的美所带来的美感，在解题时应注意观察分析题目，巧用数学 解题方法。 3在解方程中的应用（小四仿宋） 解方程是中学课本的一个重要内容， 通常是按照解方程的步骤， 但在解某些方程（特 别是高次方程）时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化。 例 3：已知三次方程x 3-6x2+11x-6=0, 有一根是另一根的 2 倍，解该方程。 解：设该方程的三根分别为a,2a,b ，则有 - 4 - x 3-6x2+11x-6=(x-a)(x-2a)(x-b) 左右分别展开，并把相同的系数作比较，可得: -3a-b=-6 2a+3ab=11 解得： a=1,b=3 -2a
10、2b=-6 所以该方程的根分别为：x1=1,x2=2,x3=3. 4在求函数解析式中的应用（小四仿宋） 求函数解析式的方法较多，常常用到待定系数法，如何简捷地运用待定系数法呢？ 应根据题意灵活运用，但要注意自变量的取值范围。 例 4：已知 f(x)为二次函数，且 f(2x+1)+f(2x-1)=16x 2-4x+6,求 f(x) 。 解：根据题意，设f(x)=ax 2+bx+c (a 0) f(2x+1)=a(4x 2+4x+1)+b(2x+1)+c f(2x-1)=a(4x 2-4x+1)+b(2x-1)+c f(2x+1)+f(2x-1)=8ax 2+4bx+2a+2c 由已知得， 16x
11、 2-4x+6=8ax2+4bx+2a+2c 8a=16 a=2 4b=-4 解得 b=-1 2a+2c=6 c=1 f(x)=2x 2-x+1 求函数解析式，主要是由已知条件，依靠知识、经验背景等，确定选用合适的表 达式，根据多项式恒等原理，求出待定系数。 5 在几何中的应用 （小四仿宋） 待定系数法是解决几何问题的常用方法，确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x、y 的系数与常数， 我们常常先设它们为未知数， 然后设法将已知的几何条件转化成代 数形式后代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线 方程的有效方法，在含参数的曲线方程中，参数值确定，方程随之确定。 例
12、5：求过三点 O(0,0) 、M1(1,1) 、M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆 心坐标。 解：设所求的圆的方程为 x 2+y2+Dx+Ey+F=0 - 5 - 用待定系数法，根据所给条件，来确定D,E,F 因 O,M1,M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面 的方程，得到关于D,E,F 的三元一次方程组： F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解这个方程组得 D=-8,E=6,F=0 于是得到所求圆的方程为：x 2+y2-8x+6y=0. 圆的半径 r= 2 1 FED4 22 =5 圆心坐标是 (4,-3)。 6 可用于证明 （小四仿
13、宋） 证明是中学数学的重要内容，由于证明题的类型、形式的多样性，所以证明方法 大相径庭，善于观察、分析题目的结构特点，发挥条件与结果之间的内在联系，联想有 关的知识，采用灵活多样的技能技巧，使用简捷的方法（例如：待定系数法）是证明的 关键。 例 6：已知多项式 x 3+bx2+cx+d 的系数都是整数，若 bd+cd 是奇数，证明这个多项 式不能分解为两个整系数多项式的乘积。 证明：设 x 3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r) =x 3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr ( 其中 p,q,r均为整数 ) 比较两边系数，得pr=d 又 bd+cd=d(b+c) 是奇数，故 b+
14、c 与 d 均为奇数，那么pr 也是奇数，即 p 与 r 也是奇数 因为多项式为恒等式，令x=1 代入，得 1+b+c+d=(1+p)(1+q+r) (1) b+c,d 为奇数， 1+b+c+d也为奇数，而 p 为奇数 , 1+p为偶数， (1+p)(1+q+r)为奇数， 这说明等式（ 1）的左端为奇数，右端为偶数，这是不可能。 - 6 - 所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积。 三、总结 （四号黑体） 1待定系数法是数学中解决问题的一种基本思考方法，从上面的六种类型可以得 出：列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面分析： （1）利用对应系数相等列出方程； （2）由恒等的概念用数值代
15、入法列方程； （3）利用定义本身的属性列方程； （4）利用几何条件列方程。 2数学方法是数学学习过程中对数学知识的内在联系和本质的认识，具有抽象性 和概括性，正确使用数学方法，在数学解题中特别重要，它能促进我们掌握数学规律， 待定系数法除了应用于以上六种类型，还可以应用于求函数值，将分式展开化为部分分 式，解应用题等等，解题的主要规律可以概括为：“待定系数定义要记清，已知与未知 须探明，一定选好表达式，方法合理过程畅。选参、引参用好参，代入消元巧转换，待 定系数为常法，列出等式是关键，理清关系思路开，一点破译全局活。” 参考文献：（小四黑体） 1李庆社， “浅谈函数解析式的求法” ， 中学生数理化，2005 年第 5 期，8 至 9 页。 2刘诗雄、罗森元，初中数学竞赛跟踪辅导 ，华中师范大学出版社， 1992 年 35 页。 3余元希、田万海、毛宏德， 初等代数研究，高等教育出版社， 1998 年， 9 至 18 页。 （小四楷体）