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1、知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义 【例 2】若式子 1 3x 有意义，则x 的取值范围是 举一反三： 1、使代数式 2 21x x 有意义的 x 的取值范围是 2、如果代数式 mn m 1 有意义，那么，直角坐标系中点P（m ，n）的位置在（） A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 【例 3】若 y= 5x + x5 +2009，则 x+y= 解题思路：式子 a （a0）， 50 , 50 x x 5x ，y=2009，则 x+y=2014 举一反三：1、若 11xx 2 ()xy ，则xy
2、的值为（） A 1 B1 C2 D3 3、当a取什么值时，代数式 21 1a 取值最小，并求出这个最小值。 已知 a 是 5 整数部分， b 是 5 的小数部分，求 1 2 a b 的值。若 17 的整数部分为x，小数部分为y，求 y x 12 的值 . 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. ()()aa a 2 0 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式： 3. aa a a a a 2 0 0 | | () () 注意：（ 1）字母不一定是正数
3、（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式aa a a a a 2 0 0 | | () () 与()()aa a 2 0的区别与联系 （1） a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2）( )a 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负 数 （3） a 2 和( )a 2 的运算结果都是非负的 【典型例题】 【例 4】若 2 2340abc，则cba 举一反三： 1、已知直角三角形两边x、y 的长满足 x 24 65 2 yy 0，则第三边长为. 2、若
4、1ab与 24ab 互为相反数，则 2005 _ab。 （公式 )0()( 2 aaa 的运用） 【例 5】 化简： 2 1(3)aa的结果为（） A、42a B 、0 C、2a4 D 、4 举一反三：3 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ，则斜边长为 （公式 )0a(a )0a(a aa 2 的应用） 【例 6】已知2x,则化简 2 44xx 的结果是 A、2x B、2xC 、2xD 、2x 举一反三：2、化简 2 2 44123xxx 得（） （A）2 （B）44x（ C） 2 （D）44x 3、已知 0a ，化简求值： 22 11 4()4()aa aa 【例 7】如果表示 a
5、，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 2 ()ab 的结果等于（） A 2b B2b C 2a D2a 举一反三： 实数a在数轴上的位置如图所示：化简： 2 1(2)_aa 【例 8】化简 2 1816xxx 的结果是 2x-5 ，则x的取值范围是（） （A）x为任意实数（B）1x4 （C）x1 （D）x1 举一反三： 若代数式 22 (2)(4)aa 的值是常数 2 ，则a的取值范围是（） 4a 2a 2 4a 2a 或 4a 【例 9】如果 11a2aa 2 ，那么 a 的取值范围是（） A. a=0 B. a=1 C. a=0或 a=1 D. a1 举一反三： 1、如
6、果 2 693aaa 成立，那么实数a 的取值范围是（） .0.3 ;.3 ;.3A aBaCaDa 2、若 03)3( 2 xx ，则x的取值范围是（） （A ）3x（B）3x（C）3x（D）3x 【例 10】化简二次根式 2 2 a a a 的结果是 （A ） 2a (B) 2a (C) 2a (D) 2a 1、把根号外的因式移到根号内：当 b0 时，x x b ； a a 1 1 ) 1( 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式 2、同类二次根式（可合并根式）：
7、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例 11】下列根式中能与 3 是合并的是 ( ) A. 8 B. 27 C.2 5 D. 2 1 举一反三： 1 0 12 a oba 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（） A 、 318和 B 、 1 3 3 和 C、 22 a bab和 D 、 11aa和 2、如果最简二次根式 83a 与 a217 能够合并为一个二次根式, 则 a=_. 知识点四：二次根式计算分母有理化 【知识要点】 1分母有理化 定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2有理化因式：
8、两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用 aaa 来确定，如： aa与 ， abab与 ， ba 与 ba 等分别互为有理化因式。 两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 ab 与 ab ， abab与 ，a xbyaxby与 分别互 为有理化因式。 3分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例 12】 把下列各式分母有理化 （1） 25 25 ab ba （2） 53
9、53 举一反三： 1、已知 23 23 x ， 23 23 y ，求下列各式的值：（1） xy xy （2） 22 3xxyy 知识点五：根式比较大小 【知识要点】 1、根式变形法当0,0ab时，如果 ab，则 ab ；如果 ab，则 ab 。 2、平方法当0,0ab时，如果 22 ab ，则ab；如果 22 ab ，则ab。 3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：0abab； 0abab
10、 8、求商比较法 它运用如下性质：当a0，b0 时，则：1 a ab b ；1 a ab b 【典型例题】 【例 13】 比较 3 5 与 5 3 的大小。【例 14】比较 2 31 与 1 21 的大小。 【例 15】比较 76 与 65 的大小。【例 16】比较 73 与 873 的大小。 已知：，求的值 二次根式和一元二次方程经典练习题 1. 把 1 a a 的根号外的因式移到根号内等于。 2. 若 1ab 与 24ab 互为相反数，则 2005 _ab。 3. 若23a，则 22 23aa等于（） A. 52a B. 12a C. 25a D. 21a 4. 若1a，则 3 1a化简后
11、为（） A. 11aa B. 11aa C. 11aa D. 11aa 5. 计算： 22 2112aa的值是（） A. 0 B. 42a C. 24a D. 24a或42a 6. 若 x 2 4y 2 x 2y成立，则 x、y 符合的条件是（ ） A. x0，y0 B. x0，y 为一切实数 C. x0，y0 D. 以上都不对 7. 若 2 2 m n 和 322 3 mn 都是最简二次根式，则_,_mn。 8. 已知0xy，化简二次根式 2 y x x 的正确结果为（） A. y B. y C. y D. y 9. 若12x，则 22 4421xxxx化简的结果是（） A. 21x B.
12、21x C. 3 D. -3 10. 若 2 18210 2 x xx x ，则x的值等于（） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 11. 若 3的整数部分为x，小数部分为y，则3xy的值是（ ） A. 3 33 B. 3 C. 1 D. 3 12. 若最简二次根式 1 25 a a与34ba是同 类二次 根式， 则_,_ab。若最简二 次根式 2 3 41 2 a与 22 61 3 a是同类二次根式，则_a。 13、以 - 3 和 7 为根且二次项系数为1 的一元二次方程是 14、如果512 22 mxmx是一个完全平方式，则m_ 15、已知 12 xx，是一元二次方程 22 4(35)
13、60xmxm的两个实数根，且 2 3 | 2 1 x x ，则 m=_ 16、已知 12 xx，是方程0444 2 aaxax的两实根，是否能适当选取a 的值，使得 )2)(2( 1221 xxxx的值等于 4 5 _ 17、关于 x 的二次方程 )0(04) 1(2 2 mxmmx的两根一个比1 大，另一个比1 小，则 m 的取值范围是 _ 18、已知二次方程 010) 32( 2 kxkkx 的两根都是负数，则k 的取值范围是 _ 19、方程04) 1(2 22 mxmx的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21，那么 m = _ 20、一元二次方程05 2 kxx的两实根之差是3，则
14、_k 21、已知实数 x满足0 11 2 2 x x x x，那么 x x 1 的值是（） （A）1 或- 2 （B）- 1 或 2 （C）1 （D）- 2 22、关于 x的方程022 2 ttxx的两实根满足2) 1)(1( 21 xx，则 1 1 4 t t 的值是（） （A）- 5 （B）5 （C）- 9 （D）-15 23、已知 a、b、c为 ABC的三边，试判断关于x的方程)(02)( 2 cbcbaxxcb的根的情况 24、已知 12 xx，是关于 x 的方程0)4( 4 12 kkkxx的两个实根， k 取什么值时， 12 37 (2)(2) 4 xx 25、已知关于 x的方程
15、22 0xkxkn 有两个不相等的实数根 1 x、 2 x，且 1212 (2)8(2)150xxxx （1）求证：0n （2）试用k的代数式表示 1 x （3）当3n时，求k的值 26、已知： 21 xx、是关于x的方程 22 210xaxa的两个实数根且 12 2211xx，求a的值 27、已知关于x的一元二次方程 2 41210xmxm （1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根（2）若方程两根为 21 xx 、，且满足 12 111 2xx ，求m的值 28、已知关于x的方程01 4 1 )1( 22 kxkx的两根是一个矩形两邻边的长（1）k取何值时，方程在两个实数根；（2） 当矩形的对角线长为 5时，求k的值 29. 20002001 3232_。 30. 计算及化简： . 2ababab abab （2） 2aabbaba abaabbabbab 31、已知： 3232 , 3232 xy ，求 32 43223 2 xxy x yx yx y 的值。 32、已知： 1 110a a ，求 2 2 1 a a 的值。 33、已知：, x y为实数，且 113yxx ，化简： 2 3816yyy。 34、已知 1 1 0 3 93 2 2 y x x xyx ，求的值。