江西省2013届高考压轴卷数学理试题.pdf

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1、- 1 - 江西省 2013届高考压轴卷数学理试题 本试卷分第I 卷和第 II 卷两部分考试时间120 分钟，满分150 分请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、 写在答题纸上 参考公式 ： 如果事件A、B 互斥，那么棱柱体体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) VSh 如果事件A、B 相互独立，那么其中 S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥的高 P(A B)=P(A) P(B) 棱台的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P， 1 3 VSh 那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率棱台的体积公式 knkk nn PPCkP)1 ()( 1122 1 () 3 VSh SS SS

2、 球的表面积公式其中 12 ,S S分别表示棱台的上、下底面积， 2 4 RSh 表示梭台的高 球的体积公式 3 3 4 RV球 其中 R 表示球的半径 第 I 卷 一、选择题：本大题共10 小题 , 每小题5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求 的 （1）已知全集UR，集合12Mx x，则 UM e （ A）13xx(B) 13xx (C) 13x xx， 或(D) 13x xx， 或 (2) 已知 2i i( ,) i a ba bR，其中i为虚数单位，则ab (A)1(B)1 (C)2 (D)3 (3)在空间，下列命题正确的是 （ A）平行直线的平行投影重

3、合（B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行 （4）设( )f x为定义在R上的奇函数，当0x时，( )22 x f xx b(b为常数 )，则( 1)f (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3 (5)已知随机变量服从正态分布 2 (0,)N,若(2)0.023P，则( 22)P (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977 - 2 - E D CB A （6）样本中共有5 个个体，其值分别为,0,1,2,3a.若该样本的平均值为1，则样本方差为 （A） 6 5 (B) 6 5 (C)2(D)2 (7

4、)由曲线 3 ,yx yx围成的封闭图形面积为 Www. .com （ A） 1 12 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 7 12 (8) 设数列 n a是等比数列，则“ 123 aaa” 是数列 n a是递增数列的 (A) 充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 (9) 设变量,x y满足约束条件 20 5100 80 xy xy xy ，则目标函数34zxy的最大值和最小值分别为 (A)3, 11(B)3, 11(C)11, 3(D)11,3 (10) 定义平面向量之间的一种运算“” 如下，对任意的a=(m,n)，bp,q)（ ，令

5、ab=mq-np，下面说法错误的是（） A.若a与b共线，则ab=0B.ab=ba C.对任意的R，有a)b= (（ab)D. 2222 (ab) +(ab) =|a|b| 第 II 卷 二、填空题 : 本大题共5 小题 , 每小题 5 分 , 共 25 分 (11) 已知展开式 6 610 6 ) 1(xaxaax，则 06 aa的值为 (12) 函数( )sinsin() 3 f xxx的最小正周期为 (13) 如图，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为面积等于2的等腰直角三 角形，则该几何体的体积为 (14) 已知 n a是一个公差大于0 的等差数列，且满足16,55 726

6、3 aaaa.令 1 4 2 1n n a b )(Nn， 记数列 n b的前n项和为 n T，对任意的 nN ，不等式 100 n m T恒成立，则实数m的最小值是. (15) 若不等式 2 11axbxc的解集为 ( 1,3)，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本题满分11 分） 如图，在 ABC 中， ADBC ，垂足为 D，且 :2:3: 6BDDCAD - 3 - （）求 BAC 的大小； （）设E为AB的中点，已知 ABC的面积为 15，求 CE的长 17 （本题满分11 分）现有4 个人去参加春节联欢活

7、动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味 性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1 或 2 的人去参加甲 项目联欢，掷出点数大于2 的人去参加乙项目联欢. （I）求这 4 个人中恰好有2 人去参加甲项目联欢的概率； （II ）求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率； （III ）用 ,X Y 分别表示这4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记 XY ，求随机变量的分布列与 数学期望 E . 18 （本题满分11 分）如图，在三棱锥 ABCD 中， 90ABCBCDCDA ， 6 3,6ACBCCD ， 设顶点A

8、在底面 BCD 上的射影为E （）求证 : CEBD ； （）设点 G 在棱 AC 上，且 2CGGA ， 试求二面角 CEGD 的余弦值 19 （本题满分14 分）如图，在矩形 ABCD 中， 8,4,ABBCE F G H 分别为四边的中点，且都在坐标轴 上，设 OFOP , )0(CFCQ （）求直线EP与 GQ 的交点M的轨迹的方程； （）过圆 222 xyr(02)r 上一点 N 作圆的切线与轨迹交于 ,S T 两点， y xo M Q P H G F E D C BA A G E D C B - 4 - 若 0 2 rNTNS ，试求出r的值 20 （本题满分14 分）已知函数 2

9、 ( )2lnfxxax （）若 4a ，求函数 ( )f x 的极小值； （）设函数 ( )cos2g xx ，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量 (1,2,3) i x i 使得 ()() ii f xg x 的 值相等，若存在，请求出 a的范围，若不存在，请说明理由？ 21、 （本题满分14 分） 对于给定数列 n c，如果存在实常数,pq使得 1nn cpcq对于任意 * nN都成立， 我们称数列 n c 是“T数列 ” （） 若nan2 ，3 2 n n b， * nN ，数列 n a、 n b是否为 “T数列 ” ？若是， 指出它对应的实常数,p q， 若不是，请说明理由；

10、（）证明：若数列 n a是“T数列 ” ，则数列 1nn aa也是 “T数列 ” ； （）若数列 n a满足 1 2a，)(23 * 1 Nntaa n nn ，t为常数求数列 n a前2013项的和 江西省高考压轴卷数学（理）试题 参考答案 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分 （1）已知全集UR，集合12Mx x，则 UM e （ A）13xx(B) 13xx (C) 13x xx， 或(D) 13x xx， 或 【答案】 C 【解析】因为集合1213Mx xxx,全集UR， - 5 - 所以 UM e13x xx， 或. 【命题意图】本题考查集合的补集运算,以及简单

11、的含绝对值的不等式的求解，属容易题. (2) 已知 2i i( ,) i a ba bR，其中i为虚数单位，则ab (A)1(B)1 (C)2 (D)3 【答案】 B 【解析】由 +2i = +i i a b得+2i= i-1ab,所以由复数相等的意义知=1, =2ab,所以+ =a b1. 另解：由 +2i = +i i a b得i+2=+iab ( ,)a bR，则1,2,1abab. 故选 B. 【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。 (3) 在空间，下列命题正确的是 （ A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平

12、面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】 D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。 【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。 （4）设( )f x为定义在R上的奇函数，当0x时，( )22 x f xx b(b为常数 )，则( 1)f (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)3 【答案】 D 【解析】由( )f x为定义在R上的奇函数可知 0 (0)210,1fbbb， 于是( 1)(1)(221)3ff，故选 D. (5) 已知随机变量服从正态分布 2 (0,)N,若(2)0.023P，则( 2

13、2)P (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977 【答案】 C 【解析】由随机变量服从正态分布 2 (0,)N可知正态密度曲线关于y轴对称，而(2)0.023P，则 (2)0.023P，故( 22)1(2)(2)0.954PPp， 故选 C - 6 - （6）样本中共有5 个个体，其值分别为,0,1,2,3a.若该样本的平均值为1，则样本方差为 （A） 6 5 (B) 6 5 (C)2(D)2 【答案】 D 【解析】由题意知 1 (0123)1 5 a，解得1a，故样本方差为 222222 1 (1 1)(01)(1 1)(21)(31) 2 5 S,故选 D.

14、【命题意图】本题考查样本平均数、方差的计算，属于基础题. (7) 由曲线 3 ,yx yx围成的封闭图形面积为 Www. .com （ A） 1 12 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 7 12 【答案】 A 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 123 0 -)=xx dx（ 111 11= 3412 ,故选 A。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。 (8) 设数列 n a是等比数列，则“ 123 aaa” 是数列 n a是递增数列的 (A) 充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【答案】 C

15、【解析】由 123 aaa，设数列 n a的公比为q, 得 2 111 aa qa q，则 1 1,0qa，数列 n a为递增数 列； 反之，若数列 n a是递增数列， 则公比 1 1,0qa所以 2 111 aa qa q， 即 123 aaa， 故“ 123 aaa” 是数列 n a是递增数列的充分必要条件. 【命题意图】本题主要考查等比数列以及充分必要条件的相关知识，属于基础题. (9)设变量,x y满足约束条件 20 5100 80 xy xy xy ，则目标函数34zxy的最大值和最小值分别为 (A)3, 11(B)3, 11(C)11, 3(D)11,3 【答案】 A 【解析】作出

16、满足约束条件的可行域，如右图所示， 可知当直线z=3x-4y平移到点（ 5，3）时， 8xy 510xy 340xy 20xy y xO - 7 - 目标函数z=3x-4y取得最大值3； 当直线z=3x-4y平移到点（ 3，5）时， 目标函数z=3x-4y取得最小值 -11，故选 A。 【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x-4y的几何意义是解 答好本题的关键。 (10) 定义平面向量之间的一种运算“” 如下，对任意的a=(m,n)，bp,q)（ ，令 ab=mq-np，下面说法错误的是（） A.若a与b共线，则ab=0B.ab=ba C.对任意的R

17、，有a)b= (（ab)D. 2222 (ab) +(ab) =|a|b| 【答案】 B 【解析】若 a与b共线，则有ab=mq-np=0，故 A 正确；因为bapn-qm，而 ab=mq-np，所以有abba，故选项B 错误，故选B。 【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、 解决问题的能力。 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分 11 2 12 4 3 1314 100 15 11 22 a 三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分1 分） 解： （I）

18、由已知得 11 tan,tan 32 BADCAD, 2分 则 11 32 tantan()1 11 1 32 BACBADCAD, 4分 又(0,)BAC,故 4 BAC 5分 （II ）设2 (0)BDt t ,则 3 ,6DCt ADt, 由已知得 2 1515t ,则1t, E D CB A - 8 - 故 2BD ,3,6DCAD, 7分 则10,3 5 2 AB AEAC， 9分 由余弦定理得5CE11分 17 （本小题满分11 分） 解：依题意，这4 个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为 1 3 ，去参加乙项目联欢的概率为 2 3 .设“ 这 4 个人 中恰有i人去参加甲项目联

19、欢” 为事件 i A，(0,1,2,3, 4)i，则 4 4 12 ()( ) ( ) 33 iii i P AC. （）这 4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率 222 24 128 ()( ) () 3327 P AC-4分 （）设 “ 这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数” 为事件 B ， 34 BAA， 故 3344 3444 1211 ()()()( ) ()( ) 3339 P BP AP ACC. 这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为 1 9 .-7 分 (III)的所有可能取值为0,2,4. 2 8 (0 )() 2

20、7 PPA， 13 40 (2)()(), 81 PP AP A 04 17 (4)()(), 81 PP AP A 所以的分布列是 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 148 81 E.-11分 18 （本小题满分1 分） 证明：（I）方法一：由 AE 平面BCD得AECD， 又ADCD，则CD平面AED， 故CDDE，2分 同理可得CBBE，则BCDE为矩形，又BCCD， 则BCDE为正方形，故CEBD4分 方法二：由已知可得 6 2ABBDAD ，设O为BD的中点，则 ,AOBD COBD，则 BD 平面 AOC，故平面BCD平面AOC，则顶点A在底面BCD上的射影E必在O

21、C，故CEBD （II ）方法一 :由（ I）的证明过程知OD平面AEC，过O作OFEG，垂足为F，则易证得DFEG， 故OFD即为二面角CEGD的平面角， 7分 由已知可得6AE，则 2 AEAG AC ，故EGAC，则2 3 2 CG OF， 又 3 2OD ，则 30DF ， 9分 - 9 - N T S y xo H G F E D C BA 故 10 cos 5 OFD ，即二面角CEGD的余弦值为 10 5 11分 方法二 : 由（ I）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐 标系，则 (0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)EDABC ，

22、可得(2,2,4)G，7分 则 )4,2, 2(),0,6, 0(EGED ，易知平面CEG 的一个法向量为 )0,6 ,6(BD ，设平面 DEG的一个法向量为 )1 ,(yxn ，则由 0 0 EGn EDn 得 ) 1 ,0,2(n ，9 分 则 5 10 cos nBD nBD nBD ，即二面角CEGD的余弦值为 10 5 11 分 19 （本小题满分4 分） 解： （I）设 ( , )Mx y ，由已知得 (4 ,0),(4,22 )PQ ， 则直线EP的方程为2 2 x y，直线GQ的方程为2 2 x y， 4分 消去即得M的轨迹的方程为 22 1(0) 164 xy x 6分

23、（II）方法一：由已知得 2 NS NTON ，又ONST，则OSOT，8分 设直线 :(2)STykxm m 代入 22 1 164 xy 得 222 (1 4)84160kxkmxm， 设 1122 (,),(,)S xyT xy， 则 2 121222 8416 , 1414 kmm xxx x kk 10 分 由OSOT得 1212 0x xy y ， 即 22 1212 ()(1)0km xxkx xm， 则 22 516(1)mk， 12 分 又O到直线ST的距离为 2 1 m r k ，故 4 5 (0,2) 5 r - 10 - 经检验当直线ST的斜率不存在时也满足14分 方法

24、二：设 00 (,)N xy ，则 222 00 xyr，且可得直线ST的方程为 2 00 x xy yr 10分 代入 22 1 164 xy 得 222242 0000 (4)84160yxxr x xry， 由 2 NS NTON得 2 20 2001 2 0 (1)()() x xxxxr y ，即 2 01212 ()xxxx xr， 12 分 则 2242 200 22 00 8416 4 r xry r yx ，故 45 (0, 2) 5 r 14分 20 （本小题满分4 分） 解： （I）由已知得 2 44(1) ( )4 x fxx xx ， 2 分 则当01x时 ( )0f

25、x，可得函数( )f x在(0,1)上是减函数， 当1x时 ( )0fx，可得函数( )f x在(1,)上是增函数，5分 故函数 ( )f x 的极小值为 (1)2f 6分 （II ）若存在，设()()(1,2,3) ii f xg xm i，则对于某一实数m方程( )( )f xg xm 在(0,)上有三个不等的实根，8分 设 2 ( )( )( )2lncos2F xf xg xmxaxxm， 则 ( )42sin 2 (0) a Fxxx x x 有两个不同的零点10 分 方法一： 2 42 sin2 (0)axxx x有两个不同的解，设 2 ( )42 sin2 (0)G xxxx x

26、， 则 ( ) 82sin24 cos22(2sin 2 )4 (1 cos2 )G xxxxxxxxx， 设( )2sin 2h xxx，则 ( )22cos20h xx，故 ( )h x在(0,)上单调递增， 则当0x时( )(0)0h xh，即2sin 2xx， 12分 又1cos20x，则 ( )0G x故( )G x在(0,)上是增函数，13 分 则 2 42 sin2 (0)axxx x至多只有一个解，故不存在 14 分 方法二：关于方程042sin 2(0) a xxx x 的解， 当0a时，由方法一知2sin 2xx，则此方程无解, 11 分 - 11 - 当 0a 时，可以证

27、明( )42sin 2(0) a H xxxx x 是增函数，则此方程至多只有一个解， 故不存在 14分 21、解： （ ）因为 2 , n an 则有 1 2 , nn aa * nN 故数列 n a 是“ T 数列 ” ， 对应的实常数分别为 1 , 2 因为 3 2 n n b ，则有 1 2 nn bb * nN 故数列 n b 是 “ T 数列 ” ， 对应的实常数分别为 2 , 0 -4分 （ ）证明：若数列 n a 是“ T 数列 ” ， 则存在实常数 ,p q ， 使得 1nn apaq 对于任意 * nN 都成立， 且有 21nn apaq 对于任意 * nN 都成立， 因此 121 2 nnnn aap aaq 对于任意 * nN 都成立， 故数列 1nn aa 也是 “ T 数列 ” 对应的实常数分别为 , 2pq -8分 （ ）因为* 1 32 () n nn aatnN， 则有2 23 32aat ，4 45 32aat ， 20112010 aa 2010 23t ， 20132012 aa 2012 23t 。 故数列 n a 前 2013 项的和 )( 3212013 aaaS)( 54 aa)( 20112010 aa)( 20132012 aa 2 232t 4 23t 2010 23t 2012 23t )42(2 2014 t -14分