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1、页1 第 2013 浙江省高考压轴卷数学理试题 本试题卷分第卷和第卷两部分考试时间120 分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答 题纸上 参考公式： 如果事件 A， B 互斥，那么棱柱的体积公式 P ABP AP BVSh 如果事件 A， B 相互独立，那么其中 S表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 P A BP AP B棱锥的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是p ，那么 1 3 VSh n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次的概率其中 S表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的高 1,0,1,2, nk kk nn P kC pkkn棱台的体积公式 球的表面积公式 2 4
2、SR 1122 1 3 Vh SS SS 球的体积公式 34 3 VR其中 12 ,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中 R 表示球的半径h 表示棱台的高 选择题部分 一. 选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要 求的。 1复数 22 () i i = A-3 -4i B-3+4i C 3-4i D3+4i 2设集合sin, 3 n Mx xnZ，则满足条件 33 , 22 PM的集合 P 的个数是 A 1 B3 C 4 D 8 3已知一个棱长为2 的正方体， 被一个平面截后所得几何体的三视图如 图 所 示，则该几何体的体积是
3、（） A8 B 20 3 C 17 3 D 14 3 4.等比数列 an中， “ 公比 q1” 是“ 数列 an 单调递增 ” 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 页2 第 5函数 2 1 ( ) x x e f x e 的图象( ) A关于原点对称B关于直线yx 对称 C关于 x 轴对称D关于 y 轴对称 6设变量x、y 满足 1, 0, 220, xy xy xy 则目标函数z=2x+y 的最小值为 A6 B4 C 2 D 3 2 7. 若从 1,2,3, ,9这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（） A60 种B63
4、种C65 种D66 种 8. 已知直线lm、,平面、,且lm,给出下列命题 : 若，则 ml；若，则 ml; 若 ml，则；若 ml，则 其中正确命题的个数是（） A1 B2 C3 D4 9已知数列 n a的前n项和 n S满足： mnmn SSS，且1 1 a，那么 10 a( ) A 1 B 9 C10 D55 10. 已知直线1sincos:yxl，且lOP于 P ， O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程为 ( ) A1 22 yxB1 22 yxC1yxD1yx 非选择题部分（共100 分） 二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分。 11 5 2 1 x x展开式中 4
5、 x的系数为(用数字作答 ) 12执行右面的框图，若输出结果为 2 1 ，则输入的实数x的值是 _. 13在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1，F2 在 x 轴 页3 第 上， 离心率为 2 2 .过 F1的直线 l 交 C 于 A， B 两点， 且ABF2的周长为 16， 那么 C 的方程为 _ 14已知数列 an满足 a1=1，an+1=an+2 n，则 a 10=_. 15已知 223344 22, 33, 44, 33881515 ，若66 aa tt （a，t 均为正实数） ，则 类比以上等式，可推测a，t 的值， a+t = . 16 P是圆 C： 22 (1
6、)(3)1xy上的一个动点，A(3,1)，则OP OA的最小值为 _ 17若函数f(x)=(2x 2-a2x-a)lgx 的值域为 0,，则 a=_ 三、解答题本大题共5 小题共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分14 分）已知函数( )sin2 cos (0)fxmxx m的最大值为2. （1）求函数( )f x在0,上的单调递减区间; （2） ABC 中,()()46 sinsin 44 f Af BAB,角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c，且 C=60 ， c=3，求 ABC 的面积。 19 （本小题满分14 分）如图，已知面积为1 的正三角形AB
7、C 三边的中点分别为D、E、F，从 A，B,C,D ， E，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0） （1）求 1 () 2 P X； （2）求 E（X） D F E C B A 页4 第 20 （本小题满分15 分）如图，在斜三棱柱 111 ABCA BC中，侧面 11 AAB B底面ABC，侧棱 1 AA与底 面ABC成 60 的角， 1 2AA底面 ABC是边长为2 的正三角形，其重心为G点， E是线段 1 BC上一 点，且 1 1 3 BEBC （1）求证：GE/侧面 11 AAB B； （2）求平面 1 BGE与底面ABC所成锐二面角的正切值；
8、 （3）在直线 AG 上是否存在点T，使得AGTB1 ？若存在，指出点T 的位置；若不存在，说明理由 21 （本小题满分15 分）在周长为定值的DEC 中，已知 |DE|=8，动点 C 的运动轨迹为曲线G,且当动点C 运动时， cosC 有最小值 7 25 . (1)以 AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，求曲线G 的方程 .； 2）直线 l 分别切椭圆G 与圆 M：x 2+y2=R2（其中 31 时,an递减。 a1b0)， 页11 第 因为离心率为 2 2 ，所以 2 2 1 b 2 a 2，解得 b 2 a 2 1 2，即 a 22b2 . 又ABF2的周长
9、为 |AB|AF2|BF2|AF1|BF1|BF2| |AF2|(|AF1|AF2|) (|BF1|BF2|)2a 2a4a， ，所以 4a16，a4，所以 b2 2，所以椭圆方程为 x 2 16 y 2 8 1. 14.【答案】 1023 【解析】累加法. 15.【答案】 41 【解析】照此规律：a=6,t=a 2-1=35 16 【答案】 2(3-1) 【解析】如图：作PQ OA 于 Q，CDOA 于 D，根据向量数量积的几何意义得 OP OAmin=|OA| |OQ|min=|OA| |OT|=2 (|OD|-1)=2(3-1) 17 【答案】 1 【解析】显然h(x)= 2x2-a2x
10、-a，g(x)= lgx 正负号一致，且 h(1)=g(1)=0， a=-2 或 1 经检验得a= 1 18 【解析】（ 1）由题意，( )f x 的最大值为 2 2m，所以 2 2=2m 而0m，于是2m， ( )2sin() 4 f xx ( )f x 为递减函数，则x 满足 3 2 +2 + 242 kxkkZ， 即 5 2 +2 + 44 kxkkZ 所以( )f x 在0，上的单调递减区间为 4 ， （2）设 ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得 3 2=2 3 sinsin60 c R C 化简 ()()4 6sinsin 44 f Af BAB ，得 sinsin2 6sins
11、inABAB 由正弦定理，得22 6R abab，2abab 由余弦定理，得 22 9abab，即 2 390abab 将式代入，得 2 2390abab 解得3ab，或 3 2 ab（舍去） 1 sin 2 ABC SabC 3 3 4 19 【解析】解：从六点中任取三个不同的点共有 3 6 C20个基本事件， 页12 第 事件 “ 1 2 X ” 所含基本事件有2317 ，从而 17 () 220 P X X 的分布列为： X0 1 4 1 2 P 3 20 10 20 6 20 1 20 则 311016113 ()01 204202202040 E X 答： 17 () 220 P X
12、 ， 13 () 40 E X 20 【解析】解法1： （1）延长 B1E 交 BC 于点 F， 11 B EC FEB，BE= 2 1 EC1， BF= 2 1 B1C1= 2 1 BC， 从而点 F 为 BC 的中点 G 为ABC 的重心， A、G、F 三点共线且 1 1 /, 3 1 ABGE FB FE FA FG ， 又 GE侧面 AA1B1B， GE/侧面 AA1B1B （2）在侧面AA1B1B 内，过 B1作 B1HAB，垂足为 H，侧面AA1B1B底面 ABC， B1H底面 ABC又侧棱 AA1与底面 ABC 成 60 的角， AA1=2， B1BH=60 ， BH=1，B1H
13、=.3 在底面 ABC 内，过 H 作 HTAF，垂足为T，连 B1T，由三垂线定理有 B1TAF， 又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF， B1TH 为所求二面角的平面角 AH=AB+BH=3， HAT=30 ， HT=AH 2 3 30sin在 RtB1HT 中， 3 32 tan 1 1 HT HB THB ， 从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 23 3 （3） （2）问中的T 点即为所求， T 在 AG 的延长线上，距离A 点 2 33 处 . 解法 2： （ 1）侧面AA1B1B底面 ABC，侧棱 AA1与底面 ABC 成 60 的角， A1AB=
14、60 ， 又 AA1=AB=2，取 AB 的中点 O，则 AO底面 ABC 以 O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz如图， 则0, 1,0A，0,1,0B， 3,0,0C， 1 0,0,3A， 1 0,2, 3B， 1 3,1, 3C G 为ABC 的重心， 3 ,0,0 3 G 1 1 3 BEBC ， 33 ,1, 33 E ， 页13 第 1 31 0,1, 33 CEAB 又 GE侧面 AA1B1B， GE/侧面 AA1B1B （2）设平面B1GE 的法向量为 ( , , )a b cn，则由 1 0, 0. B E GE n n 得 323 0, 33 3 0. 3 abc bc 可
15、取 3, 1, 3n 又底面 ABC 的一个法向量为0,0,1m 设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ，则 21 cos | |7 m n mn 由于为锐角，所以 22 7 sin1cos 7 ，进而 23 tan 3 故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 23 3 （3）)0 , 1 , 3 3 (AG，设)0 , 3 3 (AGAT， )3,3, 3 3 ( 11 ATABTB， 由AGTB1，03 3 1 1 AGTB，解得 4 9 所以存在 T 在 AG 延长线上， 2 33 2 3 4 9 AFAGAT. 21【解析】(1)设 |CD |+|CE
16、|=2a(a8)为定值，所以 C 点的轨迹是以D、 E为焦点的椭圆， 所以焦距 2c=|DE |=8. 因为 2222222 |8(|)2| 828 cos1 2|2| CDCECDCECDCEa C CDCECDCECDCE 又 222 | |() 2 a CDCEa，所以 2 2 8 cos1 2 C a ，由题意得 2 2 2 87 1,25 225 a a . 所以 C 点轨迹 G 的方程为 22 1. 259 xy （ 2）设 1122 (,),(,)A x yB xy分别为直线l与椭圆和圆的切点， 直线 AB 的方程为：ykxm 因为 A 既在椭圆上，又在直线AB 上，从而有 22
17、 1 259 xy ykxm ， 消去y得： 222 (259)5025(9)0kxkmxm 由于直线与椭圆相切，故 222 (50)4(259)25(9)0kmkm 从而可得： 22 925mk 1 25k x m 由 222 xyR ykxm 消去y得： 2222 (1)20kxkmxmR 页14 第 由于直线与圆相切，得 222 (1)mRk 2 2 kR x m 由得： 2 21 (25)kR xx m 由得： 2 2 2 9 25 R k R 22222 212121 |()()(1)()ABxxyykxx 222222 2 22222 (25)9 (25)225 259 25 mk
18、RRR R RmRRR 2 2 225 34234304R R 即| 2AB，当且仅当15R时取等号，所以|AB|的最大值为2。 22. 【解析】 （1） 23232 ( )(3123)(63)(393) xxx fxxxexxxt exxxte 32 ( )3,39303, , .f xxxxta b c有 个极值点有 个根 322 ( )393,( )3693(1)(3)g xxxxtg xxxxx令 ( )(-,-1),(3,+ )(-1,3)g x 在上递增 ,上递减.( )3824. (3)0 g xt g g(-1)0 有 个零点 , ,( )a b cf x是的三个极值点 323
19、2 393(x-a)(x-b)(x-c)=x()()xxxtabc xabbcac xabc 3 9 3 abc abacbc tabc 3 1(b(-1,3) 2 b或舍 12 3 18 12 3 a bt c （2）不等式( )f xx，即 32 (63) x xxxt ex，即 32 63 x txexxx。 转化为存在实数0,2t，使对任意的1,xm，不等式 32 63 x txexxx恒成立。 即不等式 32 063 x xexxx在1,xm上恒成立。 即不等式 2 063 x exx在1,xm上恒成立。 设 2 ( )63 x xexx，则( )26 x xex。 设( )( )26 x r xxex，则( )2 x r xe，因为1xm，有 ( )0rx。 故( )r x在区间1,m上是减函数。又 123 (1)40, (2)20, (3)0rerere 页15 第 故存在 0 (2,3)x，使得 00 ()()0r xx。 当 0 1xx时，有( )0x，当 0 xx时，有( )0x。 从而( )yx在区间 0 1,x 上递增，在区间 0, x 上递减。 又 123 (1)40, (2)50, (3)60,eee 456 (4)50,(5)20, (6)30.eee 所以当15x时，恒有( )0x；当6x时，恒有( )0x； 故使命题成立的正整数m的最大值为5。