环形跑道问题.教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 1、 掌握如下两个关系： （1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次 （2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次 2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析 3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决 多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合 理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和 =相遇时间 速度和 路程差 =追及时间 速度差 二、解环形跑道问题

2、的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行， 则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 同一出发点直径两端 同向：路程差nS nS+0.5S 相对 (反向 )：路程和nS nS-0.5S 模块一、常规的环形跑道问题 【例1】一个圆形操场跑道的周长是500 米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走66 米，麻雀每 分钟走 59 米经过几分钟才能相遇? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行6659125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即 500(

3、6659)5001254 （分钟） 【答案】4分钟 【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55 米，周老师每分钟走65 米。 已知林荫道周长是480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级 ,1 试 【解析】 几分钟相遇一次：480 （5565） =4（分钟） 知识精讲 教学目标 环形跑道问题 专业文档 珍贵文档 10 次相遇共用： 4 10=40（分钟） 王老师 40 分钟行了： 55 40=2200（米） 2200 480=4（圈） 28

4、0（米） 所以正好走了4 圈还多 280 米， 480280=200（米） 答：再走200 米回到出发点。 【答案】 200 米 【例2】上海小学有一长300 米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6 米，小 胖每秒钟跑4米， (1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2) 小亚第二次追上小胖两人 各跑了多少圈？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛 【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300(64)150 秒，小亚跑了6150900（米）。 小胖跑了 4150600（米） ；第一次追上时，小胖跑了2圈

5、，小亚跑了3圈，所以第二次追上时， 小胖跑4圈，小亚跑6圈。 【答案】小胖跑4圈，小亚跑6圈 【巩固】小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步小王的速度是200 米/分小张 和小王同时从同一地点出发， 反向跑步，1分钟后两人第一次相遇， 小张的速度是多少米 /分？小张 和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程小张的速度是5001200300 （米 /分） 在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间

6、 是： 500(300200)5 （分） 30055003（圈） 【答案】 300米 /分 3圈 【巩固】一条环形跑道长400 米，甲骑自行车每分钟骑450 米，乙跑步每分钟250 米，两人同时从同地 同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 4004502502（）(分钟 ) 【答案】2分钟 【巩固】小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250 米，正南每分钟跑210 米，一圈跑道长800 米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 小 新第一次超

7、过正南是比正南多跑了一圈，根据Sv t 差差 ，可知小新第一次超过正南需要： 80025021020（）( 分 钟 ) ， 第 三 次 超 过 正 南 是 比 正 南 多 跑 了 三 圈 ， 需 要 8 0 032 5 02 1 0（）(分钟 ) 【答案】 60 分钟 【巩固】幸福村小学有一条200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6 米， 晶晶每秒钟跑4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2 次追上晶晶时两人各跑 了多少圈？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致

8、因此，当冬冬第一 次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200 米)，又知道了冬冬和晶晶的 速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程 冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：20064100（）(秒) 冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6100600 (米) 晶晶第一次被追上时所跑的路程：4100400 (米) 冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：60022006（）(圈) 晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数：40022004（）(圈) 【答案】4圈 专业文档 珍贵文档 【巩固】小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是400 米的环形跑道，小刚对小

9、明说：“ 咱们 比比看谁跑的快” ，于是两人同时同向起跑，结果10 分钟后小明第一次从背后追上小刚，同学 们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑140 米， 那么如果小明第3次从背后追上小刚时， 小刚一共跑了米 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级 【解析】 140104001000 米， 100033000米。 【答案】 3000 米 【巩固】如图 1，有一条长方形跑道，甲从A 点出发，乙从C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每 秒跑 5 米，乙每秒跑4.5 米。当甲第一次追上乙时，甲跑了圈。 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【

10、题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】(10+6) (5-4.5)=32 秒，甲跑了5 32 32=5 圈 【答案】 5 圈 【例3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑250 米，乙每分钟跑200 米，两人同时 同地同向出发，经过45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题同地出发，其实追及路程或相隔 距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形道一周的长度 可根据两人同向出发，45 分钟后甲追

11、上乙，由追及问题，两人速度差为：25020050 (米/分)， 所以路程差为：50452250 (米)，即环形道一圈的长度为2250 米所以反向出发的相遇时间 为： 22502502005（）(分钟 ) 【答案】 5 分钟 【巩固】两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3 米，小雅每秒跑4 米，反向而行， 45 秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 （4+3） 45=315 米 环形跑道的长 （相遇问题求解）315 （4-3）=315 秒 （追及问题求解） 【答案】 315 秒 【巩固】一条环形跑道长40

12、0 米，小青每分钟跑260 米，小兰每分钟跑210 米，两人同时出发，经过多 少分钟两人相遇 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 小青每分钟比小兰多跑50 米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟 【答案】 8 分钟 【巩固】甲、乙两人从400 米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每秒 钟甲比乙多走0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 176 【答案】 176 【例4】在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地

13、起跑，如果同向而跑2分 30 秒相遇，如果背 向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 同向而跑，这实质是快追慢起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间 的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大接着，两人的距离 专业文档 珍贵文档 又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所谓的相遇问题，数 量关系为：路程和速度和相遇时间同向而行2 分 30 秒相遇， 2 分 30 秒 150 秒，两个人 的速度和为：300150=2 （米 /秒） ，背向而跑则半分钟即30 秒

14、相遇，所以两个人的速度差为： 30030=10 （米 /秒） .两人的速度分别为：10224（）(米/秒 )，1046 (米/秒) 【答案】 6 米/秒 【巩固】在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3 分 20 秒相遇，如果背向而 行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 甲乙的速度和为：4004010 (米/秒)，甲乙的速度差为：4002002 (米/秒)，甲的速度为： 10226（）(米/秒 )，乙的速度为：10224（）(米 /秒) 【答案】4米/秒 【例5】周老师和王老师沿着学

15、校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55 米，周老师每分钟走65 米。 已知林荫道周长是480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第10 次相遇后，王老师再走 米就回到出发点。 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 两人每共走1 圈相遇 1 次，用时 480 (55+60)=4( 分)， 到第 10 次相遇共用40 分钟，王老师共走了。 55 40=2200（米），要走到出发点还需走，480 5-2200=200（米） 【答案】 200 米 【巩固】在周长为200 米的圆形跑道 条直径的两端，甲、乙两人分别以6 米/秒， 5 米/秒的骑车速度同 时同向出发，沿跑道

16、行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 甲、乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是 200 2 100(米)所需要的时间是 100 11 (秒)以后，两 人每隔 200 2 (秒 )相遇一次因为 100 6016 11 1 200 11 53.3， 16 分钟内二人相遇53 次. 【答案】 53 次 【巩固】在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4 分钟相遇一次；如果两人从同处 同向同时跑，每隔20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600 米，那么两人的速度分别是 多少？ 【考点】行程问

17、题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 两人反向沿环形跑道跑步时，每隔4 分钟相遇一次，即两人4 分钟共跑完一圈；当两人同向跑步 时，每20 分钟相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20 分钟两人速度和为： 16004400 ( 米 / 分 ) ， 两 人 速 度 差 为 ： 16002080 ( 米 /分 ) ， 所 以 两 人 速 度 分 别 为 ： 400802240（）(米/分)， 400240160(米/分) 【答案】 160米/分 【例6】甲、乙二人在操场的400 米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙后面，出发后6 分 甲第一次超过乙，22 分时甲第二次超

18、过乙。假设两人的速度保持不变，问：出发时甲在乙后面 多少米？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 150 米。提示：甲超过乙一圈（400 米）需 22616（分） 。 【答案】 16 分 【例7】在 400 米的环行跑道上，A，B 两点相距100 米。甲、乙两人分别从A，B 两点同时出发， 按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5 米，乙每秒跑4 米，每人每跑100 米，都要停10 秒钟。 那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 专业文档 珍贵文档 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 甲实际跑100/（ 5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑100/5=

19、20（秒），休息10 秒；乙跑100/4=25 （秒），休息10 秒，甲实际跑100 秒时，已经休息4 次，刚跑完第5 次，共用140 秒；这 时乙实际跑了100 秒，第4 次休息结束。正好追上。 【答案】 140 秒 【例8】在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人 改成按逆时针方向跑，每隔4 分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 由题意可知，两人的速度和为 1 4 ，速度差为 1 12 可得两人速度分别为 111 2 4126 和 111 2 41212 所以两人跑一圈分别需

20、要6 分钟和 12 分钟 【答案】 6 分钟和 12 分钟 【例9】有甲、 乙、丙 3 人,甲每分钟行走120 米,乙每分钟行走100 米,丙每分钟行走70 米.如果 3 个人同 时同向 ,从同地出发 ,沿周长是300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚在跑道 上同一处 ? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 由题意知道：甲走完一周需要时间为300 120= 5 2 （分）；乙走完一周需要时间为300 100=3（分） 丙走完一周需要时间为300 700= 30 7 ，那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为： 5,30,3 5 3030 ,3

21、30 272,7,11 分 【答案】 30 分 【例10】 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行 .现在已知甲走一圈的时间是70 分钟，如果在出发后45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 甲行走 45 分钟，再行走7045=25 分钟即可走完一圈.而甲行走45 分钟，乙行走45 分钟也能走 完一圈 .所以甲行走25 分钟的路程相当于乙行走45 分钟的路程甲行走一圈需70 分钟，所以乙 需 70 25 45=126 分钟即乙走一圈的时间是126 分钟 【答案】 126 分钟 【例11】 林琳在

22、 450 米长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5 米，后一半时间每秒跑4 米， 那么她的后一半路程跑了多少秒？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2 X/2*5+X/2*4=450 X=100 总共跑了100 秒 前 50 秒每秒跑5 米，跑了250 米 后 50 秒每秒跑4 米，跑了200 米 后一半的路程为450 2=225 米 后一半的路程用的时间为（250-225） 5+50=55 秒 【答案】 55 秒 【巩固】某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5 米，后一

23、半时间每秒跑4 米， 则他后一半路程跑了多少秒？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 44 【答案】 44 专业文档 珍贵文档 【例12】 甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4 千米，乙速 度是每小时4.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇， 在过 5 分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 30 分钟乙落后甲（5.44.2） 20.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6 千米用了5 分钟，因为乙 和丙从出发到相遇共用35

24、分钟，所以绕湖一周的行程为：35 5 0.64.2（千米）。 【答案】 4.2 千米 【例13】 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当 乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60 米处又第二次相遇。求此圆形场地的 周长？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 1 2 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙 共走完1+ 1 2 3 2 圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相 遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3 倍，即

25、100 3=300 米有甲、乙第二次相 遇时，共行走(1 圈 60)+300，为 3 2 圈，所以此圆形场地的周长为480 米 【答案】 480 米 【巩固】如图， A、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走，他们在C 点第 一次相遇， C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长. 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 第一次相遇， 两人合起来走了半个周长；第二次相遇， 两个人合起来又走了一圈从出发开始算， 两个人合起来走了一周半因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所 走

26、的行程的3 倍，那么从A到D的距离，应该是从A到 C 距离的 3 倍，即A到D是 803240 (米) 24060180(米) 180 2360 (米) 【答案】 360米 【巩固】如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与 C 同时出发，绕圆周相向而行它们第一 次相遇在离A点 8 厘米处的B点，第二次相遇在离C 点处 6 厘米的D点，问，这个圆周的长是 多少 ? 第一次 相遇 第二次 相遇 D C B A 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8 厘米，第二 次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，

27、所以两只小虫从出发共爬行了1 个半圆周，其中从A点出发 专业文档 珍贵文档 的应爬行 8324 (厘米 )，比半个圆周多6 厘米，半个圆周长为83618 (厘米 )，一个圆周长 就是： (836)236(厘米 ) 【答案】 36厘米 【巩固】A、 B 是圆的直径的两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C 点第一次相遇， 在 D 点第二次相遇已知C 离 A 有 75 米， D 离 B 有 55 米，求这个圆的周长是多少米？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 340 【答案】 340 【例14】 两辆电动小汽车在周长为360 米的圆形道上不断行驶，甲车

28、每分行驶20 米甲、乙两车同时分 别从相距90 米的 A，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B 点时，甲车过B 点后恰好又回到A 点此时甲车立即返回（乙车过B 点继续行驶） ，再过多少 分与乙车相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 右图中 C 表示甲、乙第一次相遇地点因为乙从B 到 C 又返回 B 时，甲恰好转一圈回到A，所 以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C 点距 B 点 1809090（米）甲从 A 到 C 用 了 180 209（分），所以乙每分行驶90 910（米）甲、乙第二次相遇，即分别同时从A， B 出发相

29、向而行相遇需要90 （2010） 3（分） 【答案】 3 分 【巩固】周长为 400 米的圆形跑道上，有相距100 米的 A，B 两点甲、乙两人分别从A，B 两点同时相 背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B如果以后甲、 乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 如下图 ,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC 的路程时，乙跑了BC 的路程；而当甲跑了400 米时，乙 跑了 2BC 的路程 由乙的速度保持不变，所以甲、 乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A 点所需时间的 1

30、 2 .即 AC= 1 2 400=200( 米)，也就是甲跑了200 米时， 乙跑了 100 米，所以甲的速度 是乙速度的2 倍那么甲到达A，乙到达B 时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300 米的路程， 所以此后甲还需跑300 (2-1) 2=600 米，加上开始跑的l 圈 400 米所以甲从出发到甲追上乙时， 共跑了 600+400=1000 米 【答案】 1000 米 【巩固】在一圆形跑道上，甲从A 点、乙从B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到 达 B 点，又过8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星【题型】

31、解答 【解析】 由题意知，甲行4 分相当于乙行6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12 分，而乙行12 分相当于甲行8 分，所以 甲环行一周需12820（分） ，乙需20 4 6 30（分） . 专业文档 珍贵文档 【答案】 30 分 【例15】 如下图所示的三条圆形跑道，每条跑道的长都是0.5 千米， A、 B、C 三位运动员同时从交点O 出发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4 千米，每小时8 千米，每小时6 千米。 问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？ O C B A 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星

32、【题型】解答 【关键词】希望杯,六年级 ,二试 【解析】 三个运动员走完一圈的时间分别为 1 8小时、 1 16小时、 1 12小时，他们三人相遇地点只能是O点， 所以三人相遇时间是 1 8 小时、 1 16 小时、 1 12 小时的公倍数，即 1 4 小时，分别跑了2 圈、 4 圈、 3 圈，共计4.5 千米。 【答案】 4.5 千米 【例16】 甲、乙两车同时从同一点 A出发，沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行 驶 65 千米，乙车每小时行驶55 千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面 追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11 次相遇的地点距离有多少

33、米？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 首先是一个相遇过程，相遇时间： 6(6555)0.05 小时，相遇地点距离A点： 550.052.75 千 米然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：6(6555)0.6小时，乙车在此过程中走的路 程： 550.633 千米，即5 圈余 3 千米，那么这时距离A点 32.750.25千米甲车调头后又 成为相遇过程， 同样方法可计算出相遇地点距离A点 0.252.753千米，而第 4 次相遇时两车又 重新回到了A点，并且行驶的方向与开始相同所以，第8 次相遇时两车肯定还是相遇在A点， 又 11332，所以第 11 次相遇的地点

34、与第3 次相遇的地点是相同的，距离A点是 3000 米 【答案】 3000 米 【巩固】二人沿一周长400 米的环形跑道均速前进，甲行一圈4 分钟，乙行一圈7 分钟，他们同时同地 同向出发，甲走10 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击 掌时，甲走多长时间乙走多少路程？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 1428 【答案】 1428 【例17】 下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300 米的正方形甲、乙两人分别从 两个对角处沿逆时针方向同时出发如果甲每分走90 米，乙每分走70 米，那么经过多少时间 甲才能看到乙？

35、【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300 米长，当甲追上乙一条 边（ 300 米）需300 （9070） 15（分） ，此时甲走了90 15 30045（条）边，甲、乙不 专业文档 珍贵文档 在同一条边上，甲看不到乙甲再走05 条边就可以看到乙了，即甲走5 条边后可看到乙，共 需 300 5 9016 2 3 （分钟 0，即 16 分 40 秒 【答案】 16 分 40 秒 【巩固】如图，一个长方形的房屋长13 米，宽 8 米甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟 行 3 米，乙每秒钟行2 米.问

36、:经过多长时间甲第一次看见乙? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29 米因为一边最长为13、所以最少要追至只相差 13，即至少要追上29-13=16 米 甲追上乙16 米所需时间为16 (3-2)=16 秒，此时甲行了3 16=48 米，乙行了2 16=32 米 甲、乙的位置如右图所示： 显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙而甲要到达上面的边，需再跑2 米，所需时间为 2 3= 2 3 秒所以经过16+ 2 3 =16 2 3 秒后甲第一次看见乙. 【答案

37、】 16 2 3 秒 【例18】 下图是一个边长90 米的正方形，甲、乙两人同时从A 点出发，甲逆时针每分行75 米，乙顺时 针每分行45 米两人第一次在CD 边（不包括C， D 两点）上相遇， 是出发以后的第几次相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 两人第一次相遇需360(7545)3分，其间乙走了453135（米）由此知，乙没走135 米 两人相遇一次，依次可推出第7 次在 CD 边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数） 【答案】第7 次 【例19】 如图， 8 时 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60 米的 A， B 两地顺时针方向沿长方

38、 形 ABCD 的边走向D 点.甲 8 时 20 分到 D 点后 ,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发 .丙由 D 向 A 走去 ,8 时 24 分与乙在E 点相遇；丁由D 向 C 走去， 8 时 30 分在 F 点被乙追上 .问三角形 BEF 的面积为多少平方米? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置 专业文档 珍贵文档 先分析甲的情况，甲10 分钟，行走了AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度， 乙 14 分钟行走了60+AE 的路程，乙20 分钟走了60+AD+DF 的路程 所以乙 10 分钟走了 (60+

39、AD+DF)-(AD)=60+DF的路程 有 6060 101410 ADAEDF ，有 60 75 60 ADDF AEEDAE 然后分析丙的情况,丙 4 分钟 ,行了走 ED 的路程 ,再看丁的情况, 丁的速度等于丙的速度,丁 10 分钟行走了DF 的距离 有 410 EDDF ，即 5ED2DF 联立 60 75 60 52 ADAEEDDF AEEDAE EDDF ，解得 87 18 45 AE ED DF 于是 ,得到如下的位置关系： ABCD 111 60(87+18)6087184515(87+18) 222 =2497.5 BEFABEEDFFCB SSSSS 四边形 【答案】

40、 2497.5 【例20】 甲、乙两人从周长为1600 米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A，C 同时出发绕池边沿 A B C DA的方向行走。甲每分行50 米，乙每分行46 米，甲、乙第一次在同一边上行 走，是发生在出发后的第多少分？第一次在同一边上行走了多少分？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】第 104分； 8 23 分。甲追上乙一条边长，即追上400 米需 400 （5046）100（分），此时甲走了50 1005000（米），位于一条边的中点，与乙 相距 400 米（见右图）。甲再走200 米到达前面的顶点还需4 分。这 4 分乙走了184 米，距下

41、一 个顶点还差16 米。所以甲、乙第一次在同一边上行走，发生在出发后第1004 104（分），第 一次在同一边上行走了 8 1646 23 （分）。 【答案】 8 23 分 【例21】 如图，长方形ABCD 中 ABBC=54。位于 A 点的第一只蚂蚁按ABC DA 的方向，位 于 C 点的第二只蚂蚁按CBADC 的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。如果两 只蚂蚁第一次在B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在()边上。 专业文档 珍贵文档 (A)AB(B)BC(C)CD 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 如图，长方形ABCD 中 ABBC

42、=5 4。将 AB，CD 边各 5 等分， BC， DA 边各 4 等分。设每份 长度为 a。由于两只蚂蚁第一次在B 点相遇，所以第一只蚂蚁走5a，第二只蚂蚁走4a，接下来， 第一只蚂蚁由B 走到 E 点时，第二只蚂蚁由B 走到 F 点，再接下来，当第一只蚂蚁由走到G 点 时，第二只蚂蚁由F 也走到 G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在DA 边上。 【答案】 DA 边上 【例22】 在一个周长90 厘米的圆上，有三个点将圆周三等分。A，B，C 三个爬虫分别在这三点上，它 们每秒依次爬行10 厘米、 5 厘米、 3 厘米。如果它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行，那么 它们第一次到达同一位置需多长时间？

43、 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 60 秒。 A 第一次追上B 需 30 （ 105） 6（秒） ，以后每隔90 （105） 18（秒）追上B 一 次，即 A，B 到达同一位置的时间（单位：秒）依次是 6，24，42，60， 78， 同理， B，C 到达同一位置的时间（单位：秒）依次是15，60， 105， 比较知， A，B，C 第一次到达同一位置需60 秒。 【答案】 60 秒 模块二、环形跑道 变道问题 【例23】 如图 2，一个边长为50 米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A、C 两点同时出发，沿闹墙按顺 时针方向运动，已知甲每秒走5 米，乙每秒走3 米，

44、则至少经过秒甲、乙走到正方 形的同一条边上。 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8 题 【解析】 行程问题 由题设可知，甲走完一条边需要10 秒，乙需要 50 3 秒，要在同一条边上，首先路程差应小于一个 边长经过50(53)25 秒后，甲、乙路程差为一个边长，此时甲在CD 边的中点，而乙在AD 边的中点因此需要再经过5 秒后，甲到达D点，甲、乙才走到同一条边上综上，至少需要30 秒 【答案】至少需要30 秒 【例24】 如图是一个跑道的示意图，沿 ACBEA 走一圈是 400 米，沿 ACBDA 走一圈是 275米，其中A到B 专业文档

45、 珍贵文档 的直线距离是75 米甲、乙二人同时从A点出发练习长跑，甲沿ACBDA 的小圈跑，每100 米 用24秒，乙沿ACBEA 的大圈跑，每100米用21秒，问： 乙跑第几圈时第一次与甲相遇？ 发多长时间甲、乙再次在A相遇？ ECD B A 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 因为甲、乙沿不同的路线，所以并不是谁多跑一圈，就一定有一次超过超过只可能发生在他们 共同经过的路线上，也就是ACB 上 甲跑半圈ACB 用时 48 秒，乙跑半圈ACB 用时42秒也就是说如果某次乙经过A点的时间比 甲晚不超过6 秒，他就能在这半圈上追上甲 甲跑一圈用的时间为2751002

46、466 秒，乙跑一圈用的时间为4001002184 秒，下面看甲、 乙经过A点的时间序列表（单位：秒） 甲0 66 13 2 19 8 26 4 33 0 乙0 84 16 8 25 2 33 6 可以看出336 秒与 330 秒恰好差6 秒，由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈时会第一次与甲相遇 要在A点相遇，两人跑的必须都是整数圈，甲跑一圈用66 秒，乙跑一圈用84 秒，它们的最小 公倍数为66,84924因此 924秒即 15 分24秒后，甲、乙第一次同时回到A点 【答案】 第五圈 15分24秒 【例25】 如图所示，大圈是400 米跑道，由A到B的跑道长是200 米，直线距离是50 米。父

47、子俩同时从 A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈， 父亲每跑到B点便沿直线跑。 父亲每 100 米用 20 秒，儿子每100 米用 19 秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一 次与父亲相遇？ B A 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由A沿逆时针方向到B这一段跑道上相遇而且儿子比父 亲跑得快， 所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲儿子跑一圈所用的时间是19(400100)76 （秒），也就是说，儿子每过76 秒到达A点一次同样道理，父亲每过50 秒到达A点一次在 从A到B逆 时 针 方 向 的 一 段 跑

48、 道 上 ， 儿 子 要 跑 19(200100)38 （ 秒 ） ， 父 亲 要 跑 20(200100)40（秒） 因此，只要在父亲到达A点后的 2 秒之内，儿子也到达A点，儿子就 能从后面追上父亲于是，我们需要找76 的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈 数） ，它比 50 的一个整数倍大，但至多大2换句话说，要找76 的一个倍数，它除以50 的余数 在 0 到 2 之间这试一下就可以了：7650 余 26， 76250 余 2，正合我们的要求因此，在 父子第一次相遇时，儿子已跑完2 圈，也就是正在跑第3 圈 【答案】第3 圈 【例26】 如图,学校操场的400 米跑道中套着3

49、00 米小跑道 ,大跑道与小跑道有200 米路程相重 甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑 道的交点A处出发 ,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米? 专业文档 珍贵文档 乙 甲 乙甲 A B 乙 甲 乙甲 A 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 根据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇易知小跑道上AB左侧的路程为100 米,右侧的路程为200 米,大跑道上 AB的左、 右两侧的路程均是 200 米我们将甲、 乙的行程状况 分析清楚当甲第一次到达B点时 ,乙还没有到达B点 ,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某 处而当乙第一次到达 B点时，所需时间为 200450 秒,此时甲跑了650300 米