考前练兵陕西省2013届高考压轴卷数学文试题.pdf

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1、页1 第 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷压轴卷） 文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分） 1已知集合1,0,1, |1|,ABx xaaA，则AB中的元素的个数为 A0B1C0,1D0,1,2 2.复数 i1 i31 的共轭复数是 A. 1313 22 iB. 1313 . 22 i C. 1313 22 iD. 1313 22 i 3.下列函数一定是偶函数的是 A. cos(sin )yxB. sincosyxx C. cos lnyxD. cossinyxx 4已知向量ba,满足| 1,(1,

2、3)ab ，且baa，则a与b的夹角为 A60B90C120D150 5.已知 q 是等比数列 n a的公比，则 “ 1q” 是“ 数列 n a是递减数列 ” 的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是124，则判断框处应填入的条件是 A.2nB. 3nC. 4nD. 5n 7 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 页2 第 A.9B.10C.11D. 23 2 8.已知ABC的面积为2， 在ABC所在的平面内有两点PQ、， 满足0,PAPCQAQBQCB

3、C， 则APQ的面积为 A. 1 2 B. 2 3 C.1 D.2 9.直线 30xy 截圆 2 2 24xy所得劣弧所对的圆心角是 A 6 B 3 C 2 D 2 3 10. 函数ln1yx的图像与函数2cos24yxx的图像所有交点的横坐标之和等于 A8B6C4 D2 二。填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分） 11.已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一个焦点与抛线线 2 12yx的焦点重合，且双曲线的离心率等于 3 2 ，则该双 曲线的方程为. 12. “公差为d的等差数列数列 n a的前n项的和为 n S，则数列 n S

4、n 是公差为 2 d 的等差数列” ，类比上 述性质有：“公比为q的等比数列数列 n b的前n项的和为 n T，则数列 _” . 13.若 yx,满足条件 ,0 01532 ,0653 y yx yx ，当且仅当3yx时，yaxz取最小值 ,则实数a的取值范围 是_. 14. 定 义 域R的 奇 函 数( )f x， 当(, 0)x时( )( )0f xxfx恒 成 立 ， 若3 (3)af， (log3)(log3)bf，22cf，则, ,a b c的大小关系为 _。 15. A（不等式选做题） 页3 第 若存在实数x满足不等式 2 35xxmm则实数m的取值范围是。 15. B （几何证明

5、选做题） 在ABC中，D是边AC的中点， 点E在线段 BD上，且满足 1 3 BEBD，延长AE交BC于点F， 则 BF FC 的值为 _ 15 .C （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点， x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系曲线 1 C的参数方程为 1 xt yt （t为参数），曲线 2 C的极坐标 方程为sincos3，则 1 C与 2 C交点在直角坐标系中的坐标为 _ 。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6 小题，共75 分） 16.已知函数 2 ( )3sincossin(0,0) 2222 xxx f x其图象的两个相邻对称 中心的

6、距离为 2 ，且过点(,1) 3 (I) 函数( )f x的解析式； () 在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为a， b， c已知 222 222 sin 2sinsin Cbac AC cab 且 13 2 fA ，求角 C 的大小 . 17. 在等比数列 n a中，已知 1 3a，公比1q，等差数列 n b满足 1142133 bababa，. （）求数列 n a与 n b的通项公式； （）求数列 nn a b的前n项和 . 18. 已知直角梯形ABCD中，/ADBC， 1 2 2 ADABBC，90ABC，PAB是等边三角形， 平面PAB平面ABCD ()求证：BDDC

7、； ()求三棱锥PBCD的体积 页4 第 19.2013 年 1 月份以来 , 我国北方部分城市出现雾霾天气，形成雾霾天气主要原因与2.5PM有关 . 2.5PM是指大气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物， 也称为可入肺颗粒物. 2.5PM日均值越小， 空气质 量越好 . 2012年 2 月 29 日，国家环保部发布的环境空气质量标准见下表： 某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在过去某月的30 天中分别随机抽取了甲、乙两市6 天的2.5PM日均值作为样本，样本数据茎叶图如上右图所示（十位为茎，个位为叶）. 【来源：全 , 品, 中&高 *考*网】 （） 分别求出甲、 乙两市2.5P

8、M日均值的样本平均数，并由此判断哪个市的空气质量较好； （）若从甲市这6 天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率. 20.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且椭圆C上一点与两个焦点构成的三角形的周长 为222. （I）求椭圆C的方程； （II）设过椭圆C右焦点F的动直线l与椭圆C交于AB、两点，试问：在x轴上是否存在定点M， 使 7 16 MA MB 成立？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 21.已知函数( )lnf xx， 2 ( )( )g xf xaxbx，函数( )g x的图象在点(1, (1)g处的切线平行

9、于x 轴 （ I）确定a与b的关系； （ II）若0a，试讨论函数( )g x的单调性； （ III ）设斜率为k的直线与函数( )f x的图象交于两点 1122 (,),(,)A x yB xy， （ 12 xx） 证明： 21 11 k xx 2.5PM日均值k(微克 ) 空气质量等级 35k 一级 3575k 二级 75k 超标 页5 第 【参考答案】 1.B【解析】 |1|,0,1,2 ,BxxaaA所以0,1AB. 2.B【解析】 1311313 13i , 1 i22 iii 所以其共轭复数为 1313 . 22 i 3.A【解析】由偶函数定义可知，函数cos(sin )yx中，x

10、的定义域关于原点对称且 cos(sin()cos(sin )xx. 4. C【解析】由aab 得 2 0aa b ，112cos0,所以120. 5.D【解析】由数列 n a是递减数列可得01q，因此“1q” 是“ 数列 n a是递减数列 ” 的既不充分 也不必要条件。 6.C【解析】由框图的顺序，0,1,011 1,snssn n依次循环 1226s，3n，注意此刻33仍然为否， 633274sn，注意到44仍然为否， 此刻输出2744124,s5.n 7.C【解析】由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形高是3的直四棱柱的基础上截去一个底面 积为 1 2 11 2 高为3的三棱锥形成

11、的，所以4 31 11.V 8.B【解析】由0PAPC知P为ABC的边AC的中点 . 因为QAQBQCBCQCQB，所以 20QAQB ，Q为ABC的边AB的三等分点（靠近点B）.于是 2111112 . 3223233 APQABABABC SABhABhS 9.D【解析】圆心2,0到直线30xy的距离为 2 1 2 d，所求的圆心角为 2 2. 33 10.B【解析】 页6 第 画出两函数图象可知均关于直线1x对称，所以在4, 2内所有交点横坐标之和为. 632 11. 22 1 45 xy 【解析】抛线线 2 12yx的焦点 22 (3)9ab， 0 3 25. 2 c eab a 12

12、. n n T是公比为q的等比数列【解析】 n n n n bbbT 1 21 )( n nnq b 1 121 1 )( 1 1 1 2 )1( 1 )( n n nn n qbqb， n n T是公比为q的等比数列。 13 5 3 , 3 2 【解析】 画出可行域， 得到最优解3 , 3，把 yaxz 变为 zaxy ，即研究z的最大值。 当 5 3 , 3 2 a 时， zaxy 均过3 , 3且截距z最大。 14.acb【解析】设( )( )g xxfx，依题意得( )g x是偶函数，当(, 0)x时( )( )0f xxfx， 即( )0gx恒成立， 故( )g x在(, 0)x单调

13、递减， 则( )g x在( 0 ,)上递增，3 (3)(3)afg， (log3)(log3)(log3)bfg，2(2)(2)(2)cfgg 又log 3123， 故 acb 15.A (, 1)(2,)【解析】 min 352xx ，所以 2 2mm ，2m或1.m 15.B 1 4 【解析】过点D作DMAF交BC于点M，则FMMC，又 1 , 2 BFBE FMED 所以2,4,FMBF FCBF即 BF FC 1 . 4 15.C)5 ,2(【解析】 2 C为3xy，所以 31tt ，解得,4t因此 5 2 y x . 16. 【解析】（） 31 ( )sin()1cos() 22 f

14、xxxwjwj=+-+ 页7 第 1 sin() 62 xwj=+-+. Q两个相邻对称中心的距离为 2 ，则T =， 2 ,0,=2 | | ww w =Q，又( )f x过点 (,1) 3 ， 211 sin1,sin 36222 jj 骣骣 鼢珑 -+=+=鼢 珑 鼢珑 桫桫 即， 1 cos 2 j =， 1 0,( )sin(2) 2362 fxxjj=+Q. ()在 ABC 中， 222 222 sin2coscosBsincos 2sinsin2coscossincos CbacacBcCB ACabCbCBC cab ， 因为 sin0C，所以 sincos2sincossin

15、cosBCABCB ， 所以 2sincossin cossincossin()sinABBCCBBC A ， 因为 sin0A，所以 1 cos 2 B，因为 0B，所以 3 B 而由 13 2 fA 得 4 A, 所以 5 . 4312 C 17.【解析】 () 设等比数列 n a的公比为q，等差数列 n b的公差为d. 由已知得： 2 323,3qaqa ， dbdbb123,23,3 1341 3 41 1 1233 333 22 q dq dq dq dq 或1q(舍去 )， 所以，此时2d 所以， n n a3，12nbn . ()设(21) 3 n nnn ca bn, nn c

16、ccS 21 123 3 35 37 3.213 n n, 2341 33 35 37 3.213 n n Sn 两式相减得 1231 23 3233.3213 nn n Sn, 所以 1 3. n n Sn 18. 【解析】 ()2AD，2AB，45ADABADBDBC 过D作DMBC，垂足为M，则2DMABMC 页8 第 45DCM，90BDC o ，BDDC. () 2 1164 3 3(22)2 2 3233 P BCD V. 19. 【 解 析 】 （ ） 甲 市 抽 取 的 样 本 数 据 分 别 是34,42,67,71,79,85； 乙 市 抽 取 的 样 本 数 据 为 31

17、,48,45,65,73,86. 344267717985 63 6 x甲 ， 314845657386 58 6 x乙 因为xx 甲乙，所以乙市的空气质量较好. （）由茎叶图知，甲市6 天中有 4 天空气质量未超标，有2 天空气质量超标，记未超标的4 天数据 为, , ,a b c d ，超标的两天数据为,m n ，则 6 天中抽取两天的所有情况为： ,ab ac ad am an bc bd bm bn cd cm cn dm dn mn，基本事件总数为15. 记“恰有一天空气质量超标”为事件A，则事件A包含的基本事件为：,am bm cm dm an bn cn dn， 事件数为8. 所

18、以 8 () 15 P A. 即恰有一天空气质量超标的概率为 8 15 . 20.【解析】（I）由题意知： 2 2 c a ，且2 22 22ac , 解得 2,1ac , 222 1bac, 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y. （II ）易求得右焦点(1,0)F,假设在x轴上存在点( ,0)M t（t为常数），使 7 16 MA MB. 当直线l的斜率不存在时，则:1lx，此时 22 (1,),(1,) 22 AB, 2 2217 (1,) (1,)(1) 22216 MA MBttt,解得 5 4 t或 3 4 . 当直线l的斜率存在时，设:(1)lyk x， 联立方程组 2 2 (

19、1) 1 2 yk x x y ，消去y整理得 2222 (21)4220kxk xk, 设 1122 (,),(,)A xyB xy，则 22 121222 422 , 2121 kk xxx x kk 1122 (, (1) (, (1)MA MBxt k xxt k x 2222 1212 (1)()()kx xtkxxkt 页9 第 22 2222 22 224 (1)() 2121 kk ktkkt kk 2 2 2 (41)2 21 tk t k 当 412 21 t 即 5 4 t时，MA MB为定值： 2 7 2 16 t 由可知，在x轴上存在定点 5 (,0) 4 M，使 7

20、 16 MA MB 成立 . 21.【解析】（I）依题意得 2 ( )lng xxaxbx，则 1 ( )2gxaxb x 由函数( )g x的图象在点(1, (1)g处的切线平行于x轴得：(1)120gab 21ba. （II ）由（ 1）得 2 2(21)1 ( ) axax g x x (21)(1)axx x . 函数( )g x的定义域为(0,) 当0a时， 1 ( ) x gx x 由( )0gx得01x，由( )0g x得1x， 即函数( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)单调递减； 当0a时，令( )0gx得1x或 1 2 x a ， 若 1 1 2a ，即 1 2 a

21、时，由( )0gx得1x或 1 0 2 x a ，由( )0g x得 1 1 2 x a ， 即函数( )g x在 1 (0,) 2a ，(1,)上单调递增，在 1 (,1) 2a 单调递减； 若 1 1 2a ，即 1 0 2 a时，由( )0gx得 1 2 x a 或01x，由( )0gx得 1 1 2 x a ， 即函数( )g x在(0,1)， 1 (,) 2a 上单调递增，在 1 (1,) 2a 单调递减； 若 1 1 2a ，即 1 2 a时，在(0,)上恒有( )0gx， 即函数( )g x在(0,)上单调递增， 综上得：当0a时，函数( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,

22、)单调递减； 当 1 0 2 a时，函数( )g x在(0,1)单调递增，在 1 (1,) 2a 单调递减；在 1 (,) 2a 上单调递增； 当 1 2 a时，函数( )g x在(0,)上单调递增， 当 1 2 a时，函数( )g x在 1 (0,) 2a 上单调递增，在 1 (,1) 2a 单调递减；在(1,)上单调递增 （III ）依题意得 2121 2121 lnlnyyxx k xxxx ， 证 21 11 k xx ，即证 21 2211 lnln11xx xxxx 因 21 0xx，即证 21221 211 ln xxxxx xxx 令 2 1 x t x （1t） ，即证 1 1ln1tt t （1t） 页10 第 令 1 ( )ln1h tt t （1t）则 22 111 ( ) t h t ttt 0 ( )h t在（ 1，+）上单调递增， ( )(1)h th=0，即 1 ln1t t （1t） - 综得 1 1ln1tt t （1t） ，即 21 11 k xx