长方体与正方体(一).教师版.pdf

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1、专业文档 珍贵文档 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具 体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查 如右图，长方体共有六个面( 每个面都是长方形) ，八个顶点，十二条棱 c b a H G F E D C B A 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等 ( 叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形) 长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()Sabbcca 长方体 ； 长方体的体积：Vabc 长方体 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形 如

2、果它的棱长为a，那么： 2 6Sa 正方体 ， 3 Va 正方体 板块一长方体与正方体的表面积 【例1】右图中共有多少个面？多少条棱？ 后面 前面 右面 左面 下面 上面 【考点】长方体与正方体【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形前、后看各有1 个面，左 面看有 1 个面， 右面看有 2个面，上面看有 2 个面， 下面看有 1个面所以共有 11 12218 ( 个) 面前后方向的棱有6 条，左右方向的棱有6 条，上下方向的棱也有6 条，所以共有棱 66618 ( 条 ) 【答案】 8 个面， 18 条棱 例题精讲 长方体与正方体

3、（一） 专业文档 珍贵文档 【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？ 【考点】长方体与正方体【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 9 个面， 21 条棱 【答案】 9 个面， 21 条棱 【例2】如右图， 在一个棱长为10 的立方体上截取一个长为8，宽为 3，高为 2 的小长方体， 那么新的几何 体的表面积是多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 我们从三个方向( 前后、 左右、上下 ) 考虑， 新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600 【答案】 600 【巩固】 在一个棱长为50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5 厘米的小正方体，

4、问剩下 的立体图形的表面积是多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3 个方向考虑变化前后的表面积 不变： 5050615000(平方厘米 ) 【答案】 15000 【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2 的长方体，那么它 的表面积减少了多少? 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 原来正方体的表面积为556150现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们 的面积为 (32)212，所以减少的面积就是12 【答案】 12 【例4】如图

5、，有一个边长是5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3， 2 的长方体，那么它 的表面积减少了百分之几? 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】奥林匹克，初赛，10 题 专业文档 珍贵文档 【解析】 原来正方体的表面积为5 5 6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积 为(3 2) 2=12，12 150=0.08=8即表面积减少了百分之八 【答案】 百分之八 【例5】右图是一个边长为4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米 的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上

6、面挖去的 正方体） 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 原正方体的表面积是44696( 平方厘米 ) 每一个面被挖去一个边长是1 厘米的正方形，同时又 增加了5 个边长是1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4 个边长是1 厘米的正方形 从而，它的表面积是：9646120 平方厘米 【答案】 120 【例6】如图，有一个边长为20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小 立方体后，表面积变为2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 大立

7、方体的表面积是202062400 平方厘米 在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面， 但 里面又多出3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2 个面，但里面多出4 个面；在面上挖 掉一个小正方体后，外面少了1 个面，但里面多出5 个面所以，最后的情况是挖掉了三个小正方 体，反而多出了6 个面，可以计算出每个面的面积：( 24542400)69 平方厘米，说明小正方体 的棱长是3 厘米 【答案】 3 【例7】下图是一个棱长为2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1 厘米的正方体 小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 1 2 厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法

8、专业文档 珍贵文档 和前两个相同为 1 4 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 我们仍然从3 个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：2228( 平方厘米 ) ；左右方向、前 后 方 向 ： 22416( 平 方 厘 米 ) ， 1144( 平 方 厘 米 ) ， 1 2 1 2 41( 平 方 厘 米 ) ， 1 4 1 4 4 1 4 ( 平方厘米 ) ，这个立体图形的表面积为：81641 1 4 1 29 4 ( 平方厘米 ) . 【答案】 1 29 4 【例8】从一个棱长为10 厘米的正方形木块中挖去一个长

9、10 厘米、 宽 2 厘米、 高 2厘米的小长方体，剩下 部分的表面积是多少？( 写出符合要求的全部答案) 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】小学生数学报 【解析】 按图 1 所示沿一条棱挖，为592 平方厘米； 按图 2 所示在某一面上挖，为632 平方厘米； 按图 3 所示在某面上斜着挖，为648 平方厘米； 按图 4 所示挖通两个对面，为672 平方厘米 图 1 图 2 图 3 图 4 【答案】按图1 所示沿一条棱挖，为592 平方厘米； 按图 2 所示在某一面上挖，为632 平方厘米； 按图 3 所示在某面上斜着挖，为648 平方厘米； 按图 4 所示挖通两

10、个对面，为672 平方厘米 图 1 图 2 图 3 图 4 【例9】一个正方体木块，棱长是15从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、 5、6、7、8 的小 正方体这个木块剩下部分的表面积最少是多少？ 专业文档 珍贵文档 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要 使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7 与 8 的小正方体 ( 如图所 示 ) ， 这时剩下部分的表面积比原正方体的表 面 积减少最多 剩下部分的表面积最小 是： 151567

11、721252想想为什么不是151567788 ？ 【答案】 1252 【例10】 从一个长8 厘米、宽7 厘米、高6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体( 如下图 ) ，剩下部分的 表面积之和是平方厘米 6 8 7 6 6 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为： 87662616661787292（）（）( 平方厘米 ) 也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3 个 66的正方形，而新图形凹进去的部分恰 好是 3 个 66的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为 8786762292 ( 平方厘米 ) 【答案

12、】 292 【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、 15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正 方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切 下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长. 由于 21:15 :127 :5:4 ，为了方便起见. 我们先考虑长、 宽、高分别为7厘米、 5厘米、4厘米的长方体. 因为 754 , 容易知道第一次切下的正方体棱长应 该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求. 第三次切时，

13、切下棱长为2 厘米的正方体符合要求. 剩下的体积应是 333 21 15 1212961107（平方厘米） . 【答案】 1107 【例11】 一个正方体木块，棱长是1 米，沿着水平方向将它锯成2 片，每片又锯成3 长条，每条又锯成4 小块，共得到大大小小的长方体24 块，那么这24 块长方体的表面积之和是多少？ 专业文档 珍贵文档 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数 原正方体表面积：1166( 平方米 ) ，一共锯了 ( 21)( 31)( 41)6 次， 6112618( 平方米 ) 【

14、答案】 18 【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3 片，每片又锯成4 长条，每条 又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体60 块那么，这60 块长方体表面积的和是多少平方米? 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 我 们 知 道 每 切 一 刀 ， 多 出 的 表 面 积 恰 好 是 原 正 方 体 的2个 面 的 面 积 现 在 一 共 切 了 ( 31)( 41)( 51)9 刀，而原正方体一个面的面积1l1( 平方米 ) ，所以表面积增加了 92118( 平方米 ) 原来正方体的表面积为616( 平方米 ) ，所以现在的这些小长

15、方体的表积 之和为 618=24( 平方米 ) 【答案】 24 【巩固】一个表面积为 2 56cm 的长方体如图切成27 个小长方体，这 27 个小长方体表面积的和是 2 cm 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛 【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面 积增加到原来的3 倍，即表面积的和为 2 563168(cm ) 【答案】 168 【例12】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为10 厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8 个正方体，这 些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平

16、方厘米？ 专业文档 珍贵文档 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 10106600( 平方厘米 ) 【答案】 600 【例13】 有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面如果 这个长方体的表面积是3096 平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的 表面积比原长方体的表面积减少144 平方厘米，那么n为多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的， 从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧

17、面的四个正方形的面积，所以正方体每 个面的面积是144436( 平方厘米 ) 所堆成的长方体的表面积，包含底面的2 个正方形和侧面的4n 个正方形，所以 (3096362)14421n 【答案】 21 【例14】 边长分别是3、5、8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3 个正方形面，其中边长为3 的正方体与其它两个正方体重合的 面积不超过边长为3 的正方形，边长为5 和边长为8 的正方体的重合面面积不超过边长为5 的正方 形，三个正方形表面积和为633655688223325550

18、2. 【答案】 502 【例15】 如图， 25 块边长为1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 25块积木 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小. 设想 27 块边长为1 的正方形积木，当拼成一个333的正方体时，表面积最小，现在要去掉2 块 小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增 加，该几何体表面积为54. 【答案】 54 【例16】 由六个棱长为1 的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 专业文档 珍贵文档 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键

19、词】走美杯，4 年级，决赛，第3 题， 8 分 【解析】 三视图法：表面积为：454226 【答案】 26 【例17】 将 15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分， 面积是（） 平方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第12 题 【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。从上向下看有10 个：从左向右看有6 个；从前向后看有7 个。 因此被染色的面有1067236个面 【答案】 36 【例18】 用 6 块右图所示 ( 单位： cm) 的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的 是多少

20、平方厘米？最大是多少平方厘米？ 1 2 3 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图的拼接方式新的长方体长为5 ，宽为 4，高为 3，所以 表面积为 2 (343334)266(cm ) ； 要使表面积最大需重叠的面积最小，如图所示， 长为 18 ， 宽为 2，高为1，所以最大的表面积为 2 (18 118212)2112(cm ) (1) (2) 【答案】 112 【巩固】用10 块长 5 厘米，宽 3 厘米，高 7 厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是 多少 ? 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解

21、答 专业文档 珍贵文档 【解析】 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证102 个 75 的 面成为表面，想要做到这点很容易，只需将75 面做底面，而后将10 个长方体连排，衔接的面选 用 35 的面 ( 衔接的面将不能成为表面积) ，这样得到的长方体表面积最大 同样要想最小，可把75 面做衔接的面，可得到10 个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出 衔接面，如图：此时增加了2 个 57 的面，减少了10 个 37 的面，总体来讲表面积减少了表面 积是： 2( 7151510107)650( 平方厘米 ) ，所以这就是最小的表面积 【答案】 650 【例19

22、】 要把 12 件同样的长a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该 如何打包？ 当b2h 时，如何打包？ 当b2h 时，如何打包？ 当b2h 时，如何打包？ 【考点】长方体与正方体【难度】 5 星【题型】解答 【解析】 图 2 和图 3 正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大， 图 2 的正面周长是8h6b，图 3 的周长是 12h4b. 两者的周长之差为2（b2h）. 当 b2h 时，图 2 和图 3 周长相等，可随意打包；当b2h 时，按图2 打包；当b2h 时，按图3 打包 . 图3 图 2 图1 h b a 【答案】当

23、b2h 时，图 2 和图 3 周长相等，可随意打包； 当 b2h 时，按图2 打包； 当 b2h 时，按图3 打包 . 专业文档 珍贵文档 图3 图 2 图1 h b a 【巩固】要把6 件同样的长17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 考虑所有的包装方法，因为6123，所以一共有两种拼接方式： 第一种按长宽高116 拼接，重叠面有三种选择，共3 种包装方法 . 第二种按长宽高123 拼接，有 3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2 个长方体并列方向 的重叠面剩下2 种选择，一共有6 种包

24、装方法 . 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034. 【答案】 1034 【例20】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比 是 3：4：5 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：。 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第11 题 【解析】 体积比为 3:8:13 【答案】 3: 8:13 【例21】 如图，在一个棱长为5 分米的正方体上放一个棱长为4 分米的小正方体，求这个立体图形的表面 积 专业文档 珍贵文档 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 我们把

25、上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正 方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这 样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向( 左右、前后方向) ：小正方体的四个侧面， 大正方体的四个侧面上下方向：55250 ( 平方分米) ；侧面：554100( 平方分米) ， 44464 ( 平方分米 ) 这个立体图形的表面积为：5010064214 ( 平方分米 ) 【答案】 214 【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1 米、 2 米、 4 米，要在表面涂 刷油漆，如果大正

26、方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 该图形从前、 后、 左、 右四面观察到的面积都是 222 12421 平方米，从上面观察到的面积是 2 416 平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21416100平方米 【答案】 100 【例22】 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、 3厘米、 5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体 的表面积是 _平方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第7 题， 5 分 【解析】( 法 1) 四个正方体的表面积之和为：

27、 2222 (1235 )6396234( 平方厘米 ) ， 重叠部分的面积为： 222222222 13(221 )(321 )(321 )39141440 ( 平方厘米 ) ， 所以，所得到的多面体的表面积为：23440194 ( 平方厘米 ) ( 法 2) 三视图法从前后面观察到的面积为 222 53238 平方厘米 , 从左右两个面观察到的面积为 22 5334平方厘米，从上下能观察到的面积为 2 525平方厘米 表面积为3834252194 ( 平方厘米 ) 【答案】 194 专业文档 珍贵文档 【例23】 如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正

28、方体八个 顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并 保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。当堆积完成后， 白色正方体的体积占总体积的93.75% ， 那么一共用了多少个黑色的小正方体？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第18 题， 10 分 【解析】 白色正方体的体积占总体积的93.75%，即占整个的 15 16 ，白色正方体与黑色正方体之比为：1：15， 观察可知，每一层黑色正方体有4 个，则白色正方体有60 个，所以每一层共有64 个正方体，则正 方体的边长为1，则共有8 层，所以一共用了4 8

29、=32 个小的黑色的正方体。 【答案】 32 【例24】 边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5 层时，这个立体图形的表面 积是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2 倍. 该立体图形的上下、左右、 前后方向的表面面积都是15 平方厘米，该图形的总表面积为90 立方厘米 【答案】 90 【巩固】按照上题的堆法一直堆到N 层(3N) ，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N 的最小值是 多少？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 每增加一层，每一

30、个“大面”就增加到 (1) 2 N N 个小面，总表面积是6 个“大面”，所以就增加到 3(1)N N个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3(1)N N是一个完全平方数，N 的最小值是 几 (3)N？”因为 N 和1N互质， 所以 N 和1N必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3 倍， 但1N不能是平方数的3 倍，因为如果1N是平方数的3 倍，设 2 13,Nn 2 31Nn此时 N 被 3 除余 2，不可能是完全平方数，所以N 是平方数的3 倍，1N是完全平方数，开始试验： 当 2 3 13N，不符合题意； 当 2 3212N，113N，不是完全平方数； 当 2 3 327N，128N，

31、不是完全平方数； 当 2 3448N，149N，是完全平方数，所以N 的最小值是48，即堆到第 48 层时，总表面积 是完全平方数，为 2 3484984 . 【答案】 48 【例25】 把 19 个棱长为1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形 专业文档 珍贵文档 的表面积 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2 个 上面2个左面2个前面上表面的面积为：9 平方厘米，左表面的面积为：8 平方厘米，前表面的 面积为： 10 平方厘米因此，这个立体图形的总

32、表面积为：(9810)254 (平方厘米 ) 上下面左右面前后面 【答案】 54 【巩固】用棱长是1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第12 题 【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7 块正方形组成 该图形的表面积等于(977)246个小正方形的面积，所以该图形表面积为46 平方厘米 【答案】 46 【例26】 现有一个棱长为1 厘米的正方体， 一个长宽为1 厘米高为2 厘米的长方体， 三个长宽为1 厘米高为 3 厘米的长方体下列图形是把这五个图形合并成某一立

33、体图形时，从上面、前面、侧面所看到的 图形试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例 )的样子画出来，并求出其表面积 例： 专业文档 珍贵文档 侧 前 上 侧面所看 到的图形 前面所看 到的图形 上面所看 到的图形 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 从前面看到的和从侧面看到的图形都只有3 层，说明叠成的图形只有3 层 从上面看到的图形中可以确定2 个高为 3 厘米的长方体的位置，一个水平方向，一个竖直方向，再 从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1 层；从而可以确定另一个高为3 厘米的长方体 及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示 从上面和下面看

34、到的形状面积都为9 平方厘米，共18 平方厘米； 从两个侧面看到的形状面积都为7 平方厘米，共14 平方厘米； 从前面和后面看到的形状面积都为6 平方厘米，共12 平方厘米； 隐藏着的面积有2 平方厘米 一共有 181412246( 平方厘米 ) 【答案】 46 【例27】 将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1 厘米的小正方体，其中一面都没有红色的 小正方形只有3 个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】清华附中，培训题 【解析】 长： 3115 厘米；宽： 1113 厘米；高： 1113 厘米； 所以原长方体的表面积

35、是：（353533）3278 平方厘米 【答案】 78 【例28】 有 30 个边长为1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂 成红色的表面积 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 44(1234)456 ( 平方米 ) 【答案】 56 专业文档 珍贵文档 【例29】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下 层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积( 含最底层正方体 的底面面积 ) 超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是_ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【

36、题型】填空 【解析】 此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为22228， 它的每个侧面的面积应该超过39847.75 最底层的正方体的单个侧面面积为224，往上依次为2，1， 1 2 ， 1 4 ， 前五层正方体的单个侧面面积和为 11 4217.75 24 ， 所以要想超过7.75 ，至少应该是6 个 【答案】 6 【例30】 如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型把这个模型的表面( 包括底面 ) 都涂成 红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多 _ 块 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【解析】 三面涂

37、上红色的小正方体有：425428 个，两面涂上红色的小正方体有：341 416个， 所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612块 【答案】 12 【例31】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1 所示，从上面 看如图 2，那么这个几何体至少用了块木块 图1图2 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复赛，9 题 【解析】 这道题很多同学认为答案是26 块这是受思维定势的影响,认为图2 中每一格都要至少放一块其 实,有些格不放 ,看起来也是这样的如下图， 带阴影的3 块不放时， 小正方体块数最少，为 23 块 专业文档

38、 珍贵文档 【答案】 23 块 【例32】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2 所示，从上面 看如图 3 所示，那么这个几何体至少用了块木块 图2图3 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，7 题 【解析】 这道题很多同学认为答案是31 块这是受思维定势的影响，认为图2 中每一格都要至少放一块其 实，有些格不放，看起来也是这样的如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为26 块 图5 【答案】 26 块 【例33】 右图是 456正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方 体

39、各有多少块？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 三面涂红色的只有8 个顶点处的8 个立方体； 两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436块； 一面涂红的表面中间部分：(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252 块 【答案】 52 【例34】 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5 刀，沿着宽边等距离切4 刀，沿着高边等 距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24 块，则n的取值是 _ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】填空 【解析】 沿着长边等距离切5 刀，可切为516 块；沿着宽边等距离切4 刀，可切为4

40、15 块；沿着高边 等距离切n刀，可切为1n块由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1 面 (或 2 面、或 3 面) 的小方块， 所以， 各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)nn个，因各面均没有 红色的小方块为24 块，所以， 12(1)24n，解得3n 【答案】 3 【例35】 棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1 厘米的小正方 体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12 ，此时m的最小 专业文档 珍贵文档 值是多少 ? 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 切割成棱长是1 厘

41、米的小正方体共有 3 m 个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的 个数之比为 13:12 ，而 131225 ，所以小正方体的总数是25 的倍数，即 3 m 是 25 的倍数，那么m 是 5 的倍数 当5m时，要使得至少有一面的小正方体有65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此 时至少一面涂红色的小正方体有5554265 个，表面没有红色的小正方体有 1256560 个，个数比恰好是13:12 ，符合题意 . 因此，m的最小值是5 【答案】 5 【例36】 有 64 个边长为1 厘米的同样大小的小正方体，其中34 个为白色的，30 个为黑色的现将它们拼 成一个444的大

42、正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑 色小正方体尽量不露出来 在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有 3 (42)8 (个)，用黑色的；在面上但不在边上的小 正方体有 2 (42)624 (个)，其中 30822 个用黑色 这样， 在表面的 44696 个1 1的正方形中， 有 22 个是黑色， 962274 (个)是白色， 所以在大 正方体的表面上白色部分最多可以是74 平方厘米 【答案】 74 【例37】 一个长方体

43、的长是12 厘米，宽 10 厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1 厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448 个求原来长方体的体积与表面积 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 先求出长方体的高，再求其体积和表面积设长方体的高为h厘米，则按题意截成的一面有色的小 正方体有122102212222210228836hhh 个，因为一面有色 的小正方体有448 个，所以， 8836448h，解得10h 所以，长方体的体积为1210101200立方厘米，表面积为1210121010102680平方 厘米 【答案】体积1200，表面积是680 【例38】

44、 将一个棱长为整数分米的长方体6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1 分米的小正方 体在这些小正方体中，6 个面都没有涂红色的有12 块，仅有两个面涂红色的有28 块，仅有一个 面涂红色的有块，原来长方体的体积是立方分米 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】填空 【解析】 先考虑 6 个面都没有涂红色的正方体，它们最初是位于原长方体的“芯”（就是去掉长方体各面最外 面一层后剩下的小长方体）内的正方体，共有12 块，所以12 就是这个“芯”的长、宽、高（各比 原来长方形的长、宽、高小2）的乘积而12 分拆成 3 个整数的乘积只有4种情况： 1 1 1212613422 3； 再看

45、两面涂红的小正方体两面涂红的小正方体就是最初位于长方体的棱上除了顶角处的那些小正 方体，它们的个数和恰好是“芯”的长、宽、高之和的4 倍由于这样的小正方体共有28 块，所以 “芯”的长、宽、高之和为2847； 符合条件的只有2237 ，所以“芯”为223的长方体，原来的长方体是445 的长方体 一面涂红的长方体就是最初位于长方体各个面中间部分的长方体，它们的数量为： 222323232 （个） ， 原来长方体的体积为：44580 （立方分米） 【答案】一面涂色的有32 块，长方体的体积是80 立方分米 【例39】 右图是由 27 块小正方体构成的333 的正方体如果将其表面涂成红色，则在角上的

46、8 个小正 方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余 18 块小方块中， 有 12 个两面是红 的，6 个一面是红的这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色 的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍问：由多少块小正方体构成的正方体，表面 专业文档 珍贵文档 涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一 点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？ 【考点】长方体与正方体【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 对于由 n3块小正方体构成的nnn 正方体，三面涂有红色的有8 块， 两面涂有红色的有12 （n2

47、） 块，一面涂有红色的有6 2 (2)n块，没有涂色的有 3 (2)n块由题设条件，一点红色也没有的小 方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即 3 (2)n88，解得 n6 【答案】 216 【例40】 有 6 个相同的棱长分别是3 厘米、 4 厘米、 5 厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的 长方体只有1 个面是红色的，有的长方体恰有2 个面是红色的，有的长方体恰有3 个面是红色的， 有的长方体恰有4 个面是红色的，有的长方体恰有5 个面是红色的，还有一个长方体6 个面都是 红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1 厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的 小正方体最多有多少个？

48、【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，4 题 【解析】 一面染红的长方体，显然应将 45 的长方体染红， 这时产生20 个一面染成红色的小正方体，个数最 多 二面染红的长方体，显然应将两个45 的长方体染红， 这时产生40 个一面染成红色的小正方体，个 数最多 三面染红的长方体，显然应将45 ， 45 ， 43 的面染红，于是产生4(5534)36个一面染 成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36 个 四面染红的长方体，显然应将45 ， 45 ， 43 ， 43 的面染红，产生4(553324)32 个一面染成红色的正方体，其他方法得

49、到的一面染成红色的小正方体均少于32 个 五面染红的长方体，应只留一个35 的面不染，这时就产生 (32)(52)(41)(553324)27 个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染 成红色的小正方体均少于27 六面染红的长方体，产生2(32)(52)(52)(42)(42)(32)22 个一面染成红色的 小正方体 于是最多得到222732364020177 个一面染成红色的小正方体 【答案】 177 【例41】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个 连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长 方体都切成棱长为1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？ 【考点】长方体与正方体【难度】 4 星【题型】解答 【解析】 每个长方体的棱长和是288396厘米，所以，每个长方体长、宽、高