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1、抛物线的几何性质备考策略 主标题：抛物线的几何性质备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道. 关键词：抛物线的几何性质，知识总结备考策略 难度： 4 重要程度： 5 内容： 1抛物线的焦半径 抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点 F 的距离称为焦半径有以下结论 (p0)： (1)对于抛物线y 22px，|PF|p 2 x0； (2)对于抛物线y 2 2px，|PF|p 2 x0 ； (3)对于抛物线x 22py，|PF|p 2 y0； (4)对于抛物线x 2 2py，|PF|p 2 y0. 2与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据) (1)y1y2
2、 p 2，x 1x2 p 2 4 . (2)|AB|x1x2p 2p sin 2(为 AB 的倾斜角 ) (3) 1 |AF| 1 |BF|为定值 2 p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与y 轴相切 思维规律解题： 考点一：已知抛物线方程应用 例 1(2014 安徽高考 ) 抛物线y 1 4x 2 的准线方程是 ( ) Ay 1 By 2 C x 1 Dx 2 解析：选 A 抛物线y1 4x 2 的标准方程为x 24y，所以其准线方程为 y 1. 考点二抛物线的定义及应用 应用一：到焦点与定点距离之和最小问题 例 2已知抛物线的方程为x 28y，
3、F是焦点，点A( 2,4) ，在此抛物线上求一点P， 使|PF| |PA| 的值最小 解： ( 2) 284，点 A( 2,4) 在抛物线x 28y 的内部 如图， 设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ. 由抛物线的定义可知|PF| |PA| |PQ| |PA| |AQ| |AB| ，当且仅当P，Q，A三点共 线时， |PF| |PA| 取得最小值，即为|AB|. A( 2,4) ，不妨设 |PF| |PA| 的值最小时，点P的坐标为 ( 2，y0) ，代入x 28y， 得y0 1 2. 故使 |PF| |PA| 的值最小的抛物线上的点P的坐标为2， 1 2
4、 . 应用二：到点与准线的距离之和最小问题 例 3(2015 忻州联考 ) 已知P为抛物线y 24x 上一个动点，Q为圆x 2( y4) 2 1 上 一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是_ 答案：171 解析：由题意知， 圆x 2( y4) 21 的圆心为 C(0,4) ， 半径为 1， 抛物线的焦点为F(1,0) 根 据抛物线的定义， 点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与 点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ| |PF| |PC| |PF| 1|CF| 1171. 答案：171 应用三：到定直线的距离最小问题 例 4抛物线yx 2
5、 上的点到直线4x3y80 距离的最小值是_ 答案： 4 3 解析：法一：如图，设与直线4x3y 80 平行且与抛物线y x 2 相 切 的 直 线 为4x 3yb 0， 切 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 得 yx 2， 4x3yb0 消去y整理得3x 24x b0，则 1612b0，解 得b 4 3，所以切线方程为 4x3y 4 30，抛物线 yx 2 上的点到直线4x 3y80 距 离的最小值是这两条平行线间的距离d 8 4 3 5 4 3. 法二：对yx 2，有 y 2x. 如图，设与直线4x3y80 平 行且与抛物线yx 2 相切的直线与抛物线的切点是T(m，m 2) ，
6、则切线 斜率ky|xm 2m 4 3，所以 m2 3，即切点 T 2 3， 4 9 ，点T到直 线 4x3y80 的距离d 8 3 4 38 169 4 3，由图知抛物线 yx 2 上的点到直线4x3y8 0 距离的最小值是 4 3. 应用四：焦点弦中距离之和最小问题 例 5已知抛物线y 24x，过焦点 F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y 轴垂线，垂足分别为C，D，则 |AC| |BD| 的最小值为 _ 答案： 2 解析：由题意知F(1,0)，|AC| |BD| |AF| |FB| 2|AB| 2，即 |AC| |BD| 取得 最小值时当且仅当|AB| 取得最小值依抛物线定义知当|AB| 为通径，即 |AB| 2p4 时，为 最小值，所以 |AC| |BD| 的最小值为2. 备考策略： 1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出 抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性 2求抛物线方程应注意的问题 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题