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1、1 考点规范练54古典概型 考点规范练 B 册第 40 页 基础巩固 1.(2016 河南中原学术联盟仿真 )在 2,0,1,5这组数据中 ,随机取出三个不同的数 ,则数字 2 是取出的三个不同数的中位数的概率为() A.B.C.D. 答案 C 解析 由题意可知总的基本事件有(2,0,1),(2,0,5),(0,1,5),(2,1,5),共 4 种,其中数字 2 是取出 的三个不同数的中位数的有(2,0,5),(2,1,5),共 2 种,故所求的概率为. 2.同时抛掷两枚骰子 ,则向上的点数之差的绝对值为4 的概率是() A.B.C.D. 答案 C 解析 同时抛掷两枚骰子 ,基本事件总数为 3
2、6,记“ 向上的点数之差的绝对值为4” 为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有 (1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共 4 个,故 P(A)=. 3.(2016 北京,文 6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出2 人,则甲被选中的概率为 () A.B.C.D. 答案 B 解析 从甲、乙等 5 名学生中选 2人有 10种方法 ,其中 2 人中包含甲的有 4 种方法 ,故所 求的概率为. 4.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y, 在平面直角坐标系xOy 中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y= 8上的概率为 () A.B.C.D. 答案
3、B 解析 依题意 ,以(x,y)为坐标的点共有 6 6=36个,其中落在直线 2x+y= 8上的点有 (1,6),(2,4),(3,2),共 3个,故所求事件的概率为. 5.(2016 山西太原三模 )已知 5 件产品中有 2 件次品 ,其余为合格品 ,现从这 5件产品中任 取 2 件,恰有一件次品的概率为 () A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 2 答案 B 解析 设合格品分别为 A1,A2,A3,次品分别为 B1,B2,从中任取 2 件产品 ,基本事件共有 10种, 分别为 A1,A2, A1,A3, A2,A3, A1,B1, A1,B2, A2,B1, A2,B2, A3,B
4、1, A3,B2, B1,B2,而 其中恰有一件次品的基本事件有6 种,由古典概型概率公式 ,可知所求的概率为=0.6. 6.(2016 山西朔州模拟 )某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口袋里有一元餐 票 2 张,两元餐票 2张,五元餐票 1 张,若他从口袋中随机地摸出2张,则其面值之和不少 于四元的概率为() A.B.C.D. 答案 C 解析 小明口袋里共有 5张餐票 ,随机地摸出 2 张,基本事件总数 n=10,其面值之和不少于 四元包含的基本事件数m=5,故其面值之和不少于四元的概率为. 7.从集合 2,3,4,5 中随机抽取一个数a,从集合 1,3,5 中随机抽取一个数b,则
5、向量 m=(a,b)与向量 n=(1,-1)垂直的概率为() A.B.C.D.? 导学号 74920542 ? 答案 A 解析 由题意可知向量 m=(a,b)有 (2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共 12 种情况 . 因为 mn,即 m n=0,所以 a 1+b (-1)=0,即 a=b, 满足条件的有 (3,3),(5,5),共 2 种,故所求的概率为. 8.(2016 江苏,7)将一颗质地均匀的骰子 (一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体 玩具)先后抛掷 2 次,
6、则出现向上的点数之和小于10的概率是. 答案 解析 (方法一 )将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有 36 个基本事件 .其中向上的点 数之和小于 10 的基本事件共有 30 个,所以所求概率为. (方法二 )将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2 次,共有 36个基本事件 .记 A 表示“ 向上 的点数之和小于 10” ,则 表示“ 向上的点数之和不小于10” , 的基本事件共有 6 个,所以 P( )=,所以 P(A)=1-P( )= . 9.已知蒸笼中共蒸有5个外形和大小完全相同的包子,其中 2 个香菇青菜包、 1个肉包、 1个豆沙包、 1 个萝卜丝包 ,现从蒸笼中任取 2个包子 ,则取出的这
7、 2 个包子中有香菇青 菜包的概率为. 3 答案 解析 不妨将 2 个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为 3,1个豆沙包编号为 4,1个 萝卜丝包编号为 5,则所有的基本事件有 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 个. 记“ 取出的 2 个包子中有香菇青菜包 ” 为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共 7 个.故所求的概 率为 P(A)=. 10.(2016东北三省四市二模 )为迎接校运动会的到来 ,某
8、校团委在高一年级招募了12名 男志愿者和 18 名女志愿者 (18名女志愿者中有6人喜欢运动 ). (1)若用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10 人组成服务队 ,求女志愿者被抽到 的人数 ; (2)若从喜欢运动的 6 名女志愿者中 (其中恰有 4 人懂得医疗救护 ),任意抽取 2名志愿者 负责医疗救护工作 ,则抽出的 2名志愿者都能胜任医疗救护工作的概率是多少? 解(1)由题意可知每个志愿者被抽中的概率是, 故女志愿者被抽到的人数为18=6. (2)设喜欢运动的女志愿者为A,B,C,D,E,F,其中 A,B,C,D 懂得医疗救护 ,则从这 6人 中任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,
9、AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种取法 ,其中 两人都懂得医疗救护的有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6种取法 . 设“ 抽出的 2 名志愿者都能胜任医疗救护工作” 为事件 A,则抽出的 2 名志愿者都能 胜任医疗救护工作的概率P(A)=. 11.(2016吉林白山三模 )体育测试成绩分别为四个等级,优、良、中、不及格 ,某班 55 名 学生参加测试的结果如表: 等 级 优 良 中 不 及 格 人 数 5 21245 (1)从该班任意抽取 1 名学生 ,求该名学生的测试成绩为 “ 良” 或“ 中” 的概率 ; (2)测试成绩为 “ 优” 的
10、3名男生记为 a1,a2,a3,测试成绩为 “ 优” 的 2 名女生记为 b1,b2,现从 这 5 人中任选 2 人参加学校的某项体育比赛,求参赛学生中恰有一名女生的概率. 解(1)因为在某班 55 名学生中 ,测试成绩为 “ 良” 或“ 中” 的学生人数有 21+24=45,所以从该 班任意抽取 1 名学生 ,该名学生的测试成绩为 “ 良” 或“ 中” 的概率为. 4 (2)由题意可知 ,从测试成绩为 “ 优” 的 5 人中任选 2人参加学校的某项体育比赛,总的 基本事件有 10 个, 分别是 (a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(
11、a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2), 参赛学生中恰有一名女生包含的基本事件有6 个, 故参赛学生中恰有一名女生的概率为.? 导学号 74920543 ? 能力提升 12.(2016湖北武昌区五月调考 )若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用 三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 () A.B.C.D. 答案 D 解析 从 5 人中录用 3人,总的基本事件有 10 个.设“ 甲或乙被录用 ” 为事件 A,则其对立事 件 表示“ 甲、乙两人都没有被录取 ” ,可知从 5 人中录用 3 人,其中甲、乙两人都没有被 录取的基本事件只有 “ 丙丁戊 ”
12、 一种,故 P( )=.因此 P(A)=1-P( )=1-.故选 D. 13.设 a1,2,3,4, b2,4,8,12, 则函数 f(x)=x 3+ax-b 在区间 1,2上有零点的概率为 () A.B.C.D.? 导学号 74920544 ? 答案 C 解析 因为 f(x)=x 3+ax-b,所以 f(x)=3x2+a. 因为 a1,2,3,4, 所以 f(x)0, 所以函数 f(x)在区间 1,2上为增函数 .若存在零点 , 则 f(1)f(2)0,解得 a+1b8+2a. 因此,可使函数在区间 1,2上有零点的情况为 : a=1,2b10,故 b=2,b=4,b=8,共有 3 种情况
13、; a=2,3b12,故 b=4,b=8,b=12,共有 3 种情况 ; a=3,4b14,故 b=4,b=8,b=12,共有 3 种情况 ; a=4,5b16,故 b=8,b=12,共有 2 种情况 . 所以有零点共有 3+3+3+2=11种情况 . 而构成函数共有 4 4=16 种情况 , 根据古典概型可得有零点的概率为. 14.(2016湖南长沙二模 )抛掷两枚质地均匀的骰子 ,得到的点数分别为a,b,则使得直线 bx+ay= 1与圆 x 2+y2=1 相交,且所得弦长不超过 的概率为.? 导学号 74920545 ? 5 答案 解析 由题意可知抛掷两枚质地均匀的骰子得到的点数(a,b)
14、有(1,1),(1,2),(1,3),(6,6),共 36种. 因为直线 bx+ay=1 与圆 x 2+y2=1相交,且所得弦长不超过 ,所以 1,即 1a 2+b29.故满足直线 bx+ay=1 与圆 x2+y2=1相交,且所得弦长不超过 的(a,b)有 (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共 4 种,因此所求的概率为. 高考预测 15.为了了解某学段1 000名学生的百米成绩情况 ,随机抽取了若干名学生的百米成绩,成 绩全部介于 13 秒与 18秒之间 ,将成绩按如下方式分成五组:第一组 13,14);第二组 14,15);第五组 17,18.由上述分组方法得到的频率分布直方图
15、如图所示,已知图中从 左到右的前三组的频率之比为3819,且第二组的频数为8. (1)将频率当作概率 ,请估计该学段学生中百米成绩在16,17)内的人数以及所有抽取学生 的百米成绩的中位数 (精确到 0.01秒); (2)若从第一、五组中随机取出两个人的成绩,求这两个人的成绩的差的绝对值大于1秒 的概率 . 解(1)设前三组的频率依次为3x,8x,19x,则 3x+8x+19x=1-0.32-0.08=0.6,即 x=0.02, 故第二组的频率为0.16,又第二组的频数为8, 所以抽取的学生总人数为=50, 由此可估计学生中百米成绩在16,17)内的人数为 0.32 50=16. 设所求中位数
16、为 m,由第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06,0.16,0.38, 则 0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得 m 15.74. 故估计学生中百米成绩在 16,17)内的人数为 16, 所有抽取学生的百米成绩的中位数为15.74秒. (2)记“ 两个成绩的差的绝对值大于1 秒” 为事件 A. 由(1)可知从第一组抽取的人数为0.02 3 50=3,不妨记为 a,b,c; 从第五组抽取的人数为0.08 50=4,不妨记为 1,2,3,4. 6 则从第一、五组中随机取出两个人的成绩有 ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34, 共 21种情况 , 其中两个人的成绩的差的绝对值大于1 秒是来自不同的组 ,共有 12种情况 . 故两个人的成绩的差的绝对值大于1 秒的概率为.? 导学号 74920546 ?