高考数学三角函数常考题型及解答方法总结精编.pdf

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1、高考数学三角函数常考题型及解答方法总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有 作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负 半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： 终边与终边相同 (的终边在终边所在射线上)2()kkZ，注意 ：相 等的角的终边一定相同，终边相同的角不

2、一定相等. 如 与角1825 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。（答： 25； 5 36 ） 4、与 2 的终边关系 ：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若是第二象限角，则 2 是第 _象限角（答：一、三） 5. 弧长公式 ： |lR，扇形面积公式： 2 11 | 22 SlRR，1 弧度 (1rad)57.3. 如已知扇形AOB 的周长是6cm，该扇形的中心角是1 弧度，求该扇形的面积。 （答： 2 2 cm） 6、 任意角的三角函数的定义： 设是任意一个角， P( ,)x y是的终边上的任意一点 （异 于 原 点 ）， 它 与 原 点 的 距 离 是 22 0rxy， 那

3、么sin,cos yx rr ， tan,0 y x x ，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 如（1）已知角的终边经过点P(5，12)，则c o ss in的值为。（答： 7 13 ） ； （2） 设是第三、 四象限角， m m 4 32 sin， 则m的取值范围是_ （答： （ 1，) 2 3 ） ； 7. 特殊角的三角函数值： 3045600901802701575 sin 2 1 2 2 2 3 0 1 0 1 62 4 62 4 cos 2 3 2 2 2 1 1 0 1 0 62 4 62 4 tan 3 3 1 3 0 0 2-32+3 cot 3 1 3

4、3 0 0 2+32-3 8.同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：1cossin 22 ； （2）商数关系： cos sin tan； 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三 角函数值。 在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩 角的范围， 以便进行定号； 在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式， 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。 如（ 1）若220x，则使xx2cos2sin1 2 成立的x的取值范围是_（答： 0, 4 , 4 3 ） ； （

5、2）已知 5 3 sin m m ，) 2 ( 5 24 cos m m ，则tan_（答： 12 5 ） ； （ 3） 已 知1 1tan tan ， 则 co ssi n co s3si n _ ；2cossinsin 2 _（答： 3 5 ； 5 13 ） ； （ 4）已知xxf3cos)(cos，则 )30(sinf的值为 _（答： 1） 。 9. 三角函数诱导公式（ 2 k ）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶 数） ，符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）. 诱导公式的应用是求任意角的三 角函数值，其一般步骤：（ 1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角

6、三 角函数。 如（ 1） 97 costan()sin 21 46 的值为 _（答： 23 23 ） ； （2）已知 5 4 )540sin( ，则)270cos( _，若为第二象限角，则 )180tan( )360cos()180sin( 2 _。 （答： 5 4 ； 100 3 ） 10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sinsincoscossinsin 22sincos 令 22 22 2 2 2 coscoscossinsincos2cossin 2cos112sin tantan1+cos2 tancos 1tantan2 1cos2 sin 2 2tan tan2

7、1tan 令 如（1）已知 3 5 sin()coscos()sin，那么2cos的值为 _ （答： 7 25 ） ； （2） 13 1080sinsin 的值是 _（答： 4） ； (3) 已知 0 tan110a，求 0 tan50的值（用a 表示）甲求得的结果是 3 13 a a ，乙求得 的结果是 2 1 2 a a ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_（答：甲、乙都对） 11.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首 先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第 二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式

8、的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()，2()()， 2()()，2 2 ， 222 等） ， 如 （1） 已知 2 tan() 5 ， 1 tan() 44 ， 那么tan() 4 的值是 _ （答： 3 22 ） （2） 已知0 2 ， 且 1 29 cos()， 2 23 sin()， 求c o s () 的值（答： 490 729 ） ； (2) 三角函数名互化( 切割化弦 ) ， 如（ 1） 求值sin50 (1 3 tan10 )（答： 1） ； （2）已知 sincos2 1,

9、tan() 1cos23 ，求tan(2)的值（答： 1 8 ） (3) 公式变形使用（tantantan1tantan。 如（ 1） 已知 A、B 为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB _（答： 2 2 ） ； (2) 设ABC中，33tan AtanBtan Atan B， 3 4 sin Acos A，则此三角 形是 _三角形（答：等边） (4) 三角函数次数的降升( 降幂公式： 2 1cos2 cos 2 ， 2 1cos2 sin 2 与升幂 公式： 2 1cos22cos， 2 1cos22sin) 。 如(1) 若 3 2 (,)，化简 1111 2

10、 2222 cos为_（答：sin 2 ） ； （2）函数 2 55 3f ( x)sin xcosxcos x 5 3 2 ( xR)的单调递增区间为 _（答： 5 1212 k,k( kZ )） (5) 常值变换主要指“1”的变换 （ 22 1sincosxx 22 sectantancotxxxx tansin 42 等） ， 如已知tan2，求 22 sinsincos3cos（答： 3 5 ） . (6) 正余弦“ 三兄妹 sincossin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”， 如（ 1） 若sincosxxt，则sincosxx_（答： 2 1 2 t ) ， 特别提醒 ：

11、这里 2,2t； （2）已知 2 sin 22sin 1tan k () 42 ，试用k表示sincos的值（答： 1k） 。 12、辅助角公式中辅助角的确定： 22 sincossinaxbxabx(其中角所 在的象限由a, b 的符号确定，角的值由tan b a 确定 )在求最值、化简时起着重要作用。 如 （1） 若方程sin3cosxxc有实数解， 则c的取值范围是_. （答： 2,2 ） ； （2）当函数23ycos xsin x取得最大值时，tan x的值是 _(答： 3 2 )； （3）如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan= (答： 2)； （4）求值： 20sin64

12、 20cos 1 20sin 3 2 22 _(答： 32) 13、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图 方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3 ,2 22 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接 起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 14、正弦函数sin ()yx xR、余弦函数cos ()yx xR的性质 ： （1）定义域 ：都是 R。 （2）值域 ：都是1,1，对sinyx，当2 2 xkkZ时，y取最大值1；当 3 2 2 xkkZ时，y取最小值 1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最 大值 1，当2xkkZ时，y取最小值 1。 如（

13、1）若函数sin(3) 6 yabx的最大值为 2 3 ，最小值为 2 1 ，则a_，b （答： 1 ,1 2 ab或1b） ； （2）函数 xxxfcos3sin)( （ 2 , 2 x）的值域是 _（答： 1, 2） ； （3） 若2， 则6y c o ss i n的最大值和最小值分别是_ 、 _ （答： 7； 5） ； （4）函数 2 ( )2cossin()3 sin 3 f xxxxsincosxx的最小值是 _， 此时x _（答： 2；() 12 kkZ） ； （ 5） 若cos2sin2sin 22 ，求 22 sinsiny的最大、最小值（答： 1 max y，222 min

14、y） 。 特别提醒 ：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余 弦函数的有界性了吗？ （ 3） 周期性 ： sinyx、cosyx的最小正周期都是2； ( )sin()f xAx 和( )cos()f xAx的最小正周期都是 2 | T。 如 (1) 若 3 sin)( x xf，则(1)(2)(3)(2003)ffff_（答： 0） ； (2)函数 4 ( )cosf xx2sincosxx 4 sin x的最小正周期为_（答：） ； (3) 设函数) 52 sin(2)(xxf，若对任意Rx都有)()()( 21 xfxfxf成立， 则| 21 xx的最小值为 _（答： 2） （ 4 ）

15、 奇 偶 性 与 对 称 性 ： 正 弦 函 数sin()yx xR是 奇 函 数 ， 对 称 中 心 是 ,0kkZ，对称轴是直线 2 xkkZ；余弦函数cos ()yx xR是偶函数， 对称中心是,0 2 kkZ ，对称轴是直线xkkZ（正 (余)弦型函数的对称轴 为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。 如（ 1） 函数 5 2 2 ysinx的奇偶性是 _（答：偶函数） ； （2） 已知函数 3 1f (x )axbsin x(a,b为常数）， 且57f ()， 则5f()_ （答： 5） ； （ 3） 函数)cos(sincos2xxxy的图象的对称中心和

16、对称轴分别是_、 _（答：1 28 k (, )( kZ )、 28 k x(kZ )） ； （ 4 ） 已 知3f ( x )si n ( x)c os( x)为 偶 函 数 ， 求的 值 。（ 答 ： 6 k( kZ )） （ 5 ） 单 调 性 ：sin2,2 22 yxkkkZ 在上 单 调 递 增 ， 在 3 2,2 22 kkkZ 单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调递减， 在2,22kkkZ上单调递增。 特别提醒 ，别忘了kZ！ 15、形如sin()yAx的函数： （1）几个物理量：A振幅； 1 f T 频率（周期的倒数） ；x相位；初 相； （2） 函数sin()yAx表

17、达式的确定： A 由最值确定； 由周期确定；由图象上的特殊点确定， 如( )sin()(0,0f xAxA，|) 2 的图象如图所 示，则( )f x_（答： 15 ( )2sin() 23 f xx） ； （3）函数sin()yAx图象的画法 ：“五点法”设Xx，令X 0， 3 ,2 22 求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法： 这是作函数简图常用方法。 （4）函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：函数sinyx的 图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移|个单位得sinyx的 图象；函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ，得

18、到函数 sinyx的图象；函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象的横坐标不变， 纵坐标向上（0k）或向下（0k） ，得到sinyAxk的图象。要 特别注意 ， 若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位， 如（ 1） 函数2sin(2)1 4 yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？ （答：2sin(2)1 4 yx向上平移1 个单位得2sin(2) 4 yx的图象，再向左平移 8 个单位得2sin 2yx的图象，横坐标扩大到原来的2 倍得2sinyx的图象，最后将纵坐 23题 图 2

19、 9 Y X -2 2 3 标缩小到原来的 1 2 即得sinyx的图象）； (2) 要得到函数cos() 24 x y的图象，只需把函数sin 2 x y的图象向 _平移 _ 个单位（答：左； 2 ） ； （3） 将函数 7 2sin(2)1 3 yx图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称， 这样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一， 求出模最小的向量（答：存在但不唯一， 模最小的向量(, 1) 6 a） ； （4）若函数 cossin0,2fxxx x的图象与直线yk有且仅有四个不同 的交点，则k的取值范围是（答：1, 2)） （5）研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研

20、究sinyx的性质 ，只需将 sin()yAx中的x看成sinyx中的x，但在 求sin()yAx的单调区 间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。 如（1 ）函数2 3 ys in (x)的递减区间是_（答： 5 1212 k,k( kZ )） ； （2） 1 2 34 x ylogcos()的递减区间是_（答： 33 66 44 k, k( kZ )） ； （3）对于函数2sin2 3 fxx 给出下列结论：图象关于原点成中心对称； 图象关于直线 12 x成轴对称；图象可由函数2sin 2yx的图像向左平移 3 个单位得 到；图像向左平移 12 个单位，即得到函数2cos 2yx

21、的图像。其中正确结论是_ （答：） ； （4）已知函数( )2sin()fxx图象与直线1y的交点中，距离最近两点间的距 离为 3 ，那么此函数的周期是_（答：） 16、正切函数tanyx的图象和性质 ： （1）定义域：|, 2 x xkkZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数 的定义域了吗？ （2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是 一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加 绝对值或平方，其周期性是：弦减半、 切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝 对值，其周

22、期性不变，其它不定。如 xyxysin,sin 2 的周期都是, 但sinyx cosx的周期为 2 ，而 1 | 2sin(3)|,| 2sin(3)2| 626 yxyx，| tan|yx的周 期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0 2 k kZ， 特别提醒 ：正 (余 ) 切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点， 另一类是渐近线与x轴的交点， 但 无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间, 22 kkkZ 内都是增函数。但要注 意在整个定义域上不具有单调性。如下图： 17. 三角形中的有关公式： (1) 内角和定理 ：三角形三

23、角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不 能忘记！ 任意两角和 与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角 形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方 和大于第三边的平方. (2) 正弦定理 ：2 sinsinsin abc R ABC ( R 为三角形外接圆的半径). 注意 ：正弦 定理的一些变式：sinsinsini a b cABC；sin,sin,sin 22 ab iiABC RR 2 c R ；2sin,2sin,2 siniiiaRA bRB bRC；已知三角形两边一对角，求解三 角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

24、 (3) 余弦定理 ： 222 222 2cos ,cos 2 bca abcbcAA bc 等，常选用余弦定理鉴定 三角形的形状 . (4) 面积公式 ： 111 sin() 222 a SahabCr abc（其中r为三角形内切圆半径）. 如ABC中，若CBABA 22222 sinsincoscossin，判断ABC的形状（答：直角 三角形）。 特别提醒： （ 1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性： ,sin()sin,sincos 22 ABC ABCABC； （2）求解三角形中含有边角混合关 系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 如（ 1）在ABC中，1

25、12(tan A)(tan B )，则 2 log sinC_（答： 1 2 ） ； 三角函数图象几何性质 xO y x=x1 x=x2 x4 邻中心 |x3-x4|= T/2 邻渐近线 |x1-x2|=T 无穷对称中心 : 由y=0或 y无意义确定 y=Atan(x+) x3 无对称轴 任意一条 y轴的垂线与正切 函数图象都相交 ,且相邻两 交点的距离为一个周期！ t a n ()yA 三角函数图象几何性质 xO y x=x1 x=x2 x4 邻中心 |x3-x4|=T/2 邻轴 |x1-x2|=T/2 无穷对称中心 : 由y=0确定 无穷对称轴 : 由y=A或-A确定 y=Asin(x+) x3 4 T 邻中心轴相距 s i n ()yAx (2)在ABC中，a , b ,分别是角A、B、C所对的边，若 ( abc)(sin Asin B3sinC )a sin B，则C_（答：60） ； （ 3）在ABC中，若其面积 222 4 3 abc S，则C=_（答：30） ； （ 4） 在ABC中，601A, b，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直 径是 _（答： 2 39 3 ） ；