2014年全国各地中考数学汇编：一元二次方程及其应用.pdf

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1、一元二次方程及其应用 一、选择题 1. （ 2014?广东，第 8 题 3 分）关于 x 的一元二次方程x 2 3x+m=0 有两个不相等的实数根， 则实数 m 的取值范围为（） A BCD 考点：根的判别式 专题：计算题 分析：先根据判别式的意义得到=（ 3） 24m0，然后解不等式即可 解答：解：根据题意得=（ 3） 24m0， 解得 m 故选 B 点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0 ）的根的判别式 =b 24ac：当 0，方 程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有 实数根 2. （ 2014?广西玉林市、 防城港市， 第 9 题 3 分

2、）x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使+=0 成立？则正确的是结论是（） Am=0 时成立B m=2 时成立Cm=0 或 2 时成立D不存在 考点：根 与系数的关系 分析：先 由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m 2假设存在实数 m 使 +=0 成立，则=0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可 解答：解 ： x1，x2是关于 x 的一元二次方程x2mx+m2=0 的两个实数根， x1+x2=m，x1x2=m2 假设存在实数m 使+=0 成立，则=0， =0， m=0 当 m=0 时，方程x2mx+m2=0 即为

3、 x22=0，此时 =8 0， m=0 符合题意 故选 A 点评：本 题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程 x 2+px+q=0 的两根 时，那么x1+x2=p，x1x2=q 3(2014 年天津市， 第 10 题 3 分)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场， 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4 场比赛设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（） Ax（x+1）=28 Bx（x1） =28 Cx（ x+1） =28 Dx（x 1）=28 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 分析：关系式为：球队总数 每支球队需赛的场数 2=4

4、 7，把相关数值代入即可 解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x1）场，但2 队之间只有1 场比赛， 所以可列方程为：x（x 1）=4 7 故选 B 点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的 等量关系，注意2 队之间的比赛只有1 场，最后的总场数应除以2 4 （ 2014 年云南省，第5 题 3 分）一元二次方程x 2x 2=0 的解是（ ） Ax1=1，x2=2 Bx1=1，x2=2 C x1=1，x2=2 Dx1=1，x2=2 考点：解一元二次方程因式分解法 分析：直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根 解答：解： x2x2=0 （x2） （x

5、+1）=0， 解得： x1=1，x2=2 故选： D 点评：此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键 5 （ 2014?四川自贡，第5 题 4 分）一元二次方程x 24x+5=0 的根的情况是（ ） A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根 C只有一个实数根D没有实数根 考点 ： 根 的判别式 分析：把 a=1，b=4，c=5 代入 =b24ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况 解答：解 ： a=1，b=4，c=5， =b2 4ac=（ 4） 24 1 5=40， 所以原方程没有实数根 故选： D 点评：本 题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0 ，

6、a，b，c 为常数）的根的判别式 =b 2 4ac当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 6.（2014 云南昆明，第3 题 3 分）已知 1 x、 2 x是一元二次方程014 2 xx的两个根， 则 21 xx等于（） A. 4 B. 1 C. 1 D. 4 考点 ： 一元二次方程根与系数的关系. 分析： 根据一元二次方程两根之积与系数关系分析解答 解答： 解：由题可知：1,4, 1cba，1 1 1 21 a c xx 故选 C 点评： 本题考查一元二次方程)0(0 2 acbxax根与系数的关系 7. （2014 云南昆明， 第 6题 3

7、 分）某果园 2011 年水果产量为100 吨，2013 年水果产量为144 吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题 意可列方程为（） A. 100)1(144 2 xB. 144)1(100 2 x C. 100)1(144 2 xD. 144)1 (100 2 x 考点 ： 由 实际问题抽象出一元二次方程 分析：果 园从 2011 年到 2013 年水果产量问题，是典型的二次增长问题 解答：解 ：设该果园水果产量的年平均增长率为x，由题意有 144)1(100 2 x， 故选 D 点评：此 题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解二次增长是做

8、本题的关键 8 （ 2014?浙江宁波，第9 题 4 分）已知命题 “ 关于 x 的一元二次方程x 2+bx+1=0，当 b0 时 必有实数解 ” ，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（） Ab=1 Bb=2 Cb= 2 Db=0 考点 ：命题与定理；根的判别式 专题 ：常规题型 分析：先根据判别式得到=b24，在满足b0 的前提下，取b=1 得到 0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b= 1 可作为说明这个命题是假命题的一个反例 解答：解： =b24，由于当b=1 时，满足b0，而 0，方程没 有实数解，所以当b= 1 时，可说明这个命题是假命题 故选 A 点评：本题考查了命题与

9、定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多 命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由 已知事项推出的事项，一个命题可以写成“ 如果 那么 ” 形式； 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也 考查了根的判别式 9. （2014?益阳，第 5 题， 4 分）一元二次方程x 22x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条 件是（） A m1 B m=1 C m1 Dm1 考点 ： 根 的判别式 分析：根 据根的判别式，令0 ，建立关于m 的不等式，解答即可 解答：解 ：方程x2 2x+m=0 总有实数根， 0 ， 即 4 4m0 ， 4m 4， m1 故选 D 点评：本

10、题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系： （ 1） 0? 方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0? 方程有两个相等的实数根； （ 3） 0? 方程没有实数根 10 （2014?呼和浩特，第10 题 3 分）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一 点 A（a，c） ，点 B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根 x1，x2判断正确的是（） A x1+x21，x1?x20 B x1+x2 0，x1?x2 0 C0x1+x21，x1?x2 0 Dx1+x2与 x1?x2的符号都不确定 考点 ： 根 与系数的关系；反比例函数图象

11、上点的坐标特征 分析：根 据点 A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出a0，c0，再点 B（b，c+1）在 该函数图象的另外一支上，得出b 0，c 1，再根据 x1?x2= ，x1+x2=，即可得 出答案 解答：解 ：点 A（a，c）在第一象限的一支曲线上， a0，c0， 点 B（b， c+1）在该函数图象的另外一支上， b0，c+10， c 1， x1?x2= 0，0x1+x21， 故选 C 点评：本 题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关 键；若 x1，x2是关于 x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a0 ，a，b，c 为常数）的两个实 数根，则x1

12、+x2= ，x1x2= 11.（2014?菏泽，第 6 题 3 分）已知关于x 的一元二次方程x2+ax+b=0 有一个非零根b， 则 ab 的值为（） A1B1 C0D2 考点：一元二次方程的解 分析：由于关于x 的一元二次方程x2+ax+b=0 有一个非零根b，那么代 入方程中即可得到b2 ab+b=0，再将方程两边同时除以b 即可求 解 解答：解：关于 x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根b， b2ab+b=0， b0 ， b0 ， 方程两边同时除以b，得 ba+1=0， a b=1 故选 A 点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根 直接代入方程进而解

13、决问题 12 （2014 年山东泰安，第13 题 3 分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系， 每盆植 3 株时，平均每株盈利4 元；若每盆增加1 株，平均每株盈利减少0.5 元，要使 每盆的盈利达到15 元， 每盆应多植多少株？设每盆多植x株， 则可以列出的方程是 （） A （3+x） （4 0.5x）=15 B （x+3） （4+0.5x）=15 C （x+4） （30.5x）=15 D （ x+1） （40.5x）=15 分析：根据已知假设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为 （40.5x）元，由题意得（x+3） （40.5x）=15 即可 解：设每盆

14、应该多植x 株，由题意得（3+x） （40.5x）=15，故选 A 点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数 平均单株盈利=总盈利得出 方程是解题关键 二.填空题 1. （ 2014?广西贺州，第16 题 3 分）已知关于x 的方程 x 2+（1m）x+ =0 有两个不相等 的实数根，则m 的最大整数值是0 考点：根 的判别式 专题：计 算题 分析：根据判别式的意义得到 =（1 m） 24 0，然后解不等式得到m 的取值范围， 再在此范围内找出最大整数即可 解答：解：根据题意得 =（1m） 24 0， 解得 m， 所以 m 的最大整数值为0 故答案为0 点评：本 题考查了一元二次方

15、程ax2+bx+c=0（a0 ）的根的判别式 =b 2 4ac：当 0，方 程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有 实数根 2 （ 2014?舟山，第11 题 4 分）方程x 23x=0 的根为 考点 ： 解 一元二次方程因式分解法 分析：根 据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解 得原方程的解 解答：解 ：因式分解得，x（x3）=0， 解得， x1=0，x2=3 点评：本 题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左 边的式子因式分解，再利用积为0 的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方 程的一

16、种简便方法，要会灵活运用 3. （ 2014?扬州，第 17 题，3 分）已知 a， b 是方程 x 2x3=0 的两个根， 则代数式 2a3+b2+3a2 11ab+5 的值为23 考点 ： 因 式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系 专题 ： 计 算题 分析：根 据一元二次方程解的定义得到a2a3=0， b2b3=0，即 a 2 =a+3，b 2=b+3，则 2a 3+b2+3a211ab+5=2a（ a+3）+b+3+3（a+3） 11ab+5，整理得 2a 22a+17，然后再把 a2=a+3 代入后合并即可 解答：解 ： a，b 是方程 x2x3=0 的两个根， a 2a3=

17、0，b2 b3=0，即 a2 =a+3，b 2=b+3， 2a3+b2+3a211ab+5=2a（a+3） +b+3+3（a+3） 11ab+5 =2a 22a+17 =2（a+3） 2a+17 =2a+62a+17 =23 故答案为23 点评：本 题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问 题；利用因式分解简化计算问题也考查了一元二次方程解的定义 4.（2014?呼和浩特，第15 题 3 分）已知m，n 是方程 x 2+2x5=0 的两个实数根，则 m 2 mn+3m+n=8 考点 ： 根 与系数的关系；一元二次方程的解 专题 ： 常 规题型 分析：根据 m+n

18、= = 2，m? n=5，直接求出m、n 即可解题 解答：解 ： m、n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根， 且一元二次方程的求根公式是 解得： m=1，n=1或者 m=1，n=1， 将 m=1、n=1代入 m 2 mn+3m+n=8； 将 m= 1、n=1 代入 m2mn+3m+n=8； 故答案为： 8 点评：此 题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和 n 的值是解决问题 的关键 5.（2014?德州，第 16 题 4分）方程 x 2+2kx+k22k+1=0 的两个实数根 x1，x2满足 x1 2+x 2 2=4， 则 k 的值为1 考点 ： 根 与系数的关系 分

19、析：由 x1 2+x 2 2=x 1 2+2x 1?x2+x2 22x 1?x2=（x1+x2） 22x 1?x2=4，然后根据根与系数的关系即可 得到一个关于k 的方程，从而求得k 的值 解答：解 ；x1 2+x 2 2=4， 即 x12+x22=x12+2x1?x2+x222x1?x2=（x1+x2） 22x 1? x2=4， 又 x1+x2=2k，x1?x2=k22k+1， 代入上式有4k24（k22k+1）=4， 解得 k=1 故答案为： 1 点评：本 题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0 ）的根与系数的关系： 若方程的两根为x1， x2，则 x1+x2=，x1?x2= 6

20、（ 2014?济宁，第 13 题 3 分）若一元二次方程ax 2=b（ab0）的两个根分别是 m+1 与 2m 4，则=4 考点 ： 解 一元二次方程直接开平方法 专题 ： 计 算题 分析：利 用直接开平方法得到 x=，得到方程的两个根互为相反数，所以 m+1+2m4=0， 解得 m=1，则方程的两个根分别是2 与 2，则有=2，然后两边平方得到=4 解答：解： x2= （ab0） ， x=， 方程的两个根互为相反数， m+1+2m4=0，解得 m=1， 一元二次方程ax2=b（ab0）的两个根分别是 2 与 2， =2， =4 故答案为4 点评：本 题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如x

21、 2=p 或（ nx+m）2=p（p0 ）的一 元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程如果方程化成x2=p 的形式， 那么可得x= p；如果方程能化成（nx+m） 2=p（p0 ）的形式，那么 nx+m= p 三.解答题 1. （ 2014?广西玉林市、防城港市，第24 题 9 分）我市市区去年年底电动车拥有量是10 万辆， 为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初， 市交通部门要求我市到明年年底控制电动车 拥有量不超过11.9 万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%， 假定每年新增电动车数量相同，问： （1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？ （2）在（

22、 1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确 到 0.1%） 考点：一 元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 分析：（ 1）根据题意分别求出今年将报废电动车的数量，进而得出明年报废的电动车数量， 进而得出不等式求出即可； （ 2）分别求出今年年底电动车数量，进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的 年增长率 解答：解 ： （1）设从今年年初起每年新增电动车数量是x 万辆， 由题意可得出：今年将报废电动车：10 10%=1（万辆）， （101）+x（1 10%）+x11.9 ， 解得： x2 答：从今年年初起每年新增电动车数量最多是2 万辆； （ 2）今年年底电动

23、车拥有量为：（101）+x=11（万辆）， 明年年底电动车拥有量为：11.9 万辆， 设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则 11（1+y）=11.9， 解得： y0.082=8.2% 答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2% 点评：此 题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分别表示出今年与 明年电动车数量是解题关键 2 （ （2014?新疆，第19 题 10 分）如图，要利用一面墙（墙长为25 米）建羊圈，用100 米 的围栏围成总面积为400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC 各为多 少米？ 考点 ： 一 元二次方程的应用

24、专题 ： 几 何图形问题 分析：设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为（ 1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方 程 解答：解 ：设 AB 的长度为x，则 BC 的长度为（ 1004x）米 根据题意得（1004x）x=400， 解得x1=20，x2=5 则 1004x=20 或 1004x=80 8025， x2=5 舍去 即 AB=20，BC=20 答：羊圈的边长AB，BC 分别是 20 米、 20 米 点评：本 题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 3.2014 年广东汕尾，第22 题 9 分）已知关于x

25、 的方程 x 2+ax+a 2=0 （1）若该方程的一个根为1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 分析： （1）将 x=1 代入方程x2+ax+a2=0 得到 a 的值， 再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答 解： （1）将 x=1 代入方程x 2+ax+a2=0 得， 1+a+a2=0，解得， a= ； 方程为 x2+ x=0，即 2x 2+x3=0，设另一根为 x1，则 1x1=，x1= （2） =a24（a2）=a24a+8=a24a+4+4=（ a2） 2+40 ， 不论 a 取

26、何实数，该方程都有两个不相等的实数根 点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用 4.（2014?毕节地区，第25 题 12 分）某工厂生产的某种产品按质量分为10 个档次，第1 档 次（最低档次）的产品一天能生产95 件，每件利润6 元每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少5 件 （1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且1 x10 ），求出y 关于 x 的函数关系式； （2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120 元，求该产品的质量档次 考点 ：二次函数的应用；一元二次方程的应用 分析：（1）每件的利润为6+2（x1），

27、生产件数为95 5（x1），则 y=6+2 （x 1） 955（x1）； （2）由题意可令y=1120，求出 x 的实际值即可 解答：解：（ 1）第一档次的产品一天能生产95 件，每件利润6 元，每提高一个档 次，每件利润加2 元，但一天生产量减少5 件 第 x 档次，提高的档次是x1 档 y=6+2 （x1）955（ x1）， 即 y=10x2+180x+400（其中 x 是正整数，且 1 x 10 ）； （2）由题意可得：10x 2+180x+400=1120 整理得： x 218x+72=0 解得： x1=6，x2=12（舍去） 答：该产品的质量档次为第6 档 点评：本题考查了二次函数的

28、性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函 数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结 合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最 小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得 5.（2014?襄阳，第 16 题 3分）若正数a 是一元二次方程x 2 5x+m=0 的一个根， a 是一元 二次方程x2+5xm=0 的一个根，则 a 的值是5 考点 ： 一 元二次方程的解 分析：把 x=a 代入方程x25x+m=0， 得 a 25a+m=0， 把 x=a 代入方程方程 x2+5xm=0， 得 a25am=0，再将 +，即可求出a 的值 解

29、答：解 ： a 是一元二次方程x 25x+m=0 的一个根， a 是一元二次方程x 2+5xm=0 的 一个根， a 25a+m=0， a25am=0， +，得 2（a25a）=0， a0， a=5 故答案为5 点评：本 题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边 相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做 这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 6. （2014?湘潭，第 26 题）已知二次函数y=x 2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，直线 AC 解析式为y=kx+4， （1）求二次函数解析式； （2

30、）若=，求 k； （3）若以 BC 为直径的圆经过原点，求k （第 1 题图） 考点 ： 二 次函数综合题 分析：（ 1）由对称轴为 x=，且函数过（0，0） ，则可推出b，c，进而得函数解析式 （ 2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B， C 对 x 轴的垂线， 进而有 B，C 横坐标的比为= 由 B， C 为直线与二次函数的交点， 则联立可求得B，C 坐标由上述倍数关系，则k易得 （ 3）以 BC 为直径的圆经过原点，即BOC=90 ，一般考虑表示边长，再用勾股定理 构造方程求解k可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路， 发现 B，C 横纵坐

31、标恰好可表示出EB，EO，OF，OC而由 BOC=90 ，易证 EBO FOC，即 EB?FC=EO?FO有此构造方程发现k 值大多可约去，进而可得 k 值 解答：解 ： （1）二次函数y=x 2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点， =2，0=0+0+c， b=4，c=0， y=x2+4x （ 2）如图 1，连接 OB，OC，过点 A 作 AEy 轴于 E，过点 B 作 BFy 轴于 F， =， =， =， EBFC， = y=kx+4 交 y=x2+4x 于 B，C， kx+4=x2+4x，即 x2+（ k4）x+4=0， =（k4） 24?4=k28k， x=，或 x=， xBxC

32、， EB=xB= ，FC=xC=， 4?=， 解得k=9（交点不在y 轴右边，不符题意，舍去）或k=1 k=1 （ 3） BOC=90 ， EOB+FOC=90 ， EOB+EBO=90 ， EBO=FOC， BEO=OFC=90 ， EBO FOC， ， EB?FC=EO? FO xB= ，xC=，且 B、 C 过 y=kx+4， yB=k? +4，yC=k?+4， EO=yB=k? +4， OF=yC=k?4， ?=（k?+4）? （ k?4） ， 整理得16k=20， k= 点评：本 题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、 一元二次方程及圆的基本知识题 目特殊，貌似思路不难，但若思

33、路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考 生应好好理解掌握 7. （2014?株洲，第 21 题， 6 分）已知关于x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（ac）=0， 其中 a、 b、c 分别为 ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 考点 ： 一 元二次方程的应用 分析：（ 1）直接将 x=1 代入得出关于a，b 的等式，进而得出a=b，即可判断 ABC 的形 状； （ 2）利用根的判别式进而得出关于a，

34、b，c 的等式，进而判断ABC 的形状； （ 3）利用 ABC 是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可 解答：解 ： （1） ABC 是等腰三角形； 理由： x=1 是方程的根， （ a+c） （ 1）22b+（a c）=0， a+c 2b+ac=0， ab=0， a=b， ABC 是等腰三角形； （ 2）方程有两个相等的实数根， （ 2b）24（a+c） （ac）=0， 4b24a2+4c2=0， a2=b2+c2， ABC 是直角三角形； （ 3）当 ABC 是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac） =0，可整理为： 2ax 2+2ax=0， x2+x=0， 解得： x1=

35、0，x2=1 点评：此 题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确 由已知获取等量关系是解题关键 8. （2014 年江苏南京， 第 22 题，8 分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本， 其中固定成本每年均为4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1 年的可变成本为2.6 万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x （1）用含 x 的代数式表示第3 年的可变成本为2.6（1+x）2万元 （2）如果该养殖户第3 年的养殖成本为7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率 x考点： 列一元二次方程解实际问题的运用% 分析 ： （1）根据增长率问题由第

36、1 年的可变成本为2.6 万元就可以表示出第二年的可变 成本为 2.6（ 1+x） ，则第三年的可变成本为2.6（1+x） 2，故得出答案； （2）根据养殖成本=固定成本 +可变成本建立方程求出其解即可 解答： （1）由题意，得第3 年的可变成本为：2.6（1+x） 2，故答案为： 2.6（ 1+x）2； （2）由题意，得4+2.6（1+x） 2=7.146， 解得： x1=0.1，x2=2.1（不合题意，舍去） 答：可变成本平均每年增长的百分率为10% 点评： 本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元 二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程

37、是关键 9. （2014 年江苏南京，第24 题）已知二次函数y=x 22mx+m2+3（m 是常数） （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只 有一个公共点？ 考点：二次函数和x 轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何 变换的应用 分析： （1）求出根的判别式，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可 （1）证明：=（ 2m） 24 1 （m2+3）=4m2 4m2 12=120， 方程 x22mx+m 2 +3=0 没有实数解， 即不论 m

38、为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）解答： y=x22mx+m2+3=（ xm） 2+3， 把函数 y=（xm） 2+3 的图象延 y 轴向下平移3 个单位长度后，得到函数y=（ xm） 2 的图象，它的顶点坐标是（ m， 0） ， 因此，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点， 所以，把函数y=x2 2mx+m2+3 的图象延 y 轴向下平移3 个单位长度后，得到的函数的 图象与 x 轴只有一个公共点 点评：本题考查了二次函数和x 轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的 图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的 难度 10. （2014

39、?泰州，第17 题， 12 分） （1）计算： 2 4 +|14sin60 |+（ ） 0； （2）解方程： 2x 24x 1=0 考点 ： 实 数的运算；零指数幂；解一元二次方程公式法；特殊角的三角函数值 分析：（ 1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊 角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到 结果； （ 2）找出 a，b，c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解 解答：解 ： （1）原式 =162+21+1=16； （ 2）这里 a=2，b=4，c=1， =16+8=24 ， x= 点评：此 题考查了

40、实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 11. （2014?扬州，第 20 题， 8 分）已知关于x的方程（ k1）x 2（k1）x+ =0 有两个相 等的实数根，求k 的值 考点 ： 根 的判别式；一元二次方程的定义 分析：根 据根的判别式令=0，建立关于k 的方程，解方程即可 解答：解：关于 x 的方程（ k 1）x 2（ k1）x+ =0 有两个相等的实数根， =0， （ k1）2 4（k1）=0， 整理得， k 23k+2=0， 即（ k1） （k2）=0， 解得： k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2 k=2 点评：本 题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的

41、关系： （ 1） 0? 方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0? 方程有两个相等的实数根； （ 3） 0? 方程没有实数根 一元二次方程及其应用 选择题 1. （2014?海南 , 第 10 题 3 分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为 81 元已 知两次降价的百分率都为x，那么 x 满足的方程是（） A100（1+x）2=81 B 100（1x） 2=81 C100（1x%）2=81 D100x2=81 考点 ： 由 实际问题抽象出一元二次方程 专题 ： 增 长率问题 分析：若 两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1x）元，第二次降价后 价格为 100（1x

42、） （1x） =100（1x） 2 元，根据题意找出等量关系：第二次降价 后的价格 =81 元，由此等量关系列出方程即可 解答：解 ：设两次降价的百分率均是x，由题意得： x 满足方程为100（1x） 2=81 故选 B 点评：本 题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程 2 （ 2014?宁夏，第 3 题 3 分）一元二次方程x 22x1=0 的解是（ ） Ax1=x2=1 B x1=1+，x2=1 Cx1=1+， x2=1 Dx1=1+，x2= 1 考点 ： 解 一元二次方程-配方法 专题 ： 计 算题 分析：方 程变形后，配方得到结果，开方即可求出值 解答

43、：解 ：方程 x 2 2x1=0，变形得： x22x=1 ， 配方得： x 22x+1=2，即（ x1）2=2， 开方得： x1=， 解得： x1=1+ ，x2=1 故选 C 点评：此 题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 3(2014?陕西 , 第 8题 3 分)若 x=2 是关于 x 的一元二次方程x 2 ax+a2=0 的一个根，则 a 的值为（） A1 或 4 B1 或 4 C 1 或 4 D 1 或 4 考点：一元二次方程的解 分析：将 x=2 代入关于 x 的一元二次方程x2ax+a2=0，再解关于 a的一元二次方程 即可 解答：解： x=2 是关于 x

44、 的一元二次方程x 2 ax+a2=0 的一个根， 4+5a+a2=0， （ a+1） （a+4）=0， 解得 a1= 1，a2=4， 故选 B 点评：本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x 的值代入，再解关于a 的方程即可 4（2014?湖北黄冈 ,第 6 题 3 分） 若 、 是一元二次方程x 2+2x6=0 的两根，则 2+2= （ ） A8 B 32 C16 D40 考点 ： 根 与系数的关系 专题 ： 计 算题 分析：根 据根与系数的关系得到 + =2，=6，再利用完全平方公式得到 2+2=（ + ） 22 ，然后利用整体代入的方法计算 解答：解 ：根据题意得 + =2

45、，=6， 所以 2+2=（ + ）22 =（ 2） 22 （ 6）=16 故选 C 点评：本 题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0 ）的根与系数的关系：若方程两个为 x1， x2，则 x1+x2=，x1?x2= 5. （2014?湖北荆门 ,第 5 题 3 分）已知是一元二次方程x 2x1=0 较大的根，则下面对 的估计正确的是（） A0 1 B1 1.5 C 1.5 2 D 2 3 考点：解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小 分析：先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案 解答：解：解方程x2x1=0 得： x=， a 是方程 x 2x1=0 较大的根， a=， 23，

46、31+4， 2， 故选 C 点评：本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题 目，难度适中 6 （2014?攀枝花，第8 题 3 分）若方程x2+x 1=0 的两实根为 、 ，那么下列说法不正确 的是（） A +=1 B = 1 C 2+2=3D +=1 考点：根 与系数的关系 专题：计 算题 分析：先 根据根与系数的关系得到+= 1，= 1，再利用完全平方公式变形2+2 得到 （ +） 22，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计 算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断 解答：解 ：根据题意得+= 1，= 1 所以 2+2= （+）2 2= （ 1）22 （ 1）=3； +=1 故选 D 点评：本 题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0 ）的根与系数的关系：若方程两个为x1， x2，则 x1+x2= ，x1?x2= 7 二、填空题 1. （2014?湖南永州 ,