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1、一元二次方程的应用 知识导入（进入美妙的世界啦） 学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的 应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔， 事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找 到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之 间的关系， 找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正 确性并作答 . 知识梳理 一元二次方程的应用主要分为：( 增长率、面积问题、握手、利润问题、动点问题) 列方程解决实际问题的六个步骤： （1）“
2、审”：审题，弄清题意，找出等量关系和数量关系； （2）“设”：设未知数，并根据数量关系用未知数表示一些未知量； （3）“列”：根据等量关系和数量关系，列出方程（注意单位要统一）； （4）“解”：解方程； （5）“验”：检验方程的解是否符合实际意义； （6）“答”：最后记得要写答。 典例与变式 考点一：增长率问题 例 1：在国家宏观调控下，某市的商品房成交价由今年7 月份的 14000 元/m 2 下降到 9 月份 的 12600 元 /m 2 (1）问这两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：0.90.95） (2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到10 月分该市的商品房成交均
3、价是否会跌破10000 元 /m 2？请说明理由。 变式 1：某企业 2013 年盈利 1500 万元， 2015 年克服金融危机的不利影响，仍实现盈利2160 万元。从2013 年到 2015 年，如果该企业每年的盈利的年增长率相同，求： (1)该企业 2014 年盈利多少万元？ (2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2016 年盈利多少万元？ 变式 2：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电 脑被感染 请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若 病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？ 变式 3：为
4、建设美丽泉城，喜迎十艺节，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2012 年投入了400 万元，预计到2014 年将投入 576 万元 （1）求 2012 年至 2014 年该单位环保经费投入的年平均增长率； （2）该单位预计2015 年投入环保经费不低于680 万元，若继续保持前两年的年平 均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由 方法总结：增长（降低）率问题：MA(1) n x（其中 A是增或减前量，M是增或减 后量，x是平均增长或降低率，n是增长或降低次数） 考点二：面积问题 例 1：如图，要利用一面墙（墙长为25 米）建羊圈，用100 米的围栏围成总面积为400 平 方米的三个大小相
5、同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？ 变式 1：如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用25 米），围成一个矩形花园ABCD ，与围 墙平行的一边BC 上要预留3 米宽的入口（如图中MN 所示，不用砌墙），用砌 46 米长的墙的材料，当矩形的长BC 为多少米时，矩形花园的面积为299 平方米 变式 2：某村计划建造如图2 所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为21。在温室内， 沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道。当矩形温室的 长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2？ 蔬菜种植区域 前 侧 空 地 图 2 变式 3：为响应市委市政府提出的建设“ 绿色
6、襄阳 ” 的号召，我市某单位准备将院内一块长 30m，宽 20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行 和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示， 要使种植花草的面积为 532m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等， 且每段小道均为平行四边形） 变式 4：如图，把一张长10cm， 宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形， 再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计） （1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，
7、请你求 出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由 考点三：握手问题 例 1：一次会议上， 每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66 次手这 次会议到会的人数是多少？ 方法总结：1、矩形的面积=长宽 2、未知边长设为未知数，一般设较短边为x. 变式 1：要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 变式 2：某一兴趣小组有若干人 , 新年互送贺卡一张, 已知全组共送贺卡132 张, 求这个小组 人数 . 考点四：利润问题 例 1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利45 元，为了扩
8、大销售、 增加盈利，尽快减少库存 ，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬 衫每降价1 元，商场平均每天可多售出4 件，若商场平均每天盈利2100 元，每件衬 衫应降价多少元？ 变式 1：合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20 件，每件 盈利 40 元. 为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销 售量， 增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装降价4 元，那么平均 每天就可多售出8 件. 要想平均每天销售这种童装上盈利1200 元，那么每件童装 因应降价多少元？ 变式 2：某商店将进货为8 元的商品按每件10 元售出，每天可销售
9、200 件，现在采用提高 商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高0.5 元 其销售量就减少10 件， 问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640 元？ 考点五：动点问题 例 1:如图， 在ABC 中，B=90 ，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动， Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动，如果点P、Q 分别从 A、B 同时 出发，几秒钟后， PBQ 的面积等于8cm 2？ 方法总结： 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点. 抓住题中的进价、售价、进货数量，即可求出单件利润、总
10、利润等； 重点折扣问题：售价=标价 （打折数 10） 变式 1：如图，矩形ABCD ，AB=6cm ，AD=2cm ，点 P 以 2cm/s 的速度从顶点A 出发沿折 线 ABC 向点 C 运动，同时点Q 以 1cm/s 的速度从顶点C 出发向点D 运动， 当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动 （1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的； （2）问两动点经过多长时间使得点P与点 Q 之间的距离为？若存在，求出运 动所需的时间；若不存在，请说明理由 变式 2：甲、乙两人分别骑车从A，B 两地相向而行，甲先行1 小时后，乙才出发，又经 过 4 小时两人在途
11、中的C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C 地到达 A 地的途中因故停了20 分钟，结果乙由C 地到达 A 地时比甲由C 地到达 B 地还提前了40 分钟， 已知乙比甲每小时多行驶4 千米， 求甲、 乙两人骑车的速 度。 方法总结： 1、有些题目虽然是一道动点应用题，但它又要运用到行程的知识，求解 时必须依据路程速度 时间。2、抓住题中相等的量进行求解，例如两人先后走，或 者一人先慢后快走，走的路程相同. 强化训练 1、如图，在一条长90 米，宽 60 米的矩形草地上修三条小路，小路都等宽，除小路外，草 地面积为5192 米 2 的 6 个矩形小块，则小路的宽度应为（） A. 1
12、米或 104 米B. 1 米 C. 2米D. 1.5米 2、 甲公司前年缴税40万元， 今年缴税 48.4 万元， 该公司缴税的年平均增长率为_。 3、有一面积为150m 2 的长方形鸡场， 鸡场的一边靠墙 （墙长 18 m），另三边用竹篱笆围成， 如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少。 4、一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2 条和 4 条小 渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600 米 2，那么水渠应挖多宽？ 5、将进货单价为40 元的商品按50 元出售时，能卖500 个，已知该商品每涨价1 元，其销 售量就要减少10 个，为了赚8
13、000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 6、 （2010 安徽省 ） 在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3 月分的 14000 元/ 下降到 5 月分的 12600 元/ 问 4、 5两月平均每月降价的百分率是多少？ 如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月分该市的商品房成交均价是否会跌 破 10000 元/？请说明理由 7、如图，在RtACB中， C=90，点 P、Q同时由 A、B两点出发分别沿AC ，BC方向向点 C匀速运动，它们的速度都是1m/s，几秒后 PCQ 的面积为RtACB面积的一半？（AC=6m ， BC=8m ） 8、矩形 ABCD中，点
14、P从点 A 沿 AB向 B 点以每秒2cm的速度移动，点Q从点 B 开始沿 BC 向 C点以每秒 1cm的速度移动， AB=6cm ，BC=4cm ，若 P、Q两点分别从A、B同时出发，问几 秒钟后 P、Q两点之间的距离为22cm ？（ 6 分） D A BC P Q 9、某军舰以20 海里 /时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30 海里 /时的速度由南向 北航行，它能侦察周周围50 海里（含50 海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A 处 时，电子侦察船正位于A 处正南方向的B 处，且 AB=90 海里。若军舰和侦察船仍按原速度 沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军？如
15、果能，最早何时能侦察到？ 如果不能，请说明理由。 课后作业 1、某超市一月份的营业额为200 万元，一月、二月、三月的营业额共1000 万元，如果平均 每月增长率为x，则由题意列方程应为（） （A）10001200 2 x（B）10002200200x （C）10003200200x（D）1000111200 2 xx 2、某种服装，平均每天可以销售20 件，每件盈利44 元，在每件降价幅度不超过10 元的情 况下，若每件降价1 元，则每天可多售出5 件，如果每天要盈利1600 元，每件应降价多少 元？ 3、如图，有一长方形的地，该地块长为x 米，宽为 120 米，建筑商将它分成三部分：甲、
16、乙、丙甲和乙为正方形现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司若已知丙地 的面积为3200 平方米，你能算出x 的值吗？ 4、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙， 围成一个矩形花园ABCD（围 墙 MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩 形花园的面积为300m2 5、学校组织一次兵乓球比赛, 参赛的每两个选手都要比赛一场, 所有比赛一共有36 场, 问有 多少名同学参赛？用一元二次方程，化成一般形式。 6、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40 元，按每千克60 元出售，平均每天可售 出 100 千克， 后来经过市场调查发现，
17、单价每降低2 元，则平均每天的销售可增加20 千克， 若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240 元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？ 7、在某场象棋比赛中，每位选手和其他选手赛一场，胜者记2 分，败者记0 分，平局各记 1 分，今有四位统计员统计了全部选手的得分之和分别是2025 分、 2027 分、 2070 分、2085 分，经核实，只有一位统计员的结果是正确的，问这场比赛有几位选手参加？ 8、每件商品的成本是120 元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始 终存在下
18、表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样。为找到每件产品的最佳定价，商 场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间的数量 关系的情况下， 每件定价为m元时， 每日盈利可以达到最佳值1600 元。请你做营销策划员， m的值应为多少？ 每件售价130 150 165 每日销售70 50 35 9、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树 苗不超过60 棵，每棵售价120 元；如果购买树苗超过60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树 苗每棵售价均降低0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于100 元，该校最终向园林公司支付 树苗款 8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 10 、 如 图 ： Rt ABC 中 ， B=90 ，AB=6cm， BC=8cm， 点 P 从 A 点 开 始 沿 AB 边 向 点 B 以 2cm/s的 速 度 移 动 ， 点 Q从 B 点 开 始 沿 BC 边 向 点 C 以 4cm/s的 速 度 移 动 ， 则 P、 Q 分 别 从 A、 B 同 时 出 发 ， 经 过 多 少 秒 钟 ， PBQ的 面 积 等 于 10cm 2？