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1、- 1 - 湛江市 2013 年初中毕业生学业考试 数学试卷 说明： 1本试卷满分150 分，考试时间90 分钟 2本试卷共4 页，共 3 大题 3答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”，然后按要求写在答题卡相应的位 置上 4请考生保持答题卡的整洁，考试结束，将试卷和答题卡一并交回 注意：在答题卡上作图必须用黑色字迹的钢笔或签字笔. 一、 选择题： 本大题 12 小题，每小题4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是 符合题目要求的 1. 下列各数中，最小的数是（） .A 1 .B 1 2 .C0.D1 解析：主要考查学生对有理数相关概念的理解，由正数0负数可知，其中的负数
2、最小， 选D 2. 国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为 213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（） .A 6 213 10.B 7 21.310.C 8 2.13 10.D 9 2.1310 解析：本题要求学生掌握科学记数法的表示方法，即数N用科学记数法表示为： 10110, n NaanN为 的整数位位数减 1，选C 3. 气候宜人的省级度假旅游胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17、17、20、 22、 24（单位：C），这组数据的中位数是（ ） .A24.B22.C20.D17 解析： 考点是中位数， 即在一组
3、按从小到大或从大到小的顺序排列的数据中，若这组数据的 个数是奇数， 则处于中间位置的数是这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则处于 中间位置的两个数的平均是这组数据的中位数；本组数据共5 个，且已经按小到大的顺序排 列，那么第3 个数据就是中位数，选C 4、如下左图是由6 个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（） 解析：如果学生对正视图（从前往后看）、左视图（从左向右看）、俯视图（从上往下看） 这些概念比较清楚，很容易选A 5、已知一个多边形的内角和是540 ，则这个多边形是（） .A四边形.B五边形.C六边形.D七边形 - 2 - 解析：本题主要考查n边形的内角和公式： 0 1
4、802n，由 00 1802540n，得5n， 选B，本题也用到方程的解题思想。 6、在平面直角坐标系中，点A2, 3在第（）象限 .A一.B二.C三.D四 解 析 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 的 横 纵 坐 标 共 同 决 定 点 所 在 的 象 限 ， 点 ,、 ,分别在第一、二、三、四象限，选D 7、下列运算正确的是（） .A 236 aaa.B 4 26 aa.C 43 aaa.D 2 22 xyxy 解析：本题考查到的公式：1、幂指数运算： , n mnm nmmnmnm n aaaaaaaa 2、完全平方和公式： 2 22 2xyxxyy，选C 8、函数3yx中
5、，自变量x的取值范围是（） .A3x.B3x.C3x.D3x 解析：函数中含二次根式的部分，要求其被开方数是非负数，即30,3xx，选B 9、计算 2 22 x xx 的结果是（） .A0.B.C1.Dx 解析：考查的知识点是分式的简单运算：同分母相减，分母不变，分子相减；同时注意过程 中适当灵活的“变形”， 2 22 1 2222 x xx xxxx ，选C 10、由于受H7N9 禽流感的影响，今年4 月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12 元， 连续两次下降%a售价下调到每斤是 5 元，下列所列方程中正确的是（） .A 2 12 1%5a.B 2 12 1%5a .C12 12 %5a.
6、D 2 12 1%5a 解析：考查一元二次方程的实际应用，由原来每斤12 元，第一次下降%a 售价为：12 1%a，再下降%a售价为：12 1%1%aa， 2 12 1%5a，选B 11、如图，AB是O的直径，110AOC， 则D（） .A 0 25.B 0 35 .C 0 55.D 0 70 - 3 - 解析：考查圆心角与圆周角的关系及邻补角的和为 0 180，110 ,AOC 000 1 18070 ,35 2 BOCAOCBDCBOC，选B 12、四张质地、 大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况 下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为（） .A
7、 1 2 .B 1 4 .C 3 4 .D 解析：主要考查轴对称图形的判断和概率知识，以上四个图形中是轴对称图形的有等腰梯形 和圆两个，所以概率应该是二分之一，选A，考生容易错误认为平行四边形也是轴对称 图形，错选了C 二、 填空题： 本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分 13、分解因式： 2 4x 解析：考查分解因式的公式法，用平方差公式： 22 aba b a b， 222 4222xxxx 14、抛物线 2 1yx的最小值是 解析： 主要考查学生对一些常见的数学结论的掌握， 22 0,1 1,xx即1y，y的 最小值为1 15、若反比例函数 k y x 的图象经过点1,2A，则k
8、 解析：考查学生对反比例函数概念及解析式的理解和掌握， 将点1,2A代入 k y x ，得2,2 1 k k 16、如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴 上从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,，顶点依次用 1234 AAAA、表示，其中 12 A A与x轴、底边 12 A A与 45 A A、 45 A A与 78 A A、均相距一个单位，则顶点 3 A的坐标是， 92 A的坐标是 解析：考查正三角形的相关知识及找规律的能力。由图知， 3 A的纵坐标为： - 4 - 0 23 3 sin601 213 1 2 A A， 3 0, 31A，而 2 A的横坐标为： 0 23 1
9、sin30 21 2 AA， 由题意知， 2 A的纵坐标为1， 2 1, 1A，容易发现 2 A、 5 A、 7 A、 92 A、这些 点在第四象限，横纵坐标互为相反数， 2 A、 5 A、 7 A、 92 A、的下标 2、5、7、 、92、有规律：92230 3231 13， 92 A是第31 个正三角形（从里 往外）的右端点， 92 31, 31A 三、解答题：本大题共10 小题，其中1718 每小题 6 分， 1922 每小题 8 分， 2325 每小 题 10 分， 26 题 12 分，共 86 分 17、计算： 2 -6 +91. 解：原式63 1 8 18、解不等式组，并把它的解集
10、在数轴上表示出来 解：由，得1x 由，得1x 不等式、的解集在数轴上表示为： 不等式组的解集为：11x 19、如图，点BFCE、 、 、在一条直线上，FBCE， / /,/ /,ABED ACFD求证：ACDF 证明：/ /,;ABEDBE / /,ACFDACBEFD,FBCEBCEF ABCDEFACDF 20、把大小和形状完全相同的6 张卡片分成两组，每组3 张，分别标上数字1、2、3，将这 两组卡片分别放入两个盒子中搅均，再从中各随机抽取一张 （）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率 （） 若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙 胜；试分析这个游戏
11、是否公平？请说明理由 解：（）从6 张卡片分两组，从中各随机抽取一张，各种情况画树状图如下： 21 10 xx x - 5 - 从树状图可见， 取出的两张卡片数字之和共9 种情况， 其中数字之和为奇数只有4 种，所以 取出的两张卡片数字之和为奇数的概率为： 4 9 P （ ）由（）的树状图可知，取出的两张卡片数字之和为偶数有5 种情况，从而乙胜的 概率为： 5 9 P，而甲胜的概率是 4 9 P，所以两者概率不相等，故这个游戏不公平。 21、如图，我国渔政船在钓鱼岛海域 C处测得钓鱼岛 A在渔政船的北 偏西30的方向上，随后渔政船以80 海里小时的速度向北偏东30 的方向航行，半小时后到达B处
12、，此时又测得钓鱼岛A在渔政船 的北偏西60的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB （结果保留小数点后一位，31.732） 解：延长EB至F，则 0 30CBF， 00000 180180603090ABCEBFCBF， 在RtABC中， 0 60ACB， 1 8040 2 BC，tan, AB ACB BC tan434 1.7326.9ABBCACB 答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB约为：6.9海里 22、2013 年 3 月 28 日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识， 组织了 全校 1500 名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为 1
13、00 分）进行统计，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： （）这次抽取了200名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m70，n0.12； （）补全频数分布直方图； （）若成绩在70 分以下（含70 分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育， 则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 解：（）160.08200，200 0.3570m，242000.12n （）由（）知，m70，图略 . 两张卡片的数字之和： - 6 - （） 1640 1500420 200 答：该校安全意识不强的学生约有420 23、如图，已知AB是 O 的直径，P为 O 外一点，且/ /OPBC， PB
14、AC （）求证：PA为 O 的切线； （）若 25 5, 3 OBOP，求AC的长 解：（）AB是 O 的直径， 0 90ACB / /,OPBCBAOP，又,PBAC ABCPOA， 0 90PAOACB，PA为 O 的切线。 （）5,5,210OBOAABOB，由（）知，ABCPOA， ,6 ABBCAB AO BC POAOPO ，在RtACB中， 22 8ACABBC， AC的长为 8。 24、阅读下面的材料，先完成阅读填空，再将要求答题： 13 sin30,cos30 22 ，则 22 sin 30cos 30； 22 sin 45,cos 45 22 ，则 22 sin 45cos
15、 45； 22 sin 60,cos 60 22 ，则 22 sin 60cos 60 , 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有 22 sincosAA1 （）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理 对A证明你的猜想； （）已知：A为锐角cos0A且 3 sin 5 A，求cosA （）证明：过点B作BDAC于D，在RtADB中，sin,cos BDAD AA ABAB ， 由勾股定理得， 22 222, 1 BDAD BDADAB ABAB ， 22 sincos1AA （）解：A为锐角cos0A， 3 sin 5 A， 22 sincos1AA - 7 - 24 cos
16、1sin 5 AA 25、周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游从家出发 1 小 时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前 往湖光岩小明离家小时50 分钟，妈妈驾车沿相同 路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y km与小明离 家时间x h的函数图象 （）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间； （）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上 小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式 解：（）由图象知，小明1小时骑车20km，所以小明骑车的速度为： 20 20 1 /km h图象中线段AB表明小明游玩的时间段，所以小明在南亚所游玩的时 间为：211h （）由题意和图象得，小明从南
17、亚所出发到湖光岩门口所用的时间为： 50251 12 60604 h，所以从南亚所出发到湖光岩门口的路程为： 1 205 4 km 于是从家到湖光岩门口的路程为：20525，故妈妈驾车的速度为： 25 2560 60 /km h设CD所在直线的函数解析式为：ykxb 由题意知，点 911 ,25 ,0 46 CD 9 25 4 11 0 6 kb kb 解得， 60 110 k b CD所在直线的函数解析式为：60110yx 26、如图，在平面直角坐标系中，顶点为3,4的抛物线交 y轴与A点，交x轴与BC、两点（点B在点C的左侧）， 已知A点坐标为0, 5 （）求此抛物线的解析式； （）过点B
18、作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以 点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的 对称轴与C的位置关系，并给出证明 （）在抛物线上是否存在一点P，使ACP是以AC为 直角边的直角三角形若存在，求点P的坐标； 若不存在，请说明理由 - 8 - 解：（）由题意可设此抛物线的解析式为： 2 34ya x 此抛物线过点A0, 5， 2 5034,1aa 此抛物线的解析式为： 2 34yx，即 2 65yxx （）此时抛物线的对称轴与C相离。证明： 令0y，即 2 650xx，得1x或5x，1,0 ,5,0BC 设直线AB的解析式为：ykxb，则 0 5 kb b ， 5 5 k b 直线AB与直线
19、BD垂直，直线BD可表示为： 11 5 yxtxt k ， 1,0B， 1 10,5 5 tt，直线BD为： 1 5 5 yx 点C到直线BD的距离为： 22 55 0 1 4 26 15 d 点C为圆心的圆与直线BD相切，C的半径为：rd 4 26 又点C到抛物线对称轴的距离为：532而 4 2 26 ，。所以此时抛物线的对称轴 与C相离。 （）假设存在满足条件的点 , pp P xy， 0, 5 ,5,0AC， 222 50ACOAOC 22 222 051025 ppppp APxyxyy 22 222 501025 ppppp CPxyxyx 当 0 90A时，在CAPRt中，由勾股定
20、理，得 222 ACAPCP 2222 5010251025 pppppp xyyxyx，整理，得50 pp xy 点, pp P xy在抛物线 2 65yxx上， 2 65 ppp yxx， 2 6550 ppp xxx，解得7 p x或0 p x，12 p y或5 p y 点P为7, 12或0, 5（舍去） - 9 - 当 0 90C时，在ACPRt中，由勾股定理，得 222 ACCPAP 2222 5010251025 pppppp xyxxyy，整理，得50 pp xy 点, pp P xy在抛物线 2 65yxx上， 2 65 ppp yxx， 2 6550 ppp xxx，解得 2 p x或5 p x，3 p y或0 p y 点P为2,3或5,0（舍去） 综上，满足条件的点P的坐标为7, 12或2,3 以上的答案供大家参考，各题可能有不同的解法，希望大家再探究。