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1、第 1 页 共 15 页 湖南省郴州市2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分） 1 （ 3 分） （2013?郴州） 5 的倒数是（） A5 B 5C D 考点：倒 数 分析：根 据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数 解答：解： 5 =1， 5 的倒数是 故选 C 点评：本 题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数 2 （ 3 分） （2013?郴州）函数y=中自变量x 的取值范围是（） Ax3 B
2、x3 Cx 3 Dx 3 考点：函 数自变量的取值范围 分析：根 据分母不等于0 列式计算即可得解 解答：解 ：根据题意得，3x 0， 解得 x 3 故选 C 点评：本 题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 3 （ 3 分） （2013?郴州）下列图案中，不是中心对称图形的是（） A BCD 考点：中 心对称图形 分析：根 据中心对称图形的概念求解 解答：解 ：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项正确
3、； C、是中心对称图形，故本选项错误； 第 2 页 共 15 页 D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选 B 点评：本 题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念中心对称 图形是要寻找对称中心，旋转180 度后重合 4 （ 3 分） （2013?郴州）下列运算正确的是（） Ax?x 4=x5 B x 6 x3 =x 2 C3x 2x2=3 D（2x 2）3 =6x 6 考点：同 底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 分析：结 合各选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方等运 算，然后选出正确选项即可 解答：解 ：A、x?x
4、4 =x 5，原式计算正确，故本选项正确； B、x 6 x3=x3，原式计算错误，故本选项错误； C、3x 2x2=2x2，原式计算错误，故本选项错误； D、 （2x 2）3=8x，原式计算错误，故本选项错误； 故选 A 点评：本 题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，属于基础题，掌握 各运算法则是解题的关键 5 （ 3 分） （2013?郴州）化简的结果为（） A1 B 1C D 考点：分 式的加减法 分析：先 把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案 解答：解： = = =1； 故选 B 点评：此 题考查了分式的加减，根据在分式的加减运算中，
5、如果是同分母分式，那么分母不 变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为 同分母分式，然后再相加减即可 6 （ 3 分） （2013?郴州）数据1，2，3，3，5，5， 5 的众数和中位数分别是（） A5，4 B 3，5 C5，5 D5，3 考点：众 数；中位数 分析：根 据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是 将一组数据从小到大重新排列后，最中间的那个数即可求出答案 第 3 页 共 15 页 解答：解 ：数据 1，2，3，3，5，5，5 中， 5 出现了 3 次，出现的次数最多， 则众数是5； 最中间的数是3， 则中位数是3；
6、故选 D 点评：此 题考查了众数和中位数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键，众数是一组数据 中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最 中间的那个数（最中间两个数的平均数） 7 （ 3 分） （2013?郴州）在一年一度的“ 安仁春分药王节” 市场上，小明的妈妈用280 元买了 甲、乙两种药材甲种药材每斤20 元，乙种药材每斤60 斤，且甲种药材比乙种药材多买了 2 斤设买了甲种药材x 斤，乙种药材y 斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材 各买了多少斤？（） A B C D 考点：由 实际问题抽象出二元一次方程组 分析：设 买了甲种药材x 斤，乙种药材
7、y 斤，根据甲种药材比乙种药材多买了2 斤，两种药 材共花费280 元，可列出方程 解答：解 ：设买了甲种药材x 斤，乙种药材y 斤， 由题意得： 故选 A 点评：本 题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知 数找出等量关系 8 （3 分） （2013?郴州） 如图， 在 RtACB 中，ACB=90 ，A=25 ，D 是 AB 上一点 将 Rt ABC 沿 CD 折叠，使B 点落在 AC 边上的 B 处，则 ADB 等于（） A25 B 30 C35 D40 考点：翻 折变换（折叠问题） 第 4 页 共 15 页 分析：先 根据三角形内角和定理求出B 的度数，
8、再由图形翻折变换的性质得出CBD 的 度数，再由三角形外角的性质即可得出结论 解答：解 ：在 Rt ACB 中， ACB=90 ， A=25 ， B=90 25 =65 ， CDB 由CDB 反折而成， CB D=B=65 ， CB D 是AB D 的外角， ADB =CB D A=65 25 =40 故选 D 点评：本 题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解 答此题的关键 二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24 分） 9 （3 分） （2013?郴州） 据统计， 我国今年夏粮的播种面积大约为415000000 亩，415000000 用科学记数
9、法表示为4.15 108 考点：科 学记数法 表示较大的数 分析：科 学记数法的表示形式为a 10 n 的形式，其中1 |a|10，n 为整数确定n 的值时， 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当 原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数 解答：解 ：将 415000000 用科学记数法表示为4.15 108 故答案为4.15 108 点评：此 题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中1 |a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值 10 （3 分） （2013?郴州）已知a
10、+b=4，ab=3，则 a 2b2= 12 考点：平 方差公式 分析：根 据 a2b2=（a+b） （ab） ，然后代入求解 解答：解 ：a 2b2=（a+b） （ab） =4 3=12 故答案是： 12 点评：本 题重点考查了用平方差公式平方差公式为（a+b） （ab）=a2b2本题是一道较 简单的题目 11 （3 分） （2013?郴州）已知一个多边形的内角和是1080 ，这个多边形的边数是8 考点：多 边形内角与外角 分析：根 据多边形内角和定理： （n2）?180 （n 3）且 n 为整数）可得方程180（ x2） =1080，再解方程即可 解答：解 ：设多边形边数有x 条，由题意得：
11、 180（x2）=1080， 解得： x=8， 故答案为： 8 点评：此 题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n2）?180 （n 3） 且 n 为整数） 第 5 页 共 15 页 12 （3 分） （2013?郴州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b1=0 有两个相等的实数根， 则 b 的值是2 考点：根 的判别式 专题：计 算题 分析：根 据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b 的值 解答：解 ：根据题意得：=b2 4（b1）=（b2）2=0， 则 b 的值为 2 故答案为： 2 点评：此 题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有
12、两个不相等的实数根；根的 判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实 数根 13 （3 分） （2013?郴州）如图，AB 是 O 的直径， 点 C 是圆上一点， BAC=70 ， 则 OCB= 20 考点：圆 周角定理 分析：根 据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半得：BOC=2 BAC ，在等腰三角形OBC 中可求出 OCB 解答：解 ： O 是ABC 的外接圆，BAC=70 ， B0C=2BAC=2 70 =140 ， OC=OB （都是半径） ， OCB=OBC=（180 BOC）=20 故答案为：
13、20 点评：此 题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这 条弧所对的圆心角的一半 14 （3 分） （2013?郴州）如图，点D、E 分别在线段AB ，AC 上， AE=AD ，不添加新的线 段和字母，要使 ABE ACD ，需添加的一个条件是B= C（答案不唯一）（只写 一个条件即可） 第 6 页 共 15 页 考点：全 等三角形的判定 专题：开 放型 分析：由 题意得， AE=AD ， A= A（公共角），可选择利用AAS、 SAS 进行全等的判定， 答案不唯一 解答：解 ：添加 B= C 在 ABE 和 ACD 中， ABE ACD （AAS） 故答案可为
14、：B=C 点评：本 题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角 形全等的几种判定定理 15 （3 分） （2013?郴州）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字16，掷 得朝上的一面的数字为奇数的概率是 考点：概 率公式 分析：让 向上一面的数字是奇数的情况数除以总情况数6 即为所求的概率 解答：解 ：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6 六个数字中， 奇数为 1，3，5，则向上一面的数字是奇数的概率为= 故答案为： 点评：此 题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为： 概率等于所求情况数与总情况数之比 16
15、 （3 分） （2013?郴州）圆锥的侧面积为6 cm 2，底面圆的半径为 2cm，则这个圆锥的母 线长为3cm 考点：圆 锥的计算 分析：圆 锥的侧面积 =底面周长 母线长 2，把相应数值代入即可求解 解答：解 ：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长 =4 ，侧面积 =2 R=6 ， R=3 故答案为： 3 点评：本 题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解比较基础，重点是掌握公式 三、解答题（本大题共6 小题，每小题6 分，共 36 分） 17 （6 分） （2013?郴州）计算：|+（2013） 0（ ） 12sin60 考点：实 数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
16、 专题：计 算题 分析：先 分别根据0 指数幂及负整数指数幂的计算法则，特殊角的三角函数值计算出各数， 再根据实数混合运算的法则进行计算即可 第 7 页 共 15 页 解答：解：原式 =2 +132 =2+13 =2 点评：本 题考查的是实数的运算，熟知0 指数幂及负整数指数幂的计算法则，特殊角的三角 函数值是解答此题的关键 18 （6 分） （2013?郴州）解不等式4（x 1）+3 3x，并把解集在数轴上表示出来 考点：解 一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 分析：首 先去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1，即可求得不等式的解集 解答：解 ：去括号得：4x4+3 3x， 移项得：
17、 4x3x 43 则 x 1 把解集在数轴上表示为： 点评：本 题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符 号这一点而出错 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式 不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； 在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变 19 （6 分） （2013?郴州）在图示的方格纸中 （1）作出 ABC 关于 MN 对称的图形 A1B1C1； （2）说明 A2B2C2是由 A1B1C1经过怎样的平移得到的？ 考点：作 图-轴对称变换；作图-平移变换 专题：作 图题
18、分析：（ 1）根据网格结构找出点A、B、C 关于 MN 的对称点 A1、B1、C1的位置，然后顺 次连接即可； （ 2）根据平移的性质结合图形解答 解答：解 ： （1）A1B1C1如图所示； （ 2）向右平移6 个单位， 再向下平移2 个单位 （或向下平移2 个单位，再向右平移6 个单位） 第 8 页 共 15 页 点评：本 题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对 应点的位置以及变化情况是解题的关键 20 （6 分） （2013?郴州）已知：如图，一次函数的图象与y 轴交于 C（0，3） ，且与反比例 函数 y=的图象在第一象限内交于A，B 两点，其中A（ 1
19、，a） ，求这个一次函数的解析式 考点：反 比例函数与一次函数的交点问题 分析：把 A 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a，求得 A 点坐标，然后再把A、C 点 的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式 解答：解： A（1，a）在 y= 的图象上， a=2， A（ 1，2） 又 C（0，3）在一次函数的图象， 设一次函数的解析式为y=kx+b ，则 解得： k=1，b=3， 故一次函数的解析式为y=x+3 点评：考 查了反比例函数与一次函数的交点问题，本类题目的解决需把点的坐标代入函数解 析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式 第 9 页 共 15
20、页 21 （6 分） （2013?郴州）游泳是一项深受青少年喜爱的体育活动，学校为了加强学生的安 全意识，组织学生观看了纪实片“ 孩子，请不要私自下水” ，并于观看后在本校的2000 名学 生中作了抽样调查请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题： （1）这次抽样调查中，共调查了400名学生； （2）补全两个统计图； （3）根据抽样调查的结果，估算该校2000 名学生中大约有多少人“ 一定会下河游泳” ？ 考点：条 形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 分析：（ 1）根据一定会的人数和所占的百分比即可求出总人数； （ 2）用总人数减去其它人数得出不会的人数，再根据家长陪同的人数除以总人数得 出
21、家长陪同时会的所占的百分比，从而补全统计图； （ 3）用 2000 乘以一定会下河游泳所占的百分百，即可求出该校一定会下河游泳的人 数 解答：解 ： （1）总人数是： 20 5%=400（人）； （ 2）一定不会的人数是4002050230=100（人）， 家长陪同的所占的百分百是 100%=57.5%， 补图如下： （ 3）根据题意得： 2000 5%=100（人） 答：该校2000 名学生中大约有多少人“ 一定会下河游泳” 有 100 人 点评：本 题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 第 10 页 共 15 页 得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图
22、能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，用到的知识点是频率= 22 （6 分） （2013?郴州）我国为了维护队钓鱼岛P 的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立 体巡航在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（APBD ） ，当轮船航行到距钓鱼岛20km 的 A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45 ；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方 的 E 处，此时 EC=5km 轮船到达钓鱼岛P 时，测得 D 处的飞机的仰角为30 试求飞机的 飞行距离 BD （结果保留根号） 考点：解 直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：作 AF BD，PGBD，在 RtABF 和PDG
23、 中分别求出BF、GD 的值，继而可求 得 BD=BF+FG+DC的值 解答：解 ：作 AFBD， PGBD ，垂足分别为F、G， 由题意得： AF=PG=CE=5km ，FG=AP=20km ， 在 RtAFB 中， B=45 ， 则 BAF=45 ， BF=AF=5 ， APBD ， D=DPH=30 ， 在 RtPGD 中， tan D=，即 tan30 =， GD=5， 则 BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5（ km） 答：飞机的飞行距离BD 为 25+5km 点评：本 题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角 形，然后解直角三角形，难度一般
24、四、证明题（本题8 分） 23 （8 分） （2013?郴州）如图，已知BEDF， ADF= CBE，AF=CE ，求证：四边形 DEBF 是平行四边形 第 11 页 共 15 页 考点：平 行四边形的判定；全等三角形的判定与性质 专题：证 明题 分析：首 先根据平行线的性质可得BEC= DFA ，再加上条件ADF= CBE，AF=CE ，可 证明 ADF CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF ，根据一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形进行判定即可 解答：证 明： BEDF， BEC=DFA， 在 ADF 和 CBE 中， ADF CBE （AAS ） ， BE=DF ， 又 BE
25、DF， 四边形DEBF 是平行四边形 点评：此 题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形 五、应用题（本题8 分） 24 （8 分） （2013?郴州） 乌梅是郴州的特色时令水果乌梅一上市， 水果店的小李就用3000 元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40% 的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌 梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格 全部售出，前后一共获利750 元，求小李所进乌梅的数量 考点：分 式方程的应用 分析：先 设小李所进乌梅的数量为xkg，根据前后一共获利750 元，列出方程， 求出 x 的
26、值， 再进行检验即可 解答：解 ：设小李所进乌梅的数量为xkg，根据题意得： ?40%150（x150） ?20%=750， 解得： x=200， 经检验 x=200 是原方程的解， 答：小李所进乌梅的数量为200kg 点评：此 题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方 程，解分式方程时要注意检验 六、综合题（本大共2 小题，每小题10 分，共 20 分） 25 （10 分） （2013?郴州）如图，ABC 中， AB=BC ，AC=8 ，tanA=k ，P为 AC 边上一动 点，设 PC=x，作 PEAB 交 BC 于 E，PF BC 交 AB 于 F （1）
27、证明： PCE 是等腰三角形； （2）EM 、FN、BH 分别是 PEC、AFP、ABC 的高，用含x 和 k 的代数式表示EM、 FN，并探究EM、 FN、BH 之间的数量关系； （3）当 k=4 时，求四边形PEBF 的面积 S 与 x 的函数关系式x 为何值时， S有最大值？ 并求出 S的最大值 第 12 页 共 15 页 考点：等 腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形 分析：（ 1）根据等边对等角可得A= C，然后根据两直线平行，同位角相等求出 CPE= A，从而得到 CPE=C，即可得证； （ 2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、
28、 BH 的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH ； （ 3）分别求出EM、FN、BH，然后根据SPCE， SAPF，SABC，再根据S=SABC SPCESAPF，整理即可得到S与 x 的关系式，然后利用二次函数的最值问题解 答 解答：（ 1）证明： AB=BC ， A=C， PEAB ， CPE=A， CPE=C， PCE 是等腰三角形； （ 2）解： PCE 是等腰三角形，EM CP， CM=CP=，tanC=tanA=k ， EM=CM ?tanC=?k=， 同理： FN=AN ?tanA=?k=4k， 由于 BH=AH ?tanA= 8?k=4k， 而 EM+FN=+4k=4k， E
29、M+FN=BH ； （ 3）解：当k=4 时， EM=2x ，FN=16 2x，BH=16 ， 所以，SPCE= x?2x=x 2， S APF= （8x） ? （162x） = （8x） 2， S ABC= 8 16=64， S=SABCSPCE SAPF， =64x 2（ 8x）2， =2x 2+16x， 配方得， S= 2（x4） 2+32， 第 13 页 共 15 页 所以，当x=4 时， S 有最大值32 点评：本 题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最 值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点 26 （10 分） （2013?郴州）
30、如图，在直角梯形AOCB 中， AB OC， AOC=90 ，AB=1 ， AO=2 ，OC=3，以 O 为原点， OC、OA 所在直线为轴建立坐标系抛物线顶点为A，且经 过点 C 点 P 在线段 AO 上由 A 向点 O 运动，点 O 在线段 OC 上由 C 向点 O 运动，QDOC 交 BC 于点 D，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是 E 关于 y 轴的对称点，点Q 运动到何处时，四边形OEAE 是菱形？ （3）点 P、Q 分别以每秒2 个单位和3 个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒，当 t 为何值时， PBOD？ 考点：二 次函数
31、综合题 分析：（ 1）根据顶点式将A，C 代入解析式求出a 的值，进而得出二次函数解析式； （ 2）利用菱形的性质得出AO 与 EE互相垂直平分， 利用 E 点纵坐标得出x 的值， 进 而得出 BC，EO 直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q 点坐标，即可得出 答案； （ 3）首先得出 APB QDO，进而得出=，求出 m 的值，进而得出答案 解答：解 ： （1） A（0，2）为抛物线的顶点， 设 y=ax2+2， 点 C（3，0） ，在抛物线上， 9a+2=0， 解得： a=， 抛物线为；y=x2+2； （ 2）如果四边形OEAE 是菱形，则AO 与 EE 互相垂直平分， EE 经过
32、AO 的中点， 点 E 纵坐标为1，代入抛物线解析式得： 1=x 2+2， 解得： x=， 点 E 在第一象限， 第 14 页 共 15 页 点 E 为（，1） ， 设直线 BC 的解析式为y=kx+b ，把 B（1，2） ，C（3，0） ，代入得： ， 解得：， BC 的解析式为：y=x+3， 将 E 点代入 y=ax，可得出EO 的解析式为：y=x， 由， 得：， Q 点坐标为：（，0） ， 当 Q 点坐标为（，0）时，四边形OEAE 是菱形； （ 3）法一：设t 为 m 秒时， PBDO，又 QDy 轴，则有 APB= AOE= ODQ， 又 BAP= DQO，则有 APB QDO， =
33、， 由题意得： AB=1 ，AP=2m ，QO=33m， 又点 D 在直线 y=x+3 上， DQ=3m ， 因此：=，解得： m=， 经检验： m=是原分式方程的解， 当 t=秒时， PBOD 法二：作BH OC 于 H，则 BH=AO=2 ，OH=AB=1 ，HC=OC OH=2， BH=HC ， BCH= CBH=45 ， 易知 DQ=CQ ， 设 t 为 m 秒时 PBOE，则 ABP QOD， =，易知 AP=2m ，DQ=CQ=3m ，QO=33m， =， 第 15 页 共 15 页 解得 m=，经检验m=是方程的解， 当 t 为秒时， PBOD 点评：此 题主要考查了菱形的判定与性质以及顶点式求二次函数解析式以及相似三角形的 判定与性质等知识，根据数形结合得出APB QDO 是解题关键