全国各地2008年数学高考真题及答案-(天津.文)含详解.pdf

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1、第 1 页 共 13 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟第I 卷至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位 置粘贴考试用条形码 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 3本卷共10 小题，每小题5 分，共 50 分 参考公式：

2、 如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式 2 4SR ()()()P ABP AP B球的体积公式 34 3 VR 如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径 ()()()P A BP AP B 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合08UxxN，12 4 5S， ，35 7T， ，则 U STe（） A12 4， ，B12 3 4 5 7， ， ， ， ，C12，D12 45 68， ， ， ， 2设变量xy，满足约束条件 0 1 21. xy xy xy ， ， 则目标函数5zxy的最大值为（） A2 B3 C4 D5 3函数1(04)yxx的反函数是

3、（） A 2 (1) (13)yxxB 2 (1) (04)yxx C 2 1(13)yxxD 2 1(04)yxx 4若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S，且 2 3a，则 7 a（） A12 B13 C14 D15 5设ab，是两条直线，是两个平面，则ab的一个充分条件是（） 第 2 页 共 13 页 Aab， ，Bab， Cab，Dab， ， 6把函数sin()yx xR的图象上所有的点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（） Asin2 3 yxxR，Bsin 26 x yxR， Csin

4、2 3 yxxR，Dsin 2 3 yxxR， 7 设椭圆 22 22 1(00) xy mn mn ，的右焦点与抛物线 2 8yx的焦点相同， 离心率为 1 2 ， 则此椭圆的方程为（） A 22 1 1216 xy B 22 1 1612 xy C 22 1 4864 xy D 22 1 6448 xy 8已知函数 20 ( ) 20 xx f x xx ， ， ， 则不等式 2 ( )f xx的解集为（） A11，B2 2，C21 ，D12， 9设 5 sin 7 a， 2 cos 7 b， 2 tan 7 c，则（） AabcBacbCbcaDbac 10设1a，若对于任意的2xaa，

5、都有 2 yaa，满足方程loglog3 aa xy， 这时a的取值的集合为（） A12aa B2a aC23aaD2 3， 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类） 第卷 注意事项： 1答卷前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3本卷共12 小题，共100 分 第 3 页 共 13 页 二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分把答案填在题中横线上 11一个单位共有职工200 人，其中不超过45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人为了 调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25 的样本，应抽取

6、 超过 45 岁的职工人 12 5 2 x x 的二项展开式中 3 x的系数为（用数字作答） 13若一个球的体积为4 3，则它的表面积为 14已知平面向量(2 4)，a，( 1 2)，b，若()caa b b，则c 15已知圆C的圆心与点( 21)P，关于直线1yx对称直线34110xy与圆C相 交于AB，两点，且6AB，则圆C的方程为 16有 4 张分别标有数字1，2，3，4 的红色卡片和4 张分别标有数字1，2，3，4 的蓝色卡 片，从这 8 张卡片中取出4 张卡片排成一行如果取出的4 张卡片所标的数字之和等于10， 则不同的排法共有种（用数字作答） 三、解答题：本大题共6 小题，共76

7、分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分12 分） 已知函数 2 ( )2cos2sincos1(0)f xxxxxR，的最小正周期是 2 （）求的值； （）求函数( )f x的最大值，并且求使( )f x取得最大值的x的集合 18 （本小题满分12 分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 1 2 与p，且乙投球2 次 均未命中的概率为 1 16 （）求乙投球的命中率p； （）求甲投球2 次，至少命中1 次的概率； （）若甲、乙两人各投球2 次，求两人共命中2 次的概率 19 （本小题满分12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已

8、知3AB，2AD，2PA， 2 2PD，60PAB （）证明AD平面PAB； （）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （）求二面角PBDA的大小 A B C D P 第 4 页 共 13 页 20 （本小题满分12 分） 已知数列 n a中， 1 1a， 2 2a，且 11 (1) nnn aq aqa(20)nq ， （）设 1 () nnn baa n * N，证明 n b是等比数列； （）求数列 n a的通项公式； （） 若 3 a是 6 a与 9 a的等差中项， 求q的值， 并证明： 对任意的n * N， n a是 3n a 与 6n a 的等差中项 21 （本小题满分14 分） 设

9、函数 432 ( )2()f xxaxxb xR，其中abR， （）当 10 3 a时，讨论函数( )f x的单调性； （）若函数( )f x仅在0x处有极值，求a的取值范围； （）若对于任意的2 2a，不等式( )1f x 在11 ，上恒成立，求b的取值范围 22 （本小题满分14 分） 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 1( 30) F，一条渐近线的方程是520xy （）求双曲线C的方程； （）若以(0)k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点MN， 且线段MN的 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 81 2 ，求k的取值范围 第 5 页 共 13 页 2008 年普通高

10、等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 分，满分50 分 1A 2 D 3A 4B 5C 6C 7 B 8A 9D 10B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4 分，满分24 分 1110 12 10 1312148 2 15 22 (1)18xy16432 （1）设集合|08xxNU，1,2,4,5S，3,5,7T，则() U STe （A）1,2, 4（B）1,2,3,4,5,7（C）1,2（D）1,2,4,5,6,8 解析：因为1,2,4,6,8 T U e，所以()1,2,4 U STe，选 A （2）设变量y

11、x,满足约束条件 12 1 0 yx yx yx ，则目标函数yxz5的最大值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 解析：如图，由图象可知目标函数yxz5过 点(1,0)A时z取得最大值， max 5z，选 D （3）函数 1yx（0 4x）的反函数是 （A） 2 (1)yx（13x）（B） 2 (1)yx（04x） （C） 2 1yx（13x）（D） 2 1yx（04x） 解析：当04x时， ,311x，解1yx得 12 ( )(1)fxx，选 A （4）若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S，且 2 3a，则 7 a （A）12（B）13（C）14（D）15 解析： 1524

12、54 5()5() 7 22 aaaa Sa，所以 42 722 5513 2 aa aada， 选 B （5）设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba的一个充分条件是 第 6 页 共 13 页 （A）,/,ba（B）/,ba （C）/,ba（D）,/,ba 解析：选C，A、B、D 的反例如图 （6）把函数sinyx（xR）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图 象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是 （A）sin(2) 3 yx，xR（B）sin() 26 x y，xR （C）sin(2) 3 yx，xR（D）sin(2) 3 2

13、 yx，xR 解析：选C, 1 32 sinsin()sin(2) 33 yxyxyx 向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍 （7）设椭圆 22 22 1 xy mn （0m，0n）的右焦点与抛物线 2 8yx的焦点相同，离心 率为 1 2 ，则此椭圆的方程为 （A） 22 1 1216 xy （B） 22 1 1612 xy （C） 22 1 4864 xy （D） 22 1 6448 xy 解析：抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由 1 2 e排除 D，选 B （8）已知函数 2,0 ( ) 2,0 xx f x xx ，则不等式 2 ( )f xx的解集是 （A） 1

14、,1（ B） 2,2（C） 2,1（D） 1,2 解析：依题意得 22 11 00 0011 22 xx x x xxxx x 或或，选 A （9）设 5 sin 7 a， 2 cos 7 b， 2 tan 7 c，则 （A）cba（B）acb（C）acb（D）bac 解析： 2 sin 7 a， 因为 2 472 ， 所以 22 0cossin1tan 777 2 ，选 D （10）设1a，若对于任意的 ,2xaa，都有 2 ,ya a满足方程loglog3 aa xy， 第 7 页 共 13 页 这时a的取值集合为 （A）2|1aa（B）|2a a（C）3|2aa（D）2,3 解析：易得

15、3 a y x ，在 ,2 aa上单调递减， 所以 2 2 , 2 y a a，故 2 1 2 2 a a a a ，选 B （11）一个单位共有职工200 人，其中不超过45 岁的有 120 人，超过45 岁的有 80 人为 了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25 的样本，应抽 取超过 45 岁的职工 _人 解析：依题意知抽取超过45 岁的职工为 25 8010 200 （12） 5 2 ()x x 的二项展开式中， 3 x的系数是 _（用数字作答） 解析： 55 2 155 2 ()2 rrrrrr r TC xC x x ，1r，所以系数为10 （13）若一

16、个球的体积为34，则它的表面积为_ 解析：由 34 4 3 3 R得3R，所以 2 142SR （14）已知平面向量(2,4)a，( 1,2)b若()caa b b，则|c _ 解析：因为(2,4)6( 1,2)(8, 8)c，所以| 8 2c （15）已知圆C 的圆心与点( 2,1)P关于直线1yx对称直线34110xy与圆 C 相交于BA,两点，且6AB，则圆 C 的方程为 _ 解析：圆心的坐标为(0,1)， 所以 2 22 2 ( 411) 318 5 r， 圆的方程为 22 (1)18xy （16）有 4 张分别标有数字1，2，3，4 的红色卡片和4 张分别标有数字1，2，3，4 的蓝

17、色 卡片，从这8 张卡片中取出4 张卡片排成一行如果取出的4 张卡片所标数字之和等于10， 则不同的排法共有_种（用数字作答） 解析：数字之和为10 的情况有 4，4，1，1、4，3，2， 1、3，3，2， 2 所以共有 4444 444 2218432AAA种不同排法 三、解答题 17本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数 sin()yAx的性质等基础知识，考查基本运算能力满分12 分 第 8 页 共 13 页 （）解： 1cos2 ( )2sin 21 2 x fxx sin 2cos22xx 2 sin 2coscos2sin2 44 xx 2 sin 2

18、2 4 x 由题设，函数( )f x的最小正周期是 2 ，可得 2 22 ，所以2 （）解：由（）知，( )2 sin 42 4 fxx 当42 42 xk，即() 162 k xkZ时，sin4 4 x 取得最大值1，所以函数 ( )f x的最大值是22，此时x的集合为 162 k x xkZ， 18本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率 知识解决实际问题的能力满分12 分 （）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A， “乙投球一次命中”为事件B，由题意得 221 (1()(1) 16 P Bp， 解得 3 4 p或 5 4 p（舍去），所以乙投球的命中率

19、为 3 4 解法二：设“甲投球一次命中”为事件A， “乙投球一次命中”为事件B，由题意得 1 ()( ) 16 P B P B， 于是 1 ( ) 4 P B或 1 () 4 P B（舍去），故 3 1() 4 pP B 所以乙投球的命中率为 3 4 （）解法一：由题设和（）知， 1 () 2 P A， 1 ( ) 2 P A 故甲投球2 次至少命中1 次的概率为 3 1() 4 P A A 解法二：由题设和（）知， 1 () 2 P A， 1 ( ) 2 P A 故甲投球2 次至少命中1 次的概率为 1 2 3 C( )()( )() 4 P A P AP A P A （）解：由题设和（）知

20、， 1 () 2 P A， 1 () 2 P A， 3 () 4 P B， 1 () 4 P B 第 9 页 共 13 页 甲、乙两人各投球2 次，共命中2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2 次，乙2 次均不中；甲2 次均不中，乙中2 次概率分别为 11 22 3 C( )()C( )() 16 P A P AP B P B， 1 ()() 64 P A A P B B， 9 ()() 64 P A A P B B 所以甲、乙两人各投球2 次，共命中2 次的概率为 31911 16646432 19本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相 角能力、运

21、算能力和推理论证能力满分12 分 （）证明：在PAD中， 由题设2PA，2AD，2 2PD， 可得 222 PAADPD， 于是ADPA在矩形ABCD中，ADAB，又PAABA，所以AD平面PAB （）解：由题设，BCAD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的 角 在PAB中，由余弦定理得 22 2cos7PBPAABPA ABPAB 由（）知AD平面PAB，PB平面PAB， 所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形， 故 7 tan 2 PB PCB BC 所以异面直线PC与AD所成的角的大小为 7 arctan 2 （）解：过点P作PHAB于H，过点H作HEBD于E，

22、连结PE 因为AD平面PAB，PH平面PAB， 所以ADPH 又A DABA， 因而PH 平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影由三垂线定理可知，BDPE从 而PEH是二面角PBDA的平面角 由题设可得， sin603PHPA，cos601AHPA， 2BHABAH， 22 13BDABAD， 4 13 AD HEBH BD 于是在RtPHE中， 39 tan 4 PH PEH HE A B C D P H E 第 10 页 共 13 页 所以二面角PBDA的大小为 39 arctan 4 20本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考 查运算能力和

23、推理论证能力及分类讨论的思想方法满分12 分 （）证明：由题设 11 (1)(2) nnn aq aqan，得 11 () nnnn aaq aa， 即 1 2 nn bqbn， 又 121 1baa，0q，所以 n b是首项为1，公比为q的等比数列 （）解：由（） ， 21 1aa， 32 aaq， , 2 1 (2) n nn aaqn 将以上各式相加，得 2 1 1(2) n n aaqqn所以当2n时， 1 1 11 1 1. n n q q aq nq ， ， 上式对1n显然成立 （）解：由（） ，当1q时，显然 3 a不是 6 a与 9 a的等差中项，故1q 由 3693 aaaa

24、可得 5228 qqqq，由0q得 36 11qq， 整理得 323 ()20qq，解得 3 2q或 3 1q（舍去）于是 3 2q 另一方面， 211 3 3 (1) 11 nnn nn qqq aaq qq ， 第 11 页 共 13 页 151 6 6 (1) 11 nnn nn qqq aaq qq 由可得 36nnnn aaaan * N， 所以对任意的n * N， n a是 3n a 与 6n a 的等差中项 21本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、 解不等式等基础知 识，考查综合分析和解决问题的能力满分14 分 （）解： 322 ( )434(434)fx

25、xaxxxxax 当 10 3 a时， 2 ( )(4104)2 (21)(2)fxxxxxxx 令( )0fx，解得 1 0x， 2 1 2 x， 3 2x 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表： x(0)，0 1 0 2 ， 1 2 1 2 2 ， 2 (2)， ( )fx000 ( )f x极小值极大值极小值 所以( )f x在 1 0 2 ，(2)，内是增函数，在(0)， 1 2 2 ，内是减函数 （）解： 2 ( )(434)fxxxax，显然0x不是方程 2 4340xax的根 为使( )f x仅在0x处有极值，必须 2 4340xax恒成立，即有 2 9640a

26、解此不等式，得 88 33 a这时，(0)fb是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是 8 8 3 3 ， （）解：由条件2 2a，可知 2 9640a，从而 2 4340xax恒成立 当0x时，( )0fx；当0x时，( )0fx 第 12 页 共 13 页 因此函数( )f x在11 ，上的最大值是(1)f与( 1)f两者中的较大者 为使对任意的2 2a，不等式( )1f x 在11 ，上恒成立，当且仅当 (1)1 ( 1)1 f f ， ， 即 2 2 ba ba ， 在2 2a，上恒成立 所以4b ，因此满足条件的b的取值范围是 4， 22本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线

27、方程、两条直线垂直、线段的定比 分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能 力满分14 分 （）解：设双曲线C的方程为 22 22 1(00) xy ab ab ，由题设得 22 9 5 . 2 ab b a ， 解得 2 2 4 5. a b ， 所以双曲线C的方程为 22 1 45 xy （）解：设直线l的方程为(0)ykxm k，点 11 ()M xy， 22 ()N xy，的坐标满足方 程组 22 1. 45 ykxm xy ， 将式代入式，得 22 () 1 45 xkxm ，整理得 222 (54)84200kxkmxm 此方程有两个不等实根，于

28、是 2 540k，且 222 ( 8)4(54)(420)0kmkm整理得 22 540mk 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 ()xy，满足 第 13 页 共 13 页 12 02 4 254 xxkm x k ， 002 5 54 m ykxm k 从而线段MN的垂直平分线的方程为 22 514 5454 mkm yx kkk 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 0 54 km k ， 2 9 0 54 m k ，由题设可得 22 19981 2 54542 kmm kk 整理得 22 2 (54)k m k ，0k 将上式代入式得 22 2 (54) 540 k k k ， 整理得 22 (45)(45)0kkk，0k 解得 5 0 2 k或 5 4 k 所以k的取值范围是 5555 00 4224 ，